關(guān)于有限循環(huán)群的一個(gè)注記

蔣琴會(huì),于云清

（1.南京郵電大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210023；2.山東濰坊第七中學(xué),山東 濰坊 261000）

引 言

我們所涉及的群均指有限群.循環(huán)子群是有限群中一類非常重要的子群, 它是可以由一個(gè)元素生成的特殊的交換子群.文獻(xiàn)［1］定理6.8 指出: 設(shè)G 是n 階群,如果（n,Φ（n））=1,則G 循環(huán),這里Φ（n）是正整數(shù)n 的歐拉函數(shù).文獻(xiàn)［2,3］習(xí)題1.4.3有下述結(jié)論: 設(shè)G 是有限群,假設(shè)|{x∈G|xn=1}|≤n,?n∈N,那么G 是循環(huán)群.在［1］中,史江濤等證明了下面的定理1:

定理1 設(shè)G 為有限群,若G 的每個(gè)循環(huán)子群H 都滿足: 對(duì)任意x∈GH 都有o（x）不整除｜H｜, 則G是循環(huán)群.

本文我們給出它的另一個(gè)較為初等、簡(jiǎn)潔的證明.應(yīng)用我們的方法我們還可以證明定理2:

定理2 設(shè)G 為有限群, 對(duì)于任意正整數(shù)n‖G｜,G只有一個(gè)n階子群,則G循環(huán).

由定理2, 我們可以證明:

定理3 設(shè)G 是有限群,如果對(duì)于任意的正整數(shù)n‖G｜有｜{x∈G｜xn=1}｜= n 成立,則G 是循環(huán)群.

1 定理1的證明

證明 任取一｜G｜的素因子P, 設(shè)P 為G的一個(gè)Sylow P-子群.

第一步.P循環(huán).

令x 為P 的一個(gè)最高階元.假設(shè)P 非循環(huán),則P ＞〈x〉.取y∈P 〈x〉,由假設(shè)o（y）不整除｜〈x〉｜=o（x）.由于x 是最高階元,故o（y）整除o（x）, 矛盾.因此P =〈x〉是一個(gè)循環(huán)群.

第二步.P正規(guī)于G.

對(duì)于任意的g∈G,我們證明g-1Pg = P.假設(shè)存在d∈G使得d-1Pd≠P.令P =〈x〉.

則d-1xd∈GP.由假設(shè)o（d -1xd）=o（x）不整除｜P｜=｜〈x〉｜= o（x）,矛盾.由正規(guī)子群的定義,P正規(guī)于G.

第三步.G循環(huán).

若G 是一個(gè)P群, 則G 循環(huán).下設(shè)G 不是一個(gè)P 群.設(shè)Pi,i=1,2,...,n 是｜G｜的全部素因子, Pi 是G 的一個(gè)Sylow Pi-子群.設(shè)Pi=〈xi〉.易知,Pi⌒Pj=1,i≠j.由于Pi 是G 的正規(guī)子群,我們有xi-1xj-1xixj∈Pi⌒Pj=1.所以,xixj = xjxi.由i,j的任意性,我們有G=P1...Pn=〈x1...xn〉.因此G是一個(gè)循環(huán)群.

2 定理2的證明

證明 任取一G 的素因子P, 設(shè)P 為G 的一個(gè)Sylow P-子群.取P 的最高階元x.任意取y∈P, 則o（y）｜o（x）.由假設(shè)y∈〈x〉.由此得P=〈x〉循環(huán).由于G 只有一個(gè)Sylow P-子群, 有P正規(guī)于G.同定理1的證明可得,G循環(huán).

3 定理3的證明

證明我們分3步證明該定理.

3.1 每個(gè)循環(huán)群H,群G只有唯一的｜H｜階子群

設(shè)H是一個(gè)循環(huán)子群且｜H｜=m.由于｜{x∈G｜xm=1}｜=m ,所以.這說(shuō)明G 中的m 階子群只有一個(gè):H.因此,H正規(guī)于G.

3.2 G的Sylow子群循環(huán)

設(shè)P 是群G 階的任意素因子,P 是G 的一個(gè)Sylowp-子群.取x為P的一個(gè)最高階元.則對(duì)于任意的y∈P,有o（y）｜o（x）.令o（x）=m,于是我們有｜{x∈P｜xm=1}｜≦｜{x∈G｜xm=1} ｜≤m,因此｜{x∈P｜xm=1}｜= m, 這說(shuō)明〈x〉={x∈P｜xm=1}.于是y ∈〈x〉.進(jìn)而P =〈x〉循環(huán).

3.3 G循環(huán)

由1,2,知G 的每個(gè)Sylow 子群正規(guī)于G 且循環(huán),所以G循環(huán).