硅酸鎵鑭晶體諧振器的高頻振動分析

吳榮興，王曉明，唐忠平，王驥

(1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，浙江寧波 315800；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波 315211)

0 引言

石英晶體諧振器因其頻率高、穩(wěn)定性好、抗干擾性強(qiáng)等特性，在通信工程、航空航天、傳感檢測等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。針對石英晶體諧振器的高頻振動，Mindlin 通過將位移和電勢展開為厚度坐標(biāo)冪級數(shù)的方式將三維彈性問題轉(zhuǎn)化為二維問題，分析了石英晶體諧振器的振動特性和電學(xué)參數(shù)[3]。Lee等[4]和Peach[5]分別提出了基于三角函數(shù)展開和特征值的板理論，同樣可以用于石英晶體板高頻振動的特性分析。Yang等[6]對于石英晶體諧振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)變化和偏場方法及其應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究。Patel等[7]通過有限元方法分析了非線性效應(yīng)對石英晶體諧振器振動特性的影響，初步解釋了激勵電平效應(yīng)。文獻(xiàn)[8-11]建立了考慮材料和幾何非線性的石英晶體板高頻振動方程，并利用解析方法和數(shù)值方法對非線性方程組進(jìn)行了求解，獲得了不同驅(qū)動電壓下的頻率響應(yīng)曲線。

隨著電子行業(yè)對諧振器微型化和高頻化需求的不斷增加，各類新材料壓電聲波諧振器的研究得到了廣泛的開展。其中硅酸鎵鑭(La3Ga5SiO14,LGS)是一種性能優(yōu)異的新型壓電晶體材料，相比于石英晶體材料，硅酸鎵鑭具有更強(qiáng)的壓電系數(shù)、更高的阻抗、更大的介電常數(shù)和機(jī)電耦合系數(shù)[12-15]。硅酸鎵鑭晶體材料開始應(yīng)用于各類傳感器、諧振器、濾波器等電子器件的試制[16-17]。目前的硅酸鎵鑭晶體諧振器的試制過程都是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取一定尺寸范圍的晶片進(jìn)行制作，經(jīng)測試其振動特性和電學(xué)參數(shù)后再細(xì)化所選定的晶片尺寸，費(fèi)時(shí)費(fèi)力且結(jié)果不盡如人意，需從振動理論上對硅酸鎵鑭晶體諧振器設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。開展新材料硅酸鎵鑭壓電聲波諧振器振動理論及設(shè)計(jì)方法研究，將會促進(jìn)壓電聲波理論的進(jìn)一步完善和求解方法的創(chuàng)新。

本文利用Mindlin 一階板理論分析了硅酸鎵鑭晶體板強(qiáng)耦合的厚度剪切振動和彎曲振動，獲得了硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關(guān)系、頻譜關(guān)系和振動模態(tài)位移圖。研究結(jié)果為硅酸鎵鑭晶體諧振器的設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)。

1 基本方程

硅酸鎵鑭是一種具有獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)的多功能晶體材料，在壓電聲波諧振器和濾波器中已經(jīng)得到了不斷的應(yīng)用[13]。硅酸鎵鑭諧振器的設(shè)計(jì)首先要解決的問題就是確定晶片的尺寸，也就是晶片的長度、厚度和寬度。硅酸鎵鑭晶片的厚度由工作頻率初步確定，接著確定晶片的長度，也就是設(shè)計(jì)最佳的晶片長度，從而確保諧振器工作特性的穩(wěn)定，寬度對諧振器振動特性的影響不大[1-3]。需要設(shè)計(jì)的硅酸鎵鑭晶體板如圖1所示，其長度、寬度和厚度的尺寸分別為2a、2c和2b。

圖1 硅酸鎵鑭晶體板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a La3Ga5SiO14 crystal plate

基于Mindlin 板理論的位移假設(shè)，將位移展開為厚度坐標(biāo)x2的冪級數(shù)[3]

硅酸鎵鑭晶體板的運(yùn)動方程為[3]

式中：Tij和b分別為應(yīng)力表達(dá)式和硅酸鎵鑭晶體板的半板厚。

高階本構(gòu)關(guān)系為

2 色散關(guān)系

對高階位移進(jìn)行截?cái)嗪瓦x取后，可以得到應(yīng)力位移的表達(dá)式：

基于直峰波位移假設(shè)，可以令位移為[18-19]

式中：A1(A2)、ζ和ω分別為振幅、波數(shù)和頻率。

為了計(jì)算簡單，可以將頻率、波數(shù)和波速進(jìn)行歸一化處理：

將位移表達(dá)式(8)代入應(yīng)力表達(dá)式(7)，最終代入式(6)中的運(yùn)動方程，可以得到：

由于振幅A1(A2)有非零解，因此要求式(10)的系數(shù)矩陣行列式的值為0，即：

式(11)即為硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關(guān)系。確定硅酸鎵鑭晶體材料的彈性常數(shù)后[13]，利用Matlab軟件編程計(jì)算獲得了硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關(guān)系，即頻率和波數(shù)的關(guān)系，如圖2所示。主要計(jì)算思路是在式(11)中設(shè)定一個歸一化頻率值，通過Matlab軟件中的Solve函數(shù)求出歸一化波數(shù)解，然后繪制硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關(guān)系圖。

圖2 硅酸鎵鑭晶體板兩種振動模態(tài)的色散關(guān)系Fig.2 Dispersion curves of two vibration modes of the La3Ga5SiO14 crystal plate

從圖2可以發(fā)現(xiàn)硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動模態(tài)的一階截止頻率為1，非常精確。這里獲得硅酸鎵鑭晶體板的色散關(guān)系與石英晶體板的色散關(guān)系類似。石英晶體板厚度剪切振動時(shí)如未考慮修正，獲得的一階截止頻率為0.97，為此Wang 等提出了自然修正法和對稱修正法來保證一階截止頻率為1[1-3]。

3 頻譜關(guān)系

通過色散關(guān)系式(11)可以得到兩個波數(shù)解，位移的表達(dá)式可表示為

式中：A21/A22、α1/α2和Z1/Z2分別為新定義振幅、振幅比和兩個波數(shù)。振幅比的定義為

同樣將位移表達(dá)式(12)代入應(yīng)力表示表達(dá)式(7)，可以得到：

對于如圖1所示硅酸鎵鑭晶體板，在長度方向的邊界條件為

式中：a為硅酸鎵鑭晶體板板長的一半。

將式(14)中的應(yīng)力表達(dá)代入式(15)中的邊界條件，可以得到關(guān)于振幅A21(A22)的兩個方程組。同樣振幅A21(A22)有非零解，令其系數(shù)矩陣的行列式值為0，即：

給定硅酸鎵鑭晶體的尺寸后，可以獲得硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的頻譜關(guān)系，也就是頻率和長厚比關(guān)系如圖3所示。頻率關(guān)系的計(jì)算思路為設(shè)定硅酸鎵鑭晶體板的一個長厚比，利用Matlab軟件中的二分法程序?qū)κ?16)中的行列式方程進(jìn)行求解，獲得其歸一化頻率。

圖3 硅酸鎵鑭晶體板歸一化振動頻率與長厚比(a/b)關(guān)系圖Fig.3 Relationships between normalized vibrations frequency and a/b of the La3Ga5SiO14 crystal plate

選定硅酸鎵鑭晶片任意一個長厚比，可以獲得多個頻率解，每個頻率解表示一種振動形式，可以繪制每個頻率解的振動模態(tài)位移圖，比較各振動模態(tài)位移的大小來確定其主振模態(tài)[1-3]。研究表明斜率較大的斜直線部分為彎曲振動模態(tài)，此時(shí)彎曲振動是主振模態(tài)；而在歸一化頻率1附近的平坦部分為厚度剪切振動模態(tài)，此時(shí)厚度剪切振動是主振模態(tài)[18-19]。

圖3表明在硅酸鎵鑭晶體板高頻振動時(shí)，彎曲振動模態(tài)u(0)2和厚度剪切振動模態(tài)u(1)1存在強(qiáng)耦合，隨著頻率和長厚比的變化，兩種模態(tài)也在不停地相互轉(zhuǎn)換[3]。在石英晶體諧振器的高頻振動分析過程中，Wang 等提出了選取石英晶板的最佳長厚比來避免彎曲振動模態(tài)u(0)2和厚度剪切振動模態(tài)u(1)1的強(qiáng)耦合，也就是選取一定的a/b作為晶片的尺寸[18-19]。主要選取思路是選取歸一化頻率1附近平坦階段的中間部分、與其他模態(tài)存在一定距離的點(diǎn)。依據(jù)這一思路，本文同樣選取歸一化頻率隨長厚比變化較為平坦中間部分、與其他模態(tài)存在一定距離的硅酸鎵鑭晶片長厚比，也就是如圖3所示的A點(diǎn)，其長厚比為22.5。同樣可以選取同樣的點(diǎn)作為硅酸鎵鑭晶體板的最佳尺寸，也是諧振器設(shè)計(jì)和制造企業(yè)急需確定的晶片尺寸。

可以進(jìn)一步重寫位移表達(dá)式：

式中：β為振幅比，其定義為

基于式(17)中的位移表達(dá)，在提取振幅A22后，可以繪制出硅酸鎵鑭晶體板各振動模態(tài)的位移如圖4所示。

圖4 硅酸鎵鑭晶體板的兩種振動模態(tài)的歸一化位移與x1/b 關(guān)系圖Fig.4 Relationships between normalized displacements of two vibration modes and x1/b of the La3Ga5SiO14 crystal plate

從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，在選取硅酸鎵鑭晶體板最佳長厚比22.5 后，厚度剪切振動模態(tài)u(1)1是硅酸鎵鑭晶體板的主振模態(tài)，彎曲振動模態(tài)u(0)2的振幅相對于厚度剪切振動模態(tài)u(1)1的振幅較小，表明兩種模態(tài)不存在強(qiáng)烈耦合，此時(shí)的尺寸可以作為硅酸鎵鑭晶體諧振器的設(shè)計(jì)尺寸。同時(shí)圖4表明厚度剪切振動模態(tài)u(1)1的位移主要集中在硅酸鎵鑭晶體板的中間，具有很好的能陷效應(yīng)[8-10]。綜合利用硅酸鎵鑭晶體板的頻譜關(guān)系和振動模態(tài)位移關(guān)系可以指導(dǎo)硅酸鎵鑭晶體諧振器的設(shè)計(jì)，避免了試湊硅酸鎵鑭晶片尺寸的復(fù)雜過程[1-2]。

4 結(jié)論

基于Mindlin 一階板理論，本文分析了硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動和彎曲振動，獲得了硅酸鎵鑭晶體板的色散關(guān)系、頻譜關(guān)系和振動模態(tài)位移圖。獲得的色散關(guān)系表明Mindlin 板理論同樣可以應(yīng)用于硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動分析，其一階截止頻率非常精確。選取硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的頻譜關(guān)系中基頻附近較為平緩的點(diǎn)作為最佳尺寸，繪制該尺寸的振動模態(tài)位移圖，結(jié)果表明厚度剪切振動模態(tài)是硅酸鎵鑭晶體板的主振模態(tài)，與彎曲振動模態(tài)的耦合較弱且能陷效應(yīng)較為理想。本文建立的方程和獲得的結(jié)果可以用于指導(dǎo)硅酸鎵鑭晶體諧振器的實(shí)際研發(fā)。