基于量子Bernoulli噪聲的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩

于媛媛, 王才士, 范 楠

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

作為經(jīng)典隨機(jī)游蕩的量子類似物, 量子游蕩自提出以來(lái)即受到廣泛關(guān)注, 并在量子信息和量子計(jì)算等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]. 量子游蕩主要分為離散時(shí)間量子游蕩和連續(xù)時(shí)間量子游蕩, 針對(duì)環(huán)境的不同又分為酉游蕩和開放游蕩. 本文主要研究開放環(huán)境中的離散時(shí)間量子游蕩. 開放量子游蕩[3]是經(jīng)典Markov鏈的精確量子類似物, 用于制定耗散量子計(jì)算算法和耗散量子態(tài)制備[4]. 在開放量子游蕩中, 節(jié)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)移純粹是由與環(huán)境耗散性相互作用驅(qū)動(dòng)的. 酉量子游蕩和開放量子游蕩的關(guān)鍵區(qū)別是開放量子游蕩不依賴于節(jié)點(diǎn)之間的量子干涉, 并且它存在中心極限定理[5]. 不同于酉量子游蕩, 由于局部環(huán)境的影響, 開放量子游蕩的動(dòng)力學(xué)是非酉的. 事實(shí)上, 開放量子游蕩一步步地描述了典型的量子行為, 但它似乎顯示了一個(gè)相當(dāng)經(jīng)典的漸近行為[6-7]. 由于經(jīng)典Markov鏈的方法在開放量子游蕩上的應(yīng)用和推廣, 使得其在該領(lǐng)域取得了許多研究成果.

QBNs(quantum Bernoulli noises)是作用于Bernoulli泛函上的湮滅和增生算子族, 滿足等時(shí)典則反交換關(guān)系, 可在描述環(huán)境對(duì)開放量子系統(tǒng)的影響方面發(fā)揮作用[8-9]. 文獻(xiàn)[10]將QBNs應(yīng)用于開放量子游蕩的研究中, 利用QBNs構(gòu)造了一維整數(shù)格上具有無(wú)窮多內(nèi)部自由度的離散時(shí)間開放量子游蕩, 又稱為一維QBNs開放游蕩, 并且從概率分布的角度出發(fā), 研究了開放量子游蕩的相關(guān)性質(zhì). 文獻(xiàn)[10]研究表明, QBNs開放游蕩的演化方程受QBNs影響, 其演化方程依賴于時(shí)間的變化, 并且QBNs開放游蕩具有與經(jīng)典隨機(jī)游蕩相同的極限概率分布. 文獻(xiàn)[11]將一維QBNs開放游蕩擴(kuò)展到高維的情形中, 引入了d維QBNs開放游蕩(d≥2).文獻(xiàn)[11]研究表明, 在一些初始態(tài)下, 當(dāng)且僅當(dāng)d維QBNs游蕩有極限概率分布時(shí),d維QBNs開放游蕩具有極限概率分布, 且與d維QBNs游蕩的極限概率分布一致.

文獻(xiàn)[10]中QBNs游蕩是時(shí)間非齊次的開放量子游蕩, 其演化方程依賴于時(shí)間的變化. 對(duì)于空間非齊次開放量子游蕩的研究目前較少. 本文旨在引入一對(duì)具有時(shí)空非齊次性的coin算子對(duì), 進(jìn)而得到一個(gè)在一維整數(shù)格上的基于QBNs的時(shí)空非齊次(即時(shí)間、 空間均非齊次)的開放量子游蕩, 其演化方程不僅與時(shí)間的變化有關(guān), 同時(shí)還與游蕩者所處的空間位置有關(guān). 并進(jìn)一步研究該游蕩的相關(guān)性質(zhì)以及極限概率分布.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 量子Bernoulli噪聲

Γ={σ|σ?且#σ<∞},

其中#σ表示集合σ的基數(shù).設(shè)Ω={-1,1}表示所有映射ω:{-1,1}構(gòu)成的集合, (ζn)n≥0表示定義在Ω上的典則投影序列, 對(duì)每個(gè)n≥0, 有

ζn(ω)=ω(n),ω∈Ω.

定義F=σ(ζn;n≥0)是Ω上由序列(ζn)n≥0生成的σ-域.設(shè)(pn)n≥0是給定的正數(shù)序列, 其中0

其中k≥1,j∈{-1,1},nj∈(1≤j≤k)滿足: 當(dāng)i≠j時(shí),ni≠nj.因此得到一個(gè)概率測(cè)度空間(Ω,F,P), 稱為Bernoulli空間, 該空間上的復(fù)值隨機(jī)變量稱為Bernoulli泛函. 設(shè)Z=(Zn)n≥0是隨機(jī)變量序列(ζn)n≥0生成的Bernoulli泛函, 即

其中qn=1-pn.顯然,Z=(Zn)n≥0是概率測(cè)度空間(Ω,F,P)上的一列獨(dú)立隨機(jī)變量.

設(shè)L2(Ω,F,P)是復(fù)值平方可積Bernoulli泛函空間, 用H表示, 即

H=L2(Ω,F,P).

用〈·,·〉和‖·‖分別表示H中的內(nèi)積和范數(shù), 并約定〈·,·〉關(guān)于第一個(gè)變量共軛線性, 關(guān)于第二個(gè)變量線性.由文獻(xiàn)[8]可知,Z具有混沌表示性質(zhì).則Z={Zτ|τ∈Γ}是H的標(biāo)準(zhǔn)正交基(ONB), 其中Z?=1, 且

顯然H是一個(gè)無(wú)窮維的復(fù)可分Hilbert空間.易知, 對(duì)于每個(gè)n≥0,Zn=Z{n}為H的典則ONB的一個(gè)基向量.

引理1[9]對(duì)任意的k≥0, 在H上存在一個(gè)有界算子?k:H→H, 滿足‖?k‖=1, 且

引理2[9]設(shè)k,l∈, 則下列等式成立:

且

其中I是空間H上的單位算子.

引理2表明, 量子Bernoulli噪聲滿足等時(shí)典則反交換關(guān)系(CAR).

1.2 時(shí)間非齊次開放量子游蕩

參 考 文 獻(xiàn)[10], 由于H是復(fù)值平方可積Bernoulli泛函空間, 因此對(duì)H上的算子A以及所有的ξ∈H, 如果〈ξ,Aξ〉≥0, 則稱A是正的, 記作A≥0.設(shè)B(H)是空間H上的全體跡類算子構(gòu)成的Banach空間,B+(H)是B(H)中正元素構(gòu)成的錐, 且B+(H)中的元素稱為H上的正跡類算子.若T∈B+(H)且trT=1, 則稱其為H上的密度算子.

考慮張量積空間l2()?H, 這里l2()是上平方可和復(fù)值函數(shù)空間.由于l2()?H?l2(,H), 這里l2(,H)是定義在上并取值于H的平方可和函數(shù)空間, 即

l2(,

則l2(,H)形成一個(gè)復(fù)的Hilbert空間, 定義其范數(shù)‖·‖l2(,H)由H的內(nèi)積〈·,·〉l2(,H)自然誘導(dǎo).

定義2[10]若映射ρ:→B+(H)滿足則稱其為空間H上的一個(gè)紐核(nucleus).空間H上全體紐核構(gòu)成的集合記作G(H).

對(duì)于映射Φ:→H, 且以下列自然的方式定義G(H)中的一個(gè)紐核ρ:

ρ(x)=|Φ(x)〉〈Φ(x)|,x∈,

(1)

這里|Φ(x)〉〈Φ(x)|表示向量Φ(x)∈H在H上定義的Dirac算子.設(shè)θ∈[0,1],ρ1和ρ2為H上的兩個(gè)紐核, 則θρ1+(1-θ)ρ2也是H上的紐核.

定義l2()上的典則標(biāo)準(zhǔn)正交基為{φx|x∈}, 其中

(2)

引理3[10]設(shè)ρ∈G(H), 則對(duì)于x∈, |φx〉〈φx|?ρ(x)為l2()?H上的正跡類算子, 且算子級(jí)數(shù)在跡算子范數(shù)意義下收斂, 其和是l2()?H上的密度算子.

引理4[10]一維QBNs開放游蕩是定義在整數(shù)格上的離散時(shí)間量子游蕩, 其滿足下列條件:

1) 該游蕩模型的態(tài)空間為l2()?H, 其態(tài)是l2()?H上的密度算子;

2) 該游蕩模型的coin算子表示為

其中I是空間H上的單位算子,Ln和Rn是自伴算子;

3) 該量子游蕩的時(shí)間演化方程為

ρ(n+1)(x)=Rnρ(n)(x-1)Rn+Lnρ(n)(x+1)Ln,x∈,n≥0,

因?yàn)樵撻_放量子游蕩的演化方程依賴于時(shí)間的變化, 故該游蕩為時(shí)間非齊次開放量子游蕩.這里整數(shù)格上的函數(shù)x→tr[ρ(n)(x)]確定一維QBNs開放游蕩的概率分布, tr[ρ(n)(x)]表示n≥0時(shí)刻在位置x∈上發(fā)現(xiàn)游蕩者的概率.

注1由于l2()?H是一維QBNs開放游蕩的態(tài)空間,l2()?H?l2(,H), 所以l2()描述該游蕩的位置,H描述游蕩的內(nèi)部自由度.又由于H是無(wú)窮維的, 所以一維QBNs開放游蕩具有無(wú)窮多個(gè)內(nèi)部自由度.

由于H具有標(biāo)準(zhǔn)正交基{Zτ|τ∈Γ}, 故對(duì)每個(gè)n≥0, 可引入H的一列線性子空間:

Hn=span{Zτ|maxτ≤n,τ∈Γ},

記H-1=span{Z?}.

引理5[10]設(shè)(ρ(n))n≥0是一維QBNs開放游蕩的態(tài)的紐核序列.假設(shè)ρ(0)(x)=|Φ0(x)〉〈Φ0(x)|,x∈, 這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1, {Φ0(x)|x∈}?H-1.則對(duì)所有n≥1, 有

引理6[10]設(shè)(ρ(n))n≥0是一維QBNs開放游蕩的態(tài)的紐核序列.假設(shè)

2 主要結(jié)果

2.1 一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩

定義3對(duì)于非負(fù)整數(shù)n≥0和任意的x∈, 可通過如下方式在空間H上定義兩個(gè)算子Rn(x)和Ln(x):

(3)

其中I是空間H上的單位算子, i是虛數(shù)單位,ξ(x)是定義在上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).

注2Rn(x)和Ln(x)是H上的非自伴算子, 對(duì)?k,l≥0有如下性質(zhì):

(4)

算子Ln(x)和Rn(x)分別表示粒子向左和向右移動(dòng), 故Ln(x)和Rn(x)分別稱為在n≥0時(shí)刻向左移和向右移算子.

定義4令L?(x)=R?(x)=I,I是H上的單位算子, 對(duì)x∈, 有

(5)

定理1設(shè)ξ(x)是一個(gè)定義在上的實(shí)值函數(shù), 則對(duì)任意的n≥0,Rn(x)+Ln(x)是空間H上的酉算子, 且滿足如下關(guān)系:

(6)

其次, 對(duì)任意的n≥0, 有

證畢.

命題1對(duì)x∈, 設(shè)σ,τ∈Γ, 則當(dāng)σ∩τ≠?時(shí), 有Lσ(x)Rτ(x)=0.

證明: 假設(shè)σ∩τ≠?, 則對(duì)x∈, 令m∈σ∩τ, 有

Lσ(x)Rτ(x)=Lσm(x)Rτm(x)Lm(x)Rm(x).

由式(4)有Lσ(x)Rτ(x)=0.證畢.

命題2對(duì)x∈, 設(shè)η∈B+(H), 則對(duì)所有的n≥0, 有

并且對(duì)任意的n≥0, 有

(7)

故

證畢.

設(shè)G(H)是所有映射ρ:→B+(H)的集合, 即

(8)

對(duì)于映射Φ:→H, 且中的元素ρ按式(1)定義.

命題3對(duì)任意的n≥0, 存在映射Jn:G(H)→G(H), 使得

(9)

證明: 設(shè)n≥0, 對(duì)每個(gè)ρ∈G(H), 由G(H)的定義和命題2知, 對(duì)任意的x∈, 有

由于

基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩的態(tài)空間是l2()?H, 它的態(tài)是l2()?H上的密度算子.設(shè)在n≥0時(shí)刻游蕩的態(tài)是由定義2、 式(2)和引理3知,有如下表示:

(10)

下面描述基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩的演化方程.

定義5基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩模型是整數(shù)格上的離散時(shí)間開放量子游蕩, 其態(tài)空間為l2()?H, 演化方程為

ρ(n+1)=Jnρ(n),n≥0,

(11)

由于l2()?H是游蕩模型的態(tài)空間, 易知基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩具有無(wú)窮多個(gè)內(nèi)部自由度.

結(jié)合命題3和定義5可知, coin算子對(duì){Ln,Rn}(n≥0), 驅(qū)動(dòng)的基于QBNs的時(shí)空非齊次開放量子游蕩的演化方程等價(jià)于如下差分方程:

定理2基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩具有如下紐核序列表示:

(13)

證明: 由式(9)可知

再結(jié)合式(12)可得

證畢.

2.2 極限概率分布

下面討論基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩在n≥0時(shí)刻的極限概率分布.首先固定一些符號(hào), 以方便討論.對(duì)所有的n≥0, 定義n-1={0,1,2,…,n-1}, 即對(duì)所有的n≥0, 都有n-1∈Γ.若n≥0,τ∈Γ, 用τ∪k簡(jiǎn)要表示τ∪{k}.對(duì)任意的n≥0, 函數(shù)x→tr[ρ(n)(x)]確定QBNs開放游蕩的概率分布.定義tr[ρ(n)(x)]表示在時(shí)刻n≥0位置x∈上發(fā)現(xiàn)游蕩者的概率.

定理3設(shè)(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放游蕩的態(tài)的紐核序列.假設(shè)

ρ(0)(x)=|Φ0(x)〉〈Φ0(x)|,x∈,

(14)

這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1.則對(duì)所有的n≥1, 有

(15)

其中x∈.

證明: 定義Rn(x)=eiξ(x)Rn,Ln(x)=e-iξ(x)Ln.特別地, 有R?(x)=eiξ(x)R?=I,L?(x)=e-iξ(x)L?=I.用數(shù)學(xué)歸納法, 由式(12)和式(14)知: 當(dāng)n=1時(shí), 有

即當(dāng)n=1時(shí), 式(15)成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí), 式(15)仍然成立, 則當(dāng)n=k+1時(shí), 有

其中

同理, 有

因此,

即當(dāng)n=k+1時(shí), 式(15)仍然成立.證畢.

引理7[10]設(shè)n≥0, 當(dāng)σ?n-1時(shí), 對(duì)所有的ξ∈Hn-1, 有

(16)

定理4設(shè)(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放游蕩的態(tài)的紐核序列.假設(shè)式(14)成立, 這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1, {Φ0(x)|x∈}?H-1.則對(duì)所有的n≥1, 有

(17)

證明: 由式(15), 有

由式(16)有

證畢.

定理5設(shè)(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放游蕩的態(tài)的紐核序列.假設(shè)

(18)

對(duì)n≥1, 設(shè)Xn是x∈的隨機(jī)變量, 其概率分布為

P{Xn=x}=tr[ρ(n)(x)],

(19)

(20)

證明: 定義映射Φ0:→H為

顯然Φ0∈l2(,H), ‖Φ0=1.由式(14), 初始態(tài)(也稱為l2()?H上的局部基態(tài))為

定理5表明, 局部基態(tài)作為初始態(tài)時(shí), 基于QBNs的一維時(shí)空非齊次開放量子游蕩與經(jīng)典隨機(jī)游蕩有相同的極限概率分布.