拓?fù)淇臻g中的理想收斂

王 武, 張 舜

(1. 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 基礎(chǔ)部, 天津 300380; 2. 天津仁愛學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部, 天津 301636)

偏序集理論旨在為計(jì)算機(jī)程序式語言提供數(shù)學(xué)模型, 因此受到廣泛關(guān)注, 目前已取得了很多有價(jià)值的結(jié)果和模型[1-3]. 隨著計(jì)算機(jī)理論的發(fā)展, 偏序集理論不斷向信息科學(xué)、 邏輯學(xué)、 分析學(xué)及各種應(yīng)用學(xué)科相融合[4-5]. 將偏序集理論推廣到拓?fù)淇臻g是序結(jié)構(gòu)理論的重要研究方向之一[6-7], 如: 王武[8]研究了拓?fù)淇臻g的連續(xù)性及其伴隨式刻畫; Luo等[9]研究了拓?fù)淇臻g的特殊連續(xù)性. 網(wǎng)的收斂是研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要工具, 網(wǎng)可以完全刻畫拓?fù)淇臻g的開集, 本文利用定向集的理想定義網(wǎng)的理想S極限和理想廣義S極限, 并研究它們與c-空間和局部強(qiáng)緊空間的關(guān)系.結(jié)果表明: 1)T0拓?fù)淇臻g上的定向拓?fù)洹?理想S極限拓?fù)浜屠硐霃V義S極限拓?fù)湎嗤? 2) 定向空間中理想S收斂是拓?fù)涞漠?dāng)且僅當(dāng)其為c-空間; 3) 定向空間中理想廣義S收斂是拓?fù)涞漠?dāng)且僅當(dāng)拓?fù)淇臻g是局部強(qiáng)緊空間.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)L是偏序集,D?L, 如果D中任意兩個(gè)元在D中有上界, 則D稱為定向集.如果L的每個(gè)定向子集D都有上確界(記為supD), 則L稱為定向完備偏序集(簡(jiǎn)稱dcpo).任給子集U?L, 如果U是上集, 即U=↑U且任意的定向集D?L, supD∈U蘊(yùn)含D∩U≠?, 則U稱為Scott開集.所有的Scott開集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)? 稱為Scott拓?fù)? 記為σ(L).設(shè)A?L, 記

↑A={x∈L: ?a∈A,a≤x}, ↓A={x∈L: ?a∈A,x≤a}.

若A為單點(diǎn)集{a}, 則記↑A=↑a, ↓A=↓a[10].

設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,x,y∈X, 定義如下偏序關(guān)系:x∈y?x∈clτ{y}, 其中clτ{y}為單點(diǎn)集{y}在拓?fù)洇又械拈]包, 由此定義的序稱為特殊化序[11].本文T0拓?fù)淇臻g上的序關(guān)系總是由拓?fù)洇影瓷鲜龇椒ㄉ傻?設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,J是定向集, 映射ξ:J→X稱為X上的網(wǎng), 簡(jiǎn)記為(xj)j∈J.任給x∈X, 如果(xj)j∈J終在x的任意開鄰域U中, 即存在j0∈J, 使得當(dāng)j≥j0時(shí)xj∈U, 則稱網(wǎng)(xj)j∈J關(guān)于拓?fù)洇邮諗康絰, 記為(xj)j∈J→τx.T0拓?fù)淇臻g(X,τ)的每個(gè)定向集D都可視為X的一個(gè)網(wǎng), 指標(biāo)集即為其自身.若D收斂到x, 即x的任意開鄰域交D非空, 則記為D→τx.易知, {y}→τx當(dāng)且僅當(dāng)x≤y.

定義1[12]設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,U?X.

1) 如果對(duì)任意定向集D→τx,x∈U蘊(yùn)含存在d∈D, 使得d∈U, 即D∩U≠?, 則U稱為定向開集.所有定向開集的集合記為d(X), 顯然τ?d(X).

2) 如果τ=d(X), 則(X,τ)稱為定向空間.

注11) 所有定向開集的集合可構(gòu)成X上的拓?fù)? 稱為定向拓?fù)? 仍記為d(X).

2) 偏序集賦予Scott拓?fù)涫嵌ㄏ蚩臻g, 從而帶有特殊化序的定向空間是比定向完備集更一般的數(shù)學(xué)模型.

3) 每個(gè)定向開集都是上集.

目前, 關(guān)于c-空間的研究已有很多結(jié)果.例如: domain上賦予Scott拓?fù)涫莄-空間[13]; Keimel[14]把c-空間與拓?fù)溴F相結(jié)合, 提出了c-錐的概念.

定義3[15]設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,x,y∈X.對(duì)任意定向集D?X, 如果D→τx能夠蘊(yùn)含存在d∈D, 使得x∈d, 即D∩↑x≠?, 則稱x逼近y, 記為x?y.

1)x?y蘊(yùn)含x≤y;

2)s≤x?y≤t蘊(yùn)含s?t.

命題1[15]設(shè)(X,τ)是c-空間, 則下列結(jié)論成立:

3) 對(duì)任意x,y∈X,x?y??z∈X,x?z?y.

命題2[15]設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則下列結(jié)論等價(jià):

1) (X,τ)是c-空間;

2) (X,τ)是定向空間且任給x∈X,x是定向的且作為網(wǎng)x→τx;

3) (X,τ)是定向空間且任給x∈X, 存在定向集D?x使得D→τx.

設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,G,H為X的兩個(gè)非空子集.如果H?↑G, 則G≤H, 這種序關(guān)系稱為Symth序, Symth序是一種預(yù)序關(guān)系.如果對(duì)任意的定向集D?X,D→τx∈↑H蘊(yùn)含存在d∈D, 使得d∈↑G, 即D∩↑G≠?, 則G?H.特別地, {y}?H簡(jiǎn)記為y?H,G?{x}簡(jiǎn)記為G?x.顯然,G?H蘊(yùn)含?h≤H,G?h.易知上述定義的關(guān)系有如下性質(zhì):

1)G?H蘊(yùn)含G≤H;

2)G≤E?F≤H蘊(yùn)含G?H.

設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 令Pw(X)表示X的非空有限子集的集族.設(shè)非空集族D(F)?Pw(X), 如果任給E,F∈D(F), 存在有限集H∈D(F), 使得↑H?↑E∩↑F, 則集族D(F)稱為定向的.如果對(duì)任意x∈U∈τ, 存在F∈D(F), 使得↑F?U, 則稱定向集族D(F)收斂到x, 記為D(F)→τx.對(duì)任意x∈L, 記fin(x)={F∈Pw(X):F?x}.

定義4[16]設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g.如果(X,τ)是定向空間, fin(x)是定向集族且fin(x)→τx, 則稱(X,τ)是擬連續(xù)空間.

擬連續(xù)空間的等價(jià)刻畫是(X,τ)是定向空間, 且存在定向集族D(F)?fin(x)使得D(F)→τx.

命題3[16]設(shè)(X,τ)是擬連續(xù)空間,F∈Pw(X), 記F={x:F?x}, 則:

1) 對(duì)任意x∈X,H為X的非空有限子集: 如果有H?x, 則存在有限集G?X, 使得H?G?x;

命題4[16]設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,D(F)?Pw(X)是定向集族,G,H∈Pw(X).如果G?H并且D(F)→τx∈H, 則存在F∈D(F), 使得F?↑G.

設(shè)J是非空集合, 如果J的子集族I滿足:

1)A∈I,B?A蘊(yùn)含B∈I;

2)A,B?I蘊(yùn)含A∪B∈I.

則稱I是J的理想.如果J?I, 則稱I是J的非平凡理想.

令J是定向集, 再令Mj={j′∈J:j′∈↑j}, 則易知I0={A?J:A?JMj}是J的非平凡理想.顯然對(duì)任意有限集F?J,f∈F, 令MF={j′∈J:j′∈↑F}, 則Mf?MF, 故JMF?JMf∈I0, 從而JMF∈I0.

注2設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 網(wǎng)(xj)j∈J?X, 子集A?X, 如果{j′∈J:xj′?↑A}∈I0, 則(xj)j∈J終在↑A中.

證明: 設(shè){j′∈J:j′?↑A}∈I0, 則存在j0∈J, 使得{j′∈J:j′?↑A}?JMj0, 從而Mj0?{j′∈J:xj′∈↑A}, 故當(dāng)j≥j0時(shí),j∈Mj0, 即x∈↑A.

定義5[17]設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g, 網(wǎng)(xj)j∈J?X,I是J的理想, 若x∈U∈τ蘊(yùn)含{j∈J:xj?U}∈I, 則稱網(wǎng)(xj)j∈J是關(guān)于拓?fù)洇永硐胧諗康絰的, 也稱x是網(wǎng)(xj)j∈J的理想極限, 并記為(xj)j∈J→Ix.

易知, 拓?fù)淇臻g(X,τ)中的網(wǎng)(xj)j∈J→τx當(dāng)且僅當(dāng)(xj)j∈J→I0x[17].

2 理想S極限

下面介紹T0拓?fù)淇臻g中的理想S極限, 并利用其刻畫拓?fù)淇臻g中的逼近關(guān)系, 同時(shí)給出定向空間為c-空間的充要條件.

定義6設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, (xj)j∈J是X中的一個(gè)網(wǎng),I是指標(biāo)集J的非平凡理想.如果存在定向集D?X, 使得:

1)D→τx;

則稱網(wǎng)(xj)j∈J是理想S收斂到x的, 或稱x是網(wǎng)(xj)j∈J的理想S極限, 記為(xj)j∈J→ISx.

設(shè)I是J的非平凡理想, 令τIS={U?X: (xj)j∈J→ISx,x∈U?{j:xj?U}∈I}.

命題7設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則τIS是X上的一個(gè)拓?fù)? 稱為理想S極限拓?fù)? 并且(xj)j∈J→ISx蘊(yùn)含(xj)j∈J→Ix關(guān)于拓?fù)洇覫S成立.

證明: 顯然?∈τIS.因?yàn)?∈I, 故X∈τIS.設(shè)U,V∈τIS, (xj)j∈J→ISx且x∈U∩V.顯然x∈U, 因?yàn)閁∈τIS, 故{j∈J:xj?U}∈I.同理, {j:xj?V}∈I, 故

{j∈J:xj?U∩V}={j:xj?U}∪{j:xj?V}∈I,

從而U∩V∈τIS.設(shè)Ui∈τIS,i∈K,K為指標(biāo)集, (xj)j∈J→ISx且x∈∪Ui, 則存在i∈K, 使得x∈Ui, 因此有{j:xj?Ui}∈I.又因?yàn)閧j:xj?∪Ui}?{j:xj?Ui}∈I, 故{j∈J:x?∪Ui}∈I, 從而∪Ui∈τIS.綜上τIS是X上的一個(gè)拓?fù)?由τIS的定義, 顯然有(xj)j∈J→ISx蘊(yùn)含(xj)j∈J→Ix關(guān)于拓?fù)洇覫S成立.

命題8設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則τIS是使得(xj)j∈J→ISx蘊(yùn)含(xj)j∈J→Ix的最細(xì)拓?fù)?

證明: 設(shè)拓?fù)洇邮沟?xj)j∈J→ISx蘊(yùn)含(xj)j∈J→Ix, 只需證明τ?τIS.對(duì)任意U∈τ, 如果有(xj)j∈J→ISx∈U, 則(xj)j∈J→Ix關(guān)于拓?fù)洇映闪? 即{j:xj?U}∈I, 從而U∈τIS.

命題9設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則理想S極限拓?fù)渑c定向拓?fù)湎嗤? 即τIS=d(X).

設(shè)U∈τIS, 定向集D→τx∈U.考察網(wǎng)(xd)d∈D, 其中xd=d對(duì)任意的d∈D成立.顯然(xd)d∈D→I0(D)Sx, 因?yàn)榧錓0(D)是定向集D的非平凡理想, 故有{d∈D:xd?U}≠D, 從而存在xd=d∈U, 進(jìn)而D∩U≠?,U∈d(X).

推論1設(shè)(X,τ)是定向空間, 則原拓?fù)洹?定向拓?fù)洹?理想S極限拓?fù)湎嗤? 即τ=d(X)=τIS.

推論2設(shè)(X,τ)是c-空間, 則{x:x∈X}是τIS的基.

命題10設(shè)(X,τ)是定向空間, 則下列結(jié)論等價(jià).

1) (X,τ)是c-空間;

2) (xj)j∈J→ISx等價(jià)(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪?

證明: 令(X,τ)是c-空間, (xj)j∈J→ISx,x∈U∈d(X).因?yàn)棣覫S=d(X), 故U∈τIS, 從而{j∈J:xj?U}∈I, 即(xj)j∈J→Ix, 進(jìn)而(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪?設(shè)(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪? 則(xj)j∈J→Ix關(guān)于τIS成立.由(X,τ)是c-空間知,x是定向集且x→τx.對(duì)任意的a∈x, 有x∈a∈τIS.因?yàn)?xj)j∈J關(guān)于拓?fù)洇覫S是理想收斂到x的且a∈d(X), 故{j∈J:xj?a}∈I, 從而{j∈J:xj?↑a}?{j∈J:xj?a}∈I, (xj)j∈J→ISx.

定義7設(shè)(X,τ)是拓?fù)淇臻g,x∈X,I是J的非平凡理想, 網(wǎng)(xj)j∈J?X, (xj)j∈J→x表示某種收斂結(jié)構(gòu).如果存在拓?fù)洇? 使得(xj)j∈J→x當(dāng)且僅當(dāng)(xj)j∈J→Ix關(guān)于拓?fù)洇映闪? 則稱收斂結(jié)構(gòu)(xj)j∈J→x是拓?fù)涞?

推論3設(shè)(X,τ)是c-空間, 則理想S收斂關(guān)于拓?fù)洇邮峭負(fù)涞?

證明: 由命題10知, (X,τ)是c-空間當(dāng)且僅當(dāng)理想S收斂關(guān)于拓?fù)鋎(X)是拓?fù)涞? 而c-空間都是定向空間, 從而理想S收斂關(guān)于拓?fù)洇邮峭負(fù)涞?

3 理想廣義S極限

下面用定向集族代替理想S收斂中的定向集定義理想廣義S收斂, 并研究其與局部強(qiáng)緊空間的關(guān)系.

定義8設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, (xj)j∈J是X中的一個(gè)網(wǎng),I是指標(biāo)集J的非平凡理想.如果存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對(duì)任意的F∈D(F), {j∈J:xj?↑F}∈I, 則稱網(wǎng)(xj)j∈J是理想廣義S收斂到x, 或者稱x是網(wǎng)(xj)j∈J的理想廣義S極限, 記為(xj)j∈J→IGSx.

命題11設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則理想S收斂蘊(yùn)含理想廣義S收斂, 即(xj)j∈J→ISx蘊(yùn)含(xj)j∈J→IGSx.

上述結(jié)果的逆命題不一定成立, 說明理想廣義S極限是理想S極限的推廣.

例1設(shè)L=∪{∞,a}, 這里表示自然數(shù)的集合.對(duì)任意x,y∈L,x≤y?y=∞或x,y∈,x≤y, 賦予Scott拓?fù)? 則Scott拓?fù)渖傻奶厥饣蚺c原序一致. 易知,L是非連續(xù)的擬連續(xù)domain, 即擬連續(xù)空間. 對(duì)任意的n∈, {a,n}?a且D(F)={{a,n}:n∈}滿足D(F)→σa.令x2n=n,x2n+1=a, 則(xn)n∈是一個(gè)網(wǎng).取N的理想I0, 則顯然{m:xm?↑{n,a}}∈I0.令D(F)={{n,a}:n∈}, 則顯然D(F)→σa, 且{m:xm?↑{n,a}}∈I0成立, 即(xn)n∈→GI0Sa.另一方面, 如果x∈L, 則顯然{m:xm?↑n}?I0, {m:xm?↑a}?I0.從而不存在定向集D?L, 使得D→σx, 且對(duì)任意的d∈D, {j∈J:xjd}∈I0, 即(xn)n∈→ISa不成立.

命題12設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g,x∈X,G∈Pw(X).如果任意網(wǎng)(xj)j∈J和J的非平凡理想I, (xj)j∈J→IGSy蘊(yùn)含{j∈J:xj?↑G}∈I, 則G?x.

證明: 設(shè)定向集D?X,D→τx, 令(xd)d∈D滿足xd=d, 則(xd)d∈D→I0Sx, 即(xd)d∈D→GI0Sx.故{j∈J:xj?↑G}∈I0.因?yàn)镮0是非平凡理想, 故{j∈J:xj?↑G}≠D.因此存在xd0=d0, 使得d0∈↑G, 即G?x.

命題13設(shè)(X,τ)是局部強(qiáng)緊空間,G∈Pw(X), (xj)j∈J是一個(gè)網(wǎng),I是J的非平凡理想,x∈L.如果對(duì)任意G?x蘊(yùn)含{j∈J:xj?↑G}∈I, 則(xj)j∈J→GISx.

證明: 設(shè)G∈Pw(X), (xj)j∈J?L是一個(gè)網(wǎng),I是J的非平凡理想,x∈L且對(duì)任意G?x有{j∈J:xj?↑G}∈I.由于局部強(qiáng)緊空間都是擬連續(xù)空間, 因此fin(x)={F∈Pw(X):F?x}是定向集族, 且fin(x)→τx.由假設(shè)知對(duì)任意F∈fin(x), {j∈J:xj?↑F}∈I, 則(xj)j∈J→GISx.

設(shè)I是J的非平凡理想, 令τIGS={U?X: (xj)j∈J→IGSx,x∈U?{j:xj?U}∈I}.

命題14設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則τIGS是X上的一個(gè)拓?fù)? 稱為理想廣義S極限拓?fù)?并且(xj)j∈J→IGSx蘊(yùn)含(xj)j∈J→Ix.

證明過程與命題7類似, 故略.

命題15設(shè)(X,τ)是T0拓?fù)淇臻g, 則理想廣義S極限拓?fù)渑c定向拓?fù)湎嗤? 即τIGS=d(X).

證明: 由命題11知,τIGS?τIS=d(X).設(shè)U∈d(X), (xj)j∈J→IGSx∈U, 則存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對(duì)任意F∈D(F), {j∈J:xj?↑F}∈I.因?yàn)镈(F)→τx∈U且U∈d(X), 故存在F∈D(F), 使得↑F?U.又因?yàn)閧j∈J:xj?U}?{j∈J:xj?↑F}∈I, 即{j∈J:xj?U}∈I, 故U∈τIS.

上述命題表明雖然理想S極限和理想廣義S極限不一樣, 但它們生成的拓?fù)涫且恢碌?

推論4設(shè)(X,τ)是定向空間, 則原拓?fù)洹?定向拓?fù)洹?理想S極限拓?fù)洹?理想廣義S極限拓?fù)湎嗤?

推論5設(shè)(X,τ)是局部強(qiáng)緊空間, 則{F:F∈Pw(X)}是τIGS的基.

命題16設(shè)(X,τ)是定向空間, 則下列結(jié)論等價(jià):

1) (X,τ)是局部強(qiáng)緊空間;

2) (xj)j∈J→IGSx等價(jià)(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪?

證明: 令(X,τ)是局部強(qiáng)緊空間, (xj)j∈J→IGSx,x∈U∈d(X).因?yàn)棣覫GS=d(X), 故U∈τIGS, 從而{j∈J:xj?U}∈I, (xj)j∈J→Ix, 即(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪?設(shè)(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪? 則(xj)j∈J→Ix關(guān)于τIGS成立.因?yàn)?X,τ)是局部強(qiáng)緊空間, 故fin(x)是定向集族且fin(x)→τx.對(duì)任意的F∈fin(x), 有x∈F∈τIGS, 因?yàn)?xj)j∈J關(guān)于拓?fù)洇覫GS是理想收斂的且a∈d(X), 故{j∈J:xj?F}∈I, 從而{j∈J:xj?↑F}?{j∈J:xj?F}∈I, 進(jìn)而有(xj)j∈J→IGSx.

設(shè)(xj)j∈J→IGSx等價(jià)(xj)j∈J→Ix關(guān)于定向拓?fù)涑闪?對(duì)任意x∈X, 令

N(x)={U∈d(X):x∈U},M(x)={(U,y):U∈N(x),y∈U},

定義如下預(yù)序:(U1,y1)≥(U2,y2)?U1?U2, 顯然M(x)是定向集.設(shè)(x(U,y))(U,y)∈M(x)=y, 則(x(U,y))(U,y)∈M(x)作為網(wǎng)在定向拓?fù)渲惺諗康絰, 即(x(U,y))(U,y)∈M(x)→I0x.從而(x(U,y))(U,y)∈M(x)→I0GSx, 則存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對(duì)任意的F∈D(F), {(U,y)∈M(x):x(U,y)?↑F}∈I0.由于I0是J的非平凡理想, 故存在(Ud,yd)∈M(x), 使得x(Ud,yd)∈↑F, 從而當(dāng)x(U,y)≥x(Ud,yd)時(shí),x(U,y)∈↑F, 即(x(U,y))(U,y)∈M(x)終在↑F中.任取w∈Ud, 則(Ud,w)≥(Ud,yd).因此w=x(Ud,w)≥x(Ud,yd)≥yd, 由yd∈↑F知對(duì)任意的F∈D(F), 存在x的開鄰域Ud滿足Ud?↑F.

推論6設(shè)(X,τ)是局部強(qiáng)緊空間, 則理想廣義S收斂關(guān)于拓?fù)洇邮峭負(fù)涞摹?/p>

綜上所述, 本文在拓?fù)淇臻g中引入了理想S極限和理想廣義S極限的概念, 并給出了兩種收斂結(jié)構(gòu)為拓?fù)涫諗康臈l件, 所得結(jié)果有助于序結(jié)構(gòu)理論和拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步研究.拓?fù)淇臻g的理想S收斂是偏序集中S收斂的推廣, 從而在拓?fù)淇臻g中研究偏序結(jié)構(gòu).在拓?fù)淇臻g可否研究類似于偏序集的內(nèi)射殼、 不動(dòng)點(diǎn)、 格序半群等[18-20], 是需進(jìn)一步研究的內(nèi)容.