基于狀態(tài)估計的分數(shù)階線性系統(tǒng)同步控制

蔣文芳，劉 恒

（廣西民族大學 數(shù)學與物理學院，廣西 南寧 530006）

在過去的幾十年里，分數(shù)階微積分在各個領域得到了廣泛的應用，例如在測量和自動化科學的工程[1]、自動控制理論[2]、交通流短時預測[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡研究[4]等領域。與整數(shù)階系統(tǒng)相比，分數(shù)階系統(tǒng)可以更準確地描述物理現(xiàn)象，因為它具有記憶性和遺傳性。近年來，針對分數(shù)階線性系統(tǒng)，學者們已經(jīng)做了很多研究工作，例如文獻[5]研究了由Caputo-Fabrizio 導數(shù)描述的分數(shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻[6]提出了一種新的離散分數(shù)階滑?？刂品桨?，保證了線性電機控制系統(tǒng)的期望跟蹤性能。隨著研究的不斷深入，分數(shù)階線性系統(tǒng)的同步問題受到了很多學者的關注。例如文獻[7]研究了有向連通拓撲下分數(shù)階復雜網(wǎng)絡與一般線性系統(tǒng)的同步問題，利用偽狀態(tài)變換技術和矩陣的實Jordan 正則形式，將同步問題轉(zhuǎn)化為相應獨立子系統(tǒng)的等效穩(wěn)定性問題；文獻[8]研究了具有一般線性動力學的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡在連通拓撲下的同步問題，通過引入偽狀態(tài)變換，將該問題轉(zhuǎn)化為獨立子系統(tǒng)的等效同時鎮(zhèn)定問題；文獻[9]研究了一類分數(shù)階線性系統(tǒng)的預覽跟蹤控制，基于系統(tǒng)與其增廣誤差系統(tǒng)之間的關系，可以得到原系統(tǒng)的預覽跟蹤控制器。

但在上述文獻中，考慮的響應系統(tǒng)的狀態(tài)都是已知的。實際上，在一些應用中，某些信息（狀態(tài)）存在無法測量或難以直接測量的情況，而這些信息（狀態(tài)）會影響到控制器的設計效果。文獻[10]提出狀態(tài)變量并不都能通過測量得到，可采用輸入狀態(tài)穩(wěn)定性理論分析閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)的魯棒性，并據(jù)此給出控制系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整的指導性準則；而魯棒性強調(diào)的是控制器的結(jié)構(gòu)本身特征。因此，在這種情況下的同步控制問題值得進一步研究。近年來，研究人員提出了一些動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計的方法，如卡爾曼濾波[11]、H1濾波[12]、分數(shù)階擴展狀態(tài)觀測器[13]、魯棒觀測器[14]、階降階觀測器[15]等。其中，基于觀測器的狀態(tài)估計這一方法易于實現(xiàn)，已在許多實際系統(tǒng)中得到了應用。例如文獻[16]設計了一種非奇異的魯棒偽狀態(tài)估計器去觀測狀態(tài)未知的分數(shù)階線性系統(tǒng)；文獻[17]針對一類分數(shù)階線性系統(tǒng)，通過重構(gòu)狀態(tài)變量設計觀測器，分析了系統(tǒng)在無干擾情況下的有限時間穩(wěn)定性，并由觀測器估計出系統(tǒng)狀態(tài)和干擾；文獻[18]提出了一種基于線性矩陣不等式的新方法來解決分數(shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題，并給出了基于觀測器的分數(shù)階線性不確定系統(tǒng)二次穩(wěn)定性的充要條件；文獻[19]針對線性時不變單輸入單輸出系統(tǒng)，建立了聯(lián)合狀態(tài)參數(shù)估計的全局漸近收斂性，提出了自適應狀態(tài)觀測器的潛在應用；文獻[20]根據(jù)Mittag-Leffler 穩(wěn)定性的充分條件，研究了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題，然后在一些充分的假設下構(gòu)造了觀測器。然而，上述文獻的研究都集中于階數(shù)在（0，1）之間，而且由于分數(shù)階運算的性質(zhì)，其結(jié)果不能直接應用到階數(shù)在（1，2）之間的分數(shù)階線性系統(tǒng)上。因此，在這種情況下，分數(shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的設計有待進一步研究。

根據(jù)以上討論，本文研究了基于狀態(tài)觀測器的分數(shù)階階數(shù)在（1，2）上的線性系統(tǒng)的同步控制問題，主要貢獻如下：1）相比于大多數(shù)的相關文獻，本文研究的是階數(shù)介于（1，2）之間的分數(shù)階線性系統(tǒng)的同步控制問題，得出的相關結(jié)果具有較好的理論意義；2）相較于文獻[18-19]，本文令α=2 β，將α 在（1，2）上的分數(shù)階線性系統(tǒng)的同步問題轉(zhuǎn)化為階數(shù)β 在（0，1）上的分數(shù)階線性系統(tǒng)的同步問題，并且假設響應系統(tǒng)的狀態(tài)是未知的，設計了觀測器。

1 預備知識

1.1 分數(shù)階微積分概述

下面給出一些有關分數(shù)階微積分的定義和性質(zhì)。

定義1[21]分數(shù)階積分定義為

常見的分數(shù)階導數(shù)定義有3 種，但在實際應用中，由于Caputo 分數(shù)階導數(shù)與整數(shù)階導數(shù)定義的初始條件形式一致且有較好的物理意義，所以本文采用Caputo 分數(shù)階導數(shù)的定義。

定義2[21]設f（t）是（0，t）上的光滑函數(shù)，則其Caputo 分數(shù)階導數(shù)為

引理2[23]設x（t）∈Rn是連續(xù)可微的向量函數(shù)，則下列不等式成立：

1.2 線性系統(tǒng)描述

為了研究分數(shù)階線性系統(tǒng)的同步控制問題，設響應系統(tǒng)模型為

其中：α∈（1，2）是系統(tǒng)的階數(shù)；X（t）=（x1（t），x2（t），…，xm（t））T∈Rm是響應系統(tǒng)的未知狀態(tài)向量；M（t）=（m1（t），m2（t），…，mn（t））T∈Rn是可測的輸出向量；u（t）=（u1（t），u2（t），…，uq（t））T∈Rq是控制輸入向量。A∈Rm×m，B∈Rm×q，在這里假設C∈Rn×m是行滿秩的常數(shù)矩陣，并且m >q，m >n。假設X0∈Rm，X（0）=（0，0，…，0）T。

驅(qū)動系統(tǒng)模型為

其中：Y（t）=（y1（t），y2（t），…，ym（t））T∈Rm為已知的狀態(tài)向量；S（t）=（s1（t），s2（t），…，sn（t））T∈Rn為輸出向量。假設Y0∈Rm，Y（0）=（0，0，…，0）T。

由于大部分研究成果集中于階數(shù)在（0，1）上而本文研究的階數(shù)在（1，2）上，為了使用已知的理論和便于控制器的設計，注意到一階導數(shù)初值為0，根據(jù)引理1，本文使用變量替換法將響應系統(tǒng)（1）和驅(qū)動系統(tǒng)（2）進行如下轉(zhuǎn)換。令α=2β，則有

和

其中：β∈（0，1）為系統(tǒng)的階數(shù)；v1（t）=（v11（t），v12（t），…，v1m（t））T∈Rm和v2（t）=（v21（t），v22（t），…，v2m（t））T∈Rm分別為響應系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)的中間變量。

2 響應系統(tǒng)觀測器的設計

由于響應系統(tǒng)（5）的狀態(tài)未知，因此可設計觀測器

為進行穩(wěn)定性分析，定義響應系統(tǒng)（5）的觀測誤差為

根據(jù)以上分析，可得如下定理：

定理1對于系統(tǒng)（5）和（7），若可以選擇增益矩陣L，使得Ω=HTH（E -LC1H）為半負定的，則動態(tài)誤差系統(tǒng)（9）是漸近穩(wěn)定的。

3 同步系統(tǒng)的控制器設計

在本節(jié)中，為了設計反饋控制器使響應系統(tǒng)（5）跟蹤驅(qū)動系統(tǒng)（6），首先定義同步誤差

其中e3=Z2-Z1，則同步誤差e 的動態(tài)方程為

為了使響應系統(tǒng)（5）能有效地跟蹤驅(qū)動系統(tǒng)（6），設計同步控制器

根據(jù)上述分析，本文的主要結(jié)果如下：

證明：構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)

根據(jù)式（11）、（13）和（14），對V 求β 階導數(shù)，可得

4 數(shù)值仿真

為了驗證所設計方法的有效性，設計響應系統(tǒng)為

驅(qū)動系統(tǒng)為

其中初始狀態(tài)y0=（0，0，0）T。

由于給出的系統(tǒng)階數(shù)α∈（1，2），因此，使用變量替換法將其化簡。響應系統(tǒng)為

驅(qū)動系統(tǒng)為

其中Z2=（y1，y2，y3，v21，v22，v23）T。

根據(jù)理論分析，先取

顯然，Ω 是半負定的，滿足定理1 的條件，因此，觀測誤差是漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)上述結(jié)論，首先取

顯然，Λ 是半負定的，滿足定理2 的條件，因此，同步誤差是漸近穩(wěn)定的。

仿真結(jié)果見圖1—圖2。圖1 中（a）為觀測誤差隨時間t 變化的圖像，從圖中可以看出，觀測器的設計使得觀測向量逐漸趨于真實向量x；（b）為同步誤差隨時間t 變化的圖像，從圖中可以看出，控制器的設計使得響應系統(tǒng)狀態(tài)向量x 與驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)向量y 趨于一致。圖2 為控制輸入u 隨時間t 變化的圖像。

圖1 觀測器誤差和同步誤差隨時間變化的圖像Fig.1 Diagram of observer error and synchronization error over time

圖2 控制輸入u1、u2 與u3 隨時間t 的變化圖像Fig.2 Time responses of Control inputs u1，u2 and u3

5 結(jié)束語

本文的創(chuàng)新之處在于，針對階數(shù)在（1，2）之間狀態(tài)未知的分數(shù)階系統(tǒng)，采用變量替換法將其簡化為求解（0，1）之間線性系統(tǒng)的同步問題，并設計了反饋控制器，利用Lyapunov 方法證明了誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，由于響應系統(tǒng)的狀態(tài)是未知的，因此設計了狀態(tài)觀測器。基于分數(shù)階Lyapunov 穩(wěn)定性判據(jù)，觀測誤差和同步誤差漸近穩(wěn)定。仿真結(jié)果驗證了觀測器和同步控制器的有效性。進一步的工作將集中于分數(shù)階系統(tǒng)階數(shù)在（1，2）之間的非線性系統(tǒng)的研究。