雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡的探究

胡慧 甘文珍 金龔逸 張凌翔

摘?要：本文主要探究了雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡問題.首先，我們推導(dǎo)了雙曲線中阿基米德三角形面積的表達(dá)式.其次，我們證明了雙曲線中阿基米德三角形為定值的充要條件是其頂點(diǎn)軌跡為雙曲線.同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)該面積定值決定了軌跡的個(gè)數(shù)、切點(diǎn)位置與軌跡的開口方向.同時(shí)，我們利用GeoGebra軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞：阿基米德三角形；面積定值；軌跡；圓錐曲線；GeoGebra

眾所周知，阿基米德利用無窮級(jí)數(shù)逼近的思想證明了拋物線中的弦AB與拋物線圍成的弓形面積為三角形ΔPAB面積的23［12］.為紀(jì)念這一發(fā)現(xiàn)，后人將圓錐曲線的弦AB與過弦的端點(diǎn)的兩條切線PA、PB所圍成的三角形叫作阿基米德三角形（如圖1所示）.

（a）拋物線????（b）雙曲線（切點(diǎn)在同一支）??（c）雙曲線（切點(diǎn)不在同一支）???（d）橢圓

圖1?不同圓錐曲線中阿基米德三角形的示意圖

本文主要關(guān)注面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡問題.在之前的工作中，康盛［3］證明了拋物線中阿基米德三角形面積為定值的充要條件是其頂點(diǎn)軌跡為一拋物線.甘大旺［4］和蘇立志［5］給出了橢圓中阿基米德三角形面積的表達(dá)式，并研究了阿基米德三角形面積最小值的問題.但是鮮有學(xué)者對(duì)于雙曲線的情形進(jìn)行深入的研究.為此，我們將研究雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡，并發(fā)現(xiàn)雙曲線在該問題中有著一些特殊的結(jié)論.同時(shí)，本文的研究思路可為后續(xù)研究者探索雙曲線中阿基米德三角形的若干性質(zhì)提供一個(gè)參考.

1?雙曲線中阿基米德三角形面積公式的推導(dǎo)

我們首先給出雙曲線切點(diǎn)弦方程，具體證明過程見文獻(xiàn)［6］.讀者也可以利用聯(lián)立直線與曲線方程，計(jì)算判別式的方法，或者利用數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

引理1［6］：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，在雙曲線外一點(diǎn)P（x0，y0）引C的兩條切線PA，PB則切線弦方程為x0xa2-y0yb2=1.

在引理1的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步討論雙曲線中阿基米德三角形的面積問題，并得到如下定理1.

定理1：對(duì)于給定的雙曲線C：x2a2-y2b2=1，P（x0，y0）為切線PA，PB的交點(diǎn)，則阿基米德三角形ΔPAB的面積為S=a2b2（-u）32u+1，其中u=x20a2-y20b2-1∈（-，-1）∪（-1，0）.

證明：我們選定三角形面積計(jì)算公式為S=12AB×h，其中AB為切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度，h為點(diǎn)P到直線AB的距離.根據(jù)引理1和點(diǎn)到直線的距離公式，容易計(jì)算出：

h=b2x20-a2y20-a2b2a4y20+b4x20=a2y20-b2x20+a2b2a4y20+b4x20（1）

下面計(jì)算AB.聯(lián)立雙曲線方程和切點(diǎn)弦方程，消去y容易得到如下關(guān)于x的一元二次方程：

（a2y20-b2x20）x2+2a2b2x0x-（a4y20+a4b2）=0.

容易驗(yàn)證上式的判別式Δ>0，因此由代數(shù)方程的韋達(dá)定理得：

x1+x2=-2a2b2x0a2y20-b2x20，x1x2=-a4y20+a4b2a2y20-b2x20.

進(jìn)一步可知：

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4a4y20（a2y20-b2x20）2（a2y20-b2x20+a2b2）

即：

x1-x2=2a2y0a2y02-b2x02a2y02-b2x02+a2b2.

根據(jù)線段的計(jì)算公式，我們有：

AB=1+k2ABx1-x2

=2a4y02+b4x02a2y02-b2x02a2y02-b2x02+a2b2（2）

將（1）式和（2）式代入三角形面積計(jì)算公式，化簡(jiǎn)得到：

S=（a2y02-b2x02+a2b2）32a2y02-b2x02.

為書寫方便，我們引入中間變量u=x02a2-y02b2-1∈（-

，-1）∪（-1，0），則上式可以表示為：

S=ab（-u）32u+1，u∈（-，-1）∪（-1，0）.

2?雙曲線中阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡探究

在上一節(jié)中，我們計(jì)算了雙曲線中阿基米德三角形的面積計(jì)算公式.本節(jié)我們來研究面積為定值時(shí)頂點(diǎn)的軌跡.

定理2：對(duì)于給定的雙曲線C：xa2-yb2=1，則有：

（1）當(dāng)阿基米德三角形的面積為定值S0時(shí)，其頂點(diǎn)軌跡為一雙曲線；

（2）定值S0決定了對(duì)應(yīng)軌跡的個(gè)數(shù).

證明：我們首先證明第一部分.由定理1可知，當(dāng)給定面積定值S0時(shí)，中間參數(shù)u的取值u0可由方程確定：

S0=ab（-u0）32u0+1.

我們此處先斷言u(píng)0存在，若u0∈（-

，-1），對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)軌跡為上下兩支雙曲線：

y2-b2（u0+1）-x2-a2（u0+1）=1；

若u0∈（-1，0），對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)軌跡為左右兩支雙曲線：

x2a2（u0+1）-y2b2（u0+1）=1.

下面證明定理的第二部分，即研究u0的存在性和存在個(gè)數(shù).令：

φ（u）=ab（-u）32u+1-S0：=φ1（u），u∈（-1，0），φ2（u），u∈（-，-1）.

容易知道，

φ1（u）=ab（-u）32（u+1）-S0，u∈（-1，0）.

對(duì)φ1求導(dǎo)得，

φ′1（u）=ab-u（-u-3）2（u+1）2<0，u∈（-1，0）.

這說明φ1為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，并且注意到

limu→-1+φ（u）=+

，limu→0-φ（u）=-S0<0.

由零點(diǎn)的存在性和唯一性定理可知，φ1（u）在（-1，0）上存在唯一的根u1.類似的我們知道，

φ2（u）=-ab（-u）32（u+1）-S0，u∈（-

，-1）.

對(duì)φ2求導(dǎo)得，

φ′2（u）=ab-u（u+3）2（u+1）2，u∈（-

，-3）時(shí)，φ′2（u）<0，φ2單調(diào)遞減；當(dāng)u∈（-3，-1）時(shí)，φ′2（u）>0，φ2單調(diào)遞增.因此φ2存在極值點(diǎn)u=3與極小值φ2（-3）=33ab2-S0.

進(jìn)一步可知，當(dāng)φ2（-3）<0時(shí)，注意到limu→-

，-3）與（-3，-1）上各存在一根，分別記為u2，u3.而當(dāng)φ2（-3）=0時(shí)，則u2，u3退化一重根.當(dāng)φ2（-3）>0時(shí)，則u2，u3不存在.以上分析說明面積定值S0決定了對(duì)應(yīng)軌跡的個(gè)數(shù)，即

下面給出定理2的一些推論.

推論1：當(dāng)給定軌跡C*：x2a2（1+u*）-y2b2（1+u*）=1時(shí)，阿基米德三角形的面積為定值.

推論2：S0控制著軌跡雙曲線的開口方向與切點(diǎn)的位置.

證明：由（2）可知，

Sign（x1x2）=Sign（b2x20-a2y20）=Sign（u+1）

其中Sign（·）為符號(hào)函數(shù)，這說明u控制著切點(diǎn)的位置，即當(dāng)u∈（-，-1）時(shí)，兩切點(diǎn)位于雙曲線的兩支上；當(dāng)u∈（-1，0）時(shí)，兩切點(diǎn)位于雙曲線的同一支上.根據(jù)定理2的第一部分證明可知，u控制著雙曲線的開口方向，即當(dāng)u∈（-

，-1）時(shí)，頂點(diǎn)軌跡為上下兩支的雙曲線；當(dāng)u∈（-1，0）時(shí)，頂點(diǎn)軌跡為左右兩支的雙曲線.

下面，我們利用GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證.

給定雙曲線x2+y24=1.容易計(jì)算出S0的臨界值為S*0=33，我們分別取S1=4<S*0，S2=S*0，S1=6>S*0.借助GeoGebra軟件，我們?nèi)菀子?jì)算出不同情況下中間參數(shù)u的取值（見表2），并也繪制出不同情形下對(duì)應(yīng)的軌跡曲線.

本文著重研究了雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡的問題.通過對(duì)比不同圓錐曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點(diǎn)軌跡，我們發(fā)現(xiàn)雖然雙曲線情形的軌跡也仍然是一雙曲線，但是面積定值與軌跡的個(gè)數(shù)并不是一一對(duì)應(yīng)的，一個(gè)面積定值最多可以對(duì)應(yīng)三條不同的軌跡雙曲線.更為有趣的是，我們發(fā)現(xiàn)該面積定值可以決定阿基米德三角形與給定雙曲線的切點(diǎn)位置與軌跡雙曲線的開口方向.

參考文獻(xiàn)：

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［4］甘大旺.一類（泛）阿基米德三角形的面積何時(shí)取最小值？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（01）：2628.

［5］蘇立志.關(guān)于一類阿基米德三角形面積最小值的結(jié)論［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（09）：40.

［6］吳高林，胡蘭田，金鋼.雙曲線切線的存在性及引向［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1983（09）：1517.

課題：江蘇省高教學(xué)會(huì)評(píng)估委員會(huì)教改課題（2020C06）;江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目?（202211463044Z）和國(guó)家自然科學(xué)基金（11801229）

作者簡(jiǎn)介：胡慧（2000—?），女，漢族，四川遂寧人，學(xué)士，蘇州外國(guó)語學(xué)校教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。

*通訊作者：甘文珍。