七階非線性薛定諤方程的調(diào)制不穩(wěn)定性以及周期背景上的怪波解

姜冬竹，扎其勞，2，3

（1.內(nèi)蒙古師范大學 數(shù)學科學學院，呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應用數(shù)學中心，呼和浩特 010022；3.無窮維哈密頓系統(tǒng)及其算法應用教育部重點實驗室，呼和浩特 010022）

這里Φ=(?1，?2)T。近年來，對非線性演化方程周期怪波解的研究得到了學者們越來越多的關注。在雅可比橢圓函數(shù)［2］的背景下，利用雅可比橢圓函數(shù)展開法，結合達布變換［3］與譜問題的非線性化［4］的方法，許多非線性演化方程的周期怪波解被構造。如高階修正Korteweg-de Vries （mKdV）方程［5］、Hirota 方程［6］、NLS 方程［7-8］。因此，本文重點是分析方程（3）的調(diào)制不穩(wěn)定性。在此基礎上，構造其在雅可比橢圓函數(shù)dn 和cn背景上的兩類不規(guī)則的周期怪波解。

1 調(diào)制不穩(wěn)定性分析

首先給出方程（3）的平面波種子解

這里A為實常數(shù)，ω表示背景頻率，κ表示波數(shù)。將式（7）代入方程（3）中，可得

在式（7）中加入一個小的擾動參數(shù)ε，則擾動解可以表達成如下形式

這里r1和r2都是小參數(shù)。將式（9）代入方程（3）中，可以得到關于r1和r2的齊次線性方程組。如果令r1和r2的系數(shù)行列式結果為零，并求解關于Ω的方程組，則可求得MI 增益G為

其中

由式（10）可得，在|K|<2A的條件下G會存在虛部，則擾動函數(shù)r（x，t）呈指數(shù)增長，從而破壞了系統(tǒng)的穩(wěn)定性并產(chǎn)生怪波。MI 波的寬度與參數(shù)A呈正相關，如圖1 所示。

圖1 方程（3）在α=-0.1，β=0.1，γ=0.1，δ=0.2 時的調(diào)制不穩(wěn)定性分析Fig.1 The MI analysis of equation （3） with α=-0.1，β=0.1，γ=0.1，δ=0.2

2 雅可比橢圓函數(shù)解

3 dn 周期波和cn 周期波的特征值

4 周期特征函數(shù)與非周期解

4.1 Lax 對的周期特征函數(shù)

通過計算可得

根據(jù)式（18）、（33）、（29）和（36），得

式（38）取正或負的平方根，則以下關系可以被推出

根據(jù)式（29）和（31），以下關系可以被推導出

其滿足

4.2 Lax 對的非周期解

假設Φ=(?1，?2)T是Lax 對式（4）-（5）在λ=λ1時的周期解，為推導怪波解，需要通過(ψ1，ψ2)T構造非周期解，其表示為Lax 對式（4）—（5）的二階線性無關解，其形式為

其中θ=θ(x，t)是待定函數(shù)，將式（42）代入式（4），可得

根據(jù)式（12）和式（31），可以將式（43）改寫為

根據(jù)式（34）和式（35），式（44）可以退化為

對式（44）關于x進行積分，得

其中θ0(t)是與t相關的積分常數(shù)。將式（42）代入式（5），利用雅可比橢圓函數(shù)展開法，得

其中

通過計算可得Δ1=0，因此

這里η是積分常數(shù)。將式（49）代入式（46）得到

5 周期背景上的怪波解

根據(jù)文獻［3］，方程（3）的一重達布變換如下

其中(?11，?21)T為Lax 對式（4）—（5）在λ=λ1時的非零解。基于式（51）和3.1 節(jié)，應用雅可比橢圓函數(shù)dn和cn，方程（3）在周期背景上的怪波解如下

圖2 當取 α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0 時方程（3）在dn 周期背景上的怪波解Fig.2 Rogue wave solution on the dn-periodic background of equation （3） with α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0

分別在k=0.5 和k=0.99 時描述方程（3）在dn 周期背景上的怪波解。特別地，當k=0 或k=1 時，可以得到dn 周期背景上的退化怪波解（見圖2―5）。分別在k=0.5 和k=0.99 時描述方程（3）在cn 周期背景上的怪波解。特別地，當k=1 時，可以得到cn 周期背景上的退化怪波解（見圖5―7）。

圖3 當取t =0 時方程（3）在dn 周期背景上沿x 軸傳播的怪波Fig.3 The wave propagation along the x-axis of rogue wave solution on the dn-periodic background of equation （3） at t =0

圖4 當取 α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0 時方程（3）在dn 周期背景上的退化怪波解Fig.4 Degenerate rogue wave solution on the dn-periodic background of equation （3） with α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0

圖5 當取t=0 時方程（3）在dn 周期背景上沿x 軸傳播的退化怪波Fig.5 The wave propagation along the x-axis of degenerate rogue wave solution on the dn-periodic background of equation （3） at t =0

圖6 當取α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0 時方程（3）在cn 周期背景上的怪波解Fig.6 Rogue wave solution on the cn-periodic background of equation （3） with α=1， β=3，γ=3，δ=3，η=0

圖7 當取t =0 時方程（3）在cn 周期背景上沿x 軸傳播的怪波Fig.7 The wave propagation along the x-axis of degenerate rogue wave solution on the cn-periodic background of equation （3） at t =0

6 結論

本文在分析調(diào)制不穩(wěn)定性的基礎上，通過引入巴格曼約束，利用譜問題的非線性特性和達布變換方法，構造七階非線性薛定諤方程在dn 和cn 背景上的不規(guī)則周期怪波，并通過圖像顯示了它們的動力學特性。此外，在雅可比橢圓函數(shù)的背景上，雅可比橢圓函數(shù)展開法簡化了推導過程，顯示了該方法在計算過程中的便捷性。