面積公式的由來與推導(dǎo)

顧卿璇

小學(xué)數(shù)學(xué)中求正方形、長方形、平行四邊形、梯形和三角形的面積時都有具體的公式可以運(yùn)用。例如，三角形的面積公式是“長× 高÷2”，而梯形的面積公式則是“（上底＋下底）× 高÷2”。那么，為什么會有這些求面積的公式呢？換言之，這些面積公式是怎么來的呢？

要弄清楚這些問題，就必須從根本上弄清楚“平方”概念的由來以及不同幾何圖形之間的聯(lián)系。

一、面積公式的由來

數(shù)學(xué)上，面積單位一般是以“平方米”“平方厘米”“平方千米”（平方公里）來表述的。那么，什么是“平方”？或者，“平方”究竟是什么意思？

“平方”這一概念的起源可以追溯到古希臘數(shù)學(xué)中的平方數(shù)概念。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和他的追隨者首次研究了平方數(shù)的特性，即“一個數(shù)與自身相乘的運(yùn)算”。

漢語中的“平方”的譯文則來自英文的square，即“平方”也就是一個正方形面積的大小，因為square 的本義就是“正方形”。正方形的四條邊的邊長都一樣長，假定某個正方形的邊長為“x”，則這個正方形的面積就是“x × x”，而“x × x = x2”。如果這個邊長的單位是“4 米（metre）”，則這個正方形的面積為 “16 平方米（squaremetres）”，于是寫作“16 m2”。

至此，不難發(fā)現(xiàn)，所謂“面積”，也就是以某個長度單位（例如：厘米）為基準(zhǔn)，在一個平面上可以分割出多少個邊長為1 厘米的正方形。如果能夠分割出8 個邊長為1 厘米的正方形，則這個平面的面積為8平方厘米；如果能夠分割出10個邊長為1厘米的正方形，則這個平面的面積為10平方厘米。

于是，求正方形面積的公式便產(chǎn)生了——“S = a × a = a2”。這里，“S”在英文里代表“表面積”（Surface area），“a”代表正方形的邊長。

二、面積公式的推導(dǎo)

正方形的面積公式是求其他幾何圖形面積公式的基礎(chǔ)。有了這個基礎(chǔ)，人們就不難推導(dǎo)出求其他幾何圖形的面積公式。

這里，必須確定的是：所謂“面積”的“面”就是“平面”的意思，而任何平面圖形都可以被概括為“二維圖形”，一個維度是“長”，另一個維度是“寬”（有時，又被稱作“高”）；所謂“面積”的“積”就是“兩個維度的相乘之積”的意思。

面積，面積，原來如此！

以下是一些面積公式的推導(dǎo)。

1.長方形面積公式的推導(dǎo)

既然正方形的面積是由邊長與邊長的乘積而得來，那么這就很好推導(dǎo)出長方形的面積計算公式了，因為正方形就是一個特殊的長方形。

圖1是一個邊長7厘米、寬4厘米的長方形，那么怎么計算其面積呢？實際上，這并不困難，只要將其劃分為邊長為1厘米的正方形，然后數(shù)一數(shù)有多少個邊長為1厘米的正方形，即可求出其面積。

于是，我們可以把圖1轉(zhuǎn)換成圖2。

這樣，我們就可以得到28個邊長為1厘米的正方形，而1個邊長為1厘米的正方形的面積為1平方厘米（1 cm2），那么28個邊長為1厘米的正方形的面積自然是28平方厘米（28 cm2）。

用數(shù)學(xué)的算式來表達(dá)是“7 × 4 = 28 cm2”，因為每一行有7 個邊長為1 厘米的正方形，每一列有4 個邊長為1 厘米的正方形。

于是，長方形的面積計算公式：面積= 長× 寬。

2. 平行四邊形面積公式的推導(dǎo)

明白了長方形的面積公式的推導(dǎo)過程，人們就不難得出平行四邊形面積公式的推導(dǎo)。

圖3 是一個邊長3 厘米、高2 厘米的平行四邊形，怎么才能求出其面積呢？

由于平行四邊形具有對應(yīng)邊平行、對應(yīng)邊長度相等的特性，那么就可以過A 點作垂線交BC 于E，分割出RT △ ABE。然后，運(yùn)用“平移”（rotation）的原理，將RT △ ABE 平移到DCF 的位置，就可以得到一個長方形，且所得到的這個長方形的上底與下底的邊長沒有變化，高也沒有變化，因此面積大小也不會變化。

既然長方形的面積計算公式是“面積 =長× 寬”，那么平行四邊形的面積不就是“底邊邊長× 高”嗎？而通過觀察和對比圖3 向圖4的轉(zhuǎn)換，我們就可以發(fā)現(xiàn) ：平行四邊形的“底邊邊長”就是長方形的“長”，平行四邊形的“高”就是長方形的“寬”。

3. 梯形面積公式的推導(dǎo)

圖5 是一個上底2 厘米、下底4 厘米、高3 厘米的梯形。如何求其面積呢？實際上，求平行四邊形面積的“割補(bǔ)法”對推導(dǎo)梯形面積的公式具有啟示作用。

我們只要分別過A點作垂直于BC的垂線于G和過D點作垂直于BC的垂線于H，然后分別取BG的中點F和HC的中點I作垂線EF交于E和垂線JI交于J，再將△JIC逆時針旋轉(zhuǎn)180°，至△DJK的位置，將△EBF順時針旋轉(zhuǎn)180°，至△ALE的位置，就可以得到一個長方形LFIK。

因為：AD = GH， BF = FG = LA， HI = IC = DK，

所以：LA + AD + DK

= FG + GH + HI

= （AD + BC） ÷ 2

= （2 + 4） ÷ 2

= 6 ÷ 2

= 3

于是，“3厘米”即長方形LFIK的“長”，那么這個長方形的面積就是9平方厘米（3×3 = 9）。而長方形LFIK的“長”由梯形的“（上底+下底）÷2”得來，至此梯形的面積公式就被推導(dǎo)出來了——面積=（上底+下底）×高÷ 2。

4.三角形面積公式的推導(dǎo)

三角形面積公式的推導(dǎo)，似乎比長方形、平行四邊形和梯形的面積公式的推導(dǎo)要復(fù)雜一些，其實不然。

最簡單的辦法是，當(dāng)你把一張正方形的紙沿著其中一條對角線剪開，你就能夠得到兩個面積一樣大的三角形。如前所述，正方形的面積是“邊長與邊長的乘積”，那么你所得到的三角形的面積不就是正方形面積的一半嗎？

同樣，當(dāng)你把一張長方形（見圖7）的紙沿著其中一條對角線剪開，你也能夠得到兩個面積一樣大的三角形。而長方形的面積是“AB × AC ”，那么三角形的面積不就是這個長方形的面積除以2 嗎？而△ BCD 的“底”（CD）就是原來的長方形的“長”，這個三角形的“高”（BD）就是原來的長方形的“寬”，那么，三角形的面積公式不就是“（長× 寬）÷ 2”嗎？

三、結(jié)論與啟發(fā)

通過對面積公式的由來與推導(dǎo)的討論，我們至少可以得出這樣的結(jié)論：面積公式的根本是正方形的面積公式，求幾何圖形面積的關(guān)鍵是確定二維圖形的兩個維度，或表現(xiàn)為“長和寬”，或表現(xiàn)為“底和高”。同時，我們從中也可以得到啟示，即數(shù)學(xué)知識是一個相互聯(lián)系的整體，因此在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題時要有聯(lián)系的、系統(tǒng)的觀念。