群中的幾種解題方法研究

周雅茹 謝雅洵 李麗偵 蔣心學

摘?要：抽象代數作為一門高度抽象的學科，對很多學生來說都不容易，尤其是二三本院校的學生。大多抽象代數教材中不僅定理定義抽象，不易理解，舉例也很少，或者過程過于簡單不方便學生理解。群作為抽象代數研究三大群體中的一種，具有極其重要的作用，群中的元素作為研究群的重要對象，研究其性質必不可少。本文將給出證明群時找單位元和逆元的方法以及計算群中元素階的幾種方法。

關鍵詞：群；逆元；單位元；生成元；群的階；元素的階

一、證明群

關于群的證明方法和步驟很清晰明了，對學生來說較難的點在于找群中的單位元和元素的逆元.因此此部分給出找單位元和逆元的方法：關鍵在于抓住單位元和逆元的定義.首先單位元和逆元來自群，所以可以根據群中元素的性質特征來假設單位元和逆元，再利用定義中的關鍵：單位元和任何元素運算之后仍然為其本身，一個元素和其逆元運算之后為單位元，來求出單位元和逆元.

定義1：設G是一個非空集合，“.”是G上的一個代數運算，即對所有的a，b∈G，有a·b∈G.如果G的運算還滿足（G1）結合律，即對所有的a，b，c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；（G2）G中有元素e，使對每個a∈G，有e·a=a·e=a；（G3）對G中每個元素a，存在元素b∈G，使a·b=b·a=e，則稱G關于運算“·”構成一個群，記作（G，·）.其中（G2）中的元素稱為群G的單位元；（G3）中的元素b稱為a的逆元，記作a-1.

例1：在整數集Ζ中，規(guī)定“”如下：

ab=a+b-2，a，b∈Ζ

證明：（Z，）構成群。

證明：（1）a，b∈Ζ，則a+b-2∈Ζ.因為ab=a+b-2∈Z，所以滿足封閉性和唯一性，即可得“”為Ζ上的代數運算.

（2）a，b，c∈Ζ，因為

（ab）c=（a+b-2）c=（a+b-2）+c-2=a+b+c-4，

a（bc）=a（b+c-2）=a+（b+c-2）-2=a+b+c-4，

所以（ab）c=a（bc），即結合律成立.

（3）a∈Ζ，e∈Ζ，因為

ae=a+e-2=ae=2，

ea=e+a-2=ae=2，

所以e是Z中的單位元.

（4）a∈Ζ，a-1a∈Ζ，有

aa-1=a+a-1-2=2a-1=4-a，

a-1a=a-1+a-2=2a-1=4-a，

所以4-a是Z中元素a的逆元.

綜上可得（Z，）構成群.

例2：設G=aaaaa∈R，a≠0.證明：G關于矩陣的乘法構成群.

證明：（1）A=aaaa∈G，B=bbbb∈G，有

AB=aaaabbbb=2ab2ab2ab2ab∈G，

所以滿足封閉性和唯一性，即矩陣的乘法是G上的代數運算.

（2）矩陣的乘法滿足結合律，所以在G上也滿足結合律.

（3）A=aaaa∈G，E=xxxx∈G，有

AE=aaaaxxxx=2ax2ax2ax2ax

=aaaax=12E=12121212，

同理利用EA=A，解得E同上，

所以E=12121212是G的單位元.

（4）A=aaaa∈G，A-1=yyyy∈G，有

AA-1=aaaayyyy=2ay2ay2ay2ay

=12121212y=14aA-1=14a14a14a14a，

A-1A=yyyyaaaa=2ay2ay2ay2ay

=12121212y=14aA-1=14a14a14a14a，

同理利用A-1A=E解得A-1同上，

所以A-1=14a14a14a14a是G中元素A=aaaa的逆元.綜上可得G關于矩陣的乘法構成群.

例3：證明：所有形如1ab01c001的實矩陣關于矩陣的乘法構成一個群.

證明：（1）A=1ab01c001∈G，B=1hg01k001∈G，

有AB=1ab01c0011hg01k001=1h+ag+ak+b01k+c001∈G，

所以滿足封閉性和唯一性，矩陣的乘法是G上的代數運算.

（2）矩陣的乘法滿足結合律，所以在G上也滿足結合律.

（3）A=1ab01c001∈G，E=1de01f001∈G，有

AE=EA=A，

AE=1ab01c0011de01f001=1d+ae+af+b01f+c001

=1ab01c001

解得E=1ab01c001，同理可得EA=A，

所以E=100010001是G的單位元.

（4）A=1ab01c001∈G，A-1∈G，通過初等行變換［A｜E］→［E｜A-1］來計算A-1，1ab10001c010001001r1-br3r2-cr3

1a010-b01001-c001001r1-ar2

1001-a-b+ac01001-c001001，所以A-1=1-a-b+ac01-c001是G中元素A=1ab01c001的逆元.

綜上可得G關于矩陣的乘法構成群.

二、計算群中元素的階

計算元素的階在很多教材中均是利用定義，或者關于元素的階的計算的例子很少，過程也很簡潔，有的教材輔導只有答案沒有過程，這就給學生的預習以及課后復習造成了一定的不便.此部分就元素的階的計算給出了一些方法，并給出了一些簡便的計算方法，減少工作量和冪運算過大帶來的失誤.

定義2：設G是一個群，e是G的單位元，a∈G.如果存在正整數r，使ar=e，則稱a是有限階的，否則稱a是無限階的.使ar=e的最小正整數r稱為元素a的階，記作orda=r.如果a是無限階的，則記作orda=

定理1：設G是一個有限群，|G|=n，則對任意的a∈G，a是有限階的，且orda||G|，即有限群的任何一個元素的階都是群階數的因子.

定理2：設G為群，e是G的單位元.

（1）對任意的a∈G，有orda=orda-1；

（2）設orda=n，則對任意的m∈Z，ordam=n（n，m）.

定義3：設G是群，如果存在a∈G，使得G=<a>，則稱G為一個循環(huán)群，并稱a為G的一個生成元.當G的元素個數無限時，稱G為無限階循環(huán)群；當G的元素個數為n時，稱G為n階循環(huán)群.

推論：如果如果G為有限階循環(huán)群，則

G={e，a，a2，…，an-1}，

且對k，l∈Z，由ak=al，必可推得ak=aln|k-l.

（一）利用窮舉方冪計算元素的階

該方法的本質用的群中元素階的定義，窮舉該元素的方冪，從1試起，直到得到該元素的方冪為單位元，則此方冪即為該元素的階.

例4：在Z5中，計算每個元素的階.

解：Z5=1-，2-，3-，4-，計算可得：11=1；21=2，2-2=4-，2-3=2-2·2=8=3-，2-4=2-3·2=3-·2=1-；

31=3，32=9=4-，33=32·3=4-·3=12=2，34=33·3=2·3=6=1-；41=4，42=16=1；由此可得ord1-=1，ord2-=4，ord3-=4，ord4-=2.

（二）利用群的階與元素階的性質計算元素的階

此法和1中的方法的區(qū)別是加入了群的階和元素的性質，利用定理1減少了工作量.

例5：在Z5中，計算每個元素的階.

解：Z5=1-，2-，3-，4-，Z5=4所以每個元素的階只能為4的因子：1，2，4.11=1；21=2，2-2=4-，2-4=16=1-；

31=3，32=9=4-，34=322=4-2=16=1-；

41=4，42=16=1；由此可得ord1-=1，ord2-=4，ord3-=4，ord4-=2.

（三）利用等價類計算元素的階

此法在方法2的基礎上利用了剩余類的負等價類，目的在于將元素的絕對值變小，更方便計算其冪，減少失誤和工作量.我們采用將超過群中元素個數一半的元素等價為其負等價類，將元素的絕對值減小來計算.目前大多數教材雖有利用剩余類的等價類計算元素的階，但并未展現將元素轉換為負的等價類，而使元素的絕對值變小，便于計算.

例6：求U（15）中元素的階.

分析：U（15）中元素的個數為：φ（15）=φ（3×5）=（31-30）（51-50）=8，所以U（15）中每個元素的階只能為8的因子：1，2，4，8.

解：U（15）=1-，2-，4-，7-，8-，11，13，14，8-=-7，11=-4，13=-2，14=-1

1-1=1-；21=2，2-2=4-，2-4=16=1-；41=4，4-2=16=1-；71=7，7-2=49=4-，7-4=4-2=16=1-；8-1=8-=-7，8-2=-72=4-，8-4=4-2=1-；111=11=-4，112=-42=1-；131=13=-2，132=-22=4-，134=4-2=16=1-；141=14=-1，142=-12=1-.

（四）利用逆元計算元素的階

此法是利用定理2中的（1）來計算較大元素的階，群中每個元素都有逆元，所以只要找到互為逆元的元素求出其中一個元素的階，則另一個元素的階也就得到了，無須再重復計算，大大減少了工作量.

例7：求U（13）中元素的階.

解：U（13）=1-，2-，3-，4-，5-，6-，7-，8-，9-，10，11，12.U（13）=Z13=12，所以每一個元素的階只能為12的正因子：1，2，3，4，6，12.因為2-和?7-，3-和9-，4-和10，5-和8-分別互為逆元，所以只需要計算2-，3-，4-，8-，6-，12的階即可.

1-1=1-；2-1=2-，2-2=4-，2-3=8-，2-4=3-，2-6=2-4·2-2=12=-1，2-12=-12=1-；3-1=3-，3-2=9-，3-3=1-；4-=2-2，4-6=2-12=1-；51=5，5-2=12=-1，-12=5-4=1-；6-1=6-，6-2=10=-3，6-3=-18=-5，6-4=-4，6-6=-1，6-12=-12=1-；121=12=-1，122=-12=1-.

所以ord1-=1，ord2-=ord7-=12，ord3-=ord9-=3，ord4-=ord10=6，ord5-=ord8-=4，ord6-=ord11=12，ord12=2.

（五）利用生成元及元素階的性質計算元素的階

此法利用定義3，定理2中的（2）以及推論來計算元素的階，先找出循環(huán)群中一個生成元，并將其他元素表示為生成元方冪的形式，再利用定理2中的（2）來計算元素的階.

例8：求U（13）中元素的階.

解：U（13）=1-，2-，3-，4-，5-，6-，7-，8-，9-，10，11，12.U（13）=Z13=12，所以每一個元素的階只能為12的正因子：1，2，3，4，6，12.

2-1=2-，2-2=4-，2-3=8-，2-4=3-，2-6=2-4·2-2=12=-1，2-12=-12=1-；

所以2-可作為U（13）的一個生成元.將每個元素表示為生成元的方冪可得：

2-5=6-，2-7=-2=11，2-8=-4=9-，2-9=-8=5-，2-10=10=-3，2-11=-6=7-.

所以ord1-=1，ord2-=12，ord3-=12（4，12）=3，ord4-=12（2，12）=6，ord5-=12（9，12）=4，ord6-=12（5，12）=12，ord7-=12（11，12）=12，ord8-=12（3，12）=4，ord9-=12（8，12）=3，ord10=12（10，12）=6，ord11=12（7，12）=12，ord12=12（6，12）=2.

結語

本文給出了證明群時尋找逆元和單位元的方法，抓住定義的本質尋找這些元.并給出了五種求解群中元素階的方法：第一，利用窮舉方冪直到得到單位元；第二，利用元素的階整除群的階的性質計算元素的階；第三，利用剩余類的負等價類計算元素的階；第四，利用一個元素和逆元的階相同計算其階；第五，利用元素的階及其方冪的階的性質計算元素的階.著重突出第三種方法的簡便性，極大減少了計算失誤和工作量.從方法一到方法五層層遞進，更便于學生理解，同時如果將五種方法結合，大大提高了計算元素階的方便性和快捷性.

參考文獻：

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項目基金：本課題研究受2020年度廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目資助，項目編號：2020KY6108

作者簡介：周雅茹（1993—?），女，漢族，山西芮城人，碩士，助教，研究方向：拓撲動力系統(tǒng)。

*通訊作者：謝雅洵（1991—?），女，壯族，廣西百色人，碩士，講師，研究方向：牛頓迭代法。