有限域上一類1-生成元準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)碼的計(jì)數(shù)問(wèn)題

呂京杰

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255049)

有限域上一類1-生成元準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)碼的計(jì)數(shù)問(wèn)題

呂京杰

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255049)

在準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)碼的指標(biāo)l與有限域Fq的擴(kuò)張次數(shù)L互素的情況下,給出了有限域上任意長(zhǎng)度的具有相同校驗(yàn)多項(xiàng)式的不同1-生成元準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)碼的計(jì)數(shù)公式.通過(guò)建立集合之間的雙射,間接地解決了有限域上1-生成元扭轉(zhuǎn)碼的計(jì)數(shù)問(wèn)題.

1-生成元準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)碼；任意長(zhǎng)度；計(jì)數(shù)公式

近些年來(lái),已有多篇文章探討了扭轉(zhuǎn)碼(QT)的相關(guān)問(wèn)題.研究QT碼的原因主要有以下幾個(gè)方面：首先QC碼具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)、易于編碼和譯碼工作的展開[1]，其次QT碼中含有大量性質(zhì)優(yōu)良的線性碼[2]，然后QT碼和卷積碼是密切相關(guān)的[3].在參考文獻(xiàn)[4]中,高健等討論了當(dāng)QT碼的分組碼長(zhǎng)和有限域特征互素時(shí),關(guān)于有限域上1-生成元的QT碼的計(jì)數(shù)問(wèn)題.Jia[5]研究了任意長(zhǎng)度QT碼的結(jié)構(gòu)特性,Jia首先運(yùn)用中國(guó)剩余定理將QT碼分解成擴(kuò)域上一些線性碼的直和,然后通過(guò)廣義的離散傅里葉變換構(gòu)造QT碼.然而,Jia并沒有討論有限域上任意長(zhǎng)度的1-生成元QT碼的計(jì)數(shù)問(wèn)題.本文將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入探討,我們給出了在特定情況下,任意長(zhǎng)度的1-生成元QT碼的計(jì)數(shù)公式,其可作為參考文獻(xiàn)[4]和[5]的有效補(bǔ)充.

1 預(yù)備知識(shí)

c=(c0,0,c0,1，…，c0,l-1,c1,0,c1,1，…，c1,l-1,…,cm-1,0,cm-1,1,…，cm-1,l-1)∈C

如果存在最小的正整數(shù)l,使得向量

Tl(c)=

(λcm-1,0,λcm-1,1,…，λcm-1,l-1,c0,0,c0,1，…，c0,l-1,c1,0,c1,1，…，c1,l-1,…,cm-2,0,cm-2,1,…，cm-2,l-1)∈C

我們就說(shuō),C是Fq上碼長(zhǎng)為n,指標(biāo)為l的λ-QT碼,這里T是λ-常循環(huán)移位算子.顯然,l是n的一個(gè)因子,令n=ml.

滿足

ρ(c0,0,c0,1,…,c0,l-1,c1,0,c1,1,…,c1,l-1,…,cm-1,0,cm-1,1,…,cm-1,l-1)=(c0(x),c1(x),…,cl-1(x)).

為了進(jìn)一步研究λ-QT碼,我們需要研究多項(xiàng)式xm-λ在有限域Fq上的分解.

xm-λ=(xt-α)pa.

令xt-α=f1(x)f2(x)…fk(x),其中f1(x),f2(x),…,fk(x)是Fq上的不可約多項(xiàng)式,那么

xm-λ=f1(x)paf2(x)pa…fk(x)pa.

2 主要結(jié)果及其證明

g(x)=gcd(G(x),xn-λ)=gcd(g0(x),g1(x),…,gl-1(x),xn-λ).

稱為C的生成多項(xiàng)式. 進(jìn)一步,若h(x)是使得h(x)g(x)=0成立的次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式,則稱h(x)為C的校驗(yàn)多項(xiàng)式,并且g(x)和h(x)是唯一的.

如果g(x)和h(x)分別是λ-QT碼的生成多項(xiàng)式和校驗(yàn)多項(xiàng)式,則xn-λ=g(x)h(x).且

dim(C)=degh(x).

令

g(x)=f1(x)pa-i1f2(x)pa-i2…fk(x)pa-ik.

那么

h(x)=f(x)1i1f2(x)i2…fk(x)ik.

其中0≤i1,i2,…,ik≤pa.

其中集合{α0,α1,…,αl-1}為FqL的一組Fq-基.

(2)h(x)是C的校驗(yàn)多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)gcd(θ(x),h(x))=1.

(3)令G=(Sm)*,即Sm的單位群,那么h(x)為C的校驗(yàn)多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)Q(x)∈G.

通過(guò)引理1和引理2,我們給出有限域上任意長(zhǎng)度的具有相同校驗(yàn)多項(xiàng)式的不同的1-生成元λ-QT的計(jì)數(shù)公式.

定理1 令A(yù)是Fq上碼長(zhǎng)為n,指標(biāo)為l的所有不同1-生成元λ-QT碼組成的集合.設(shè)集合A中的λ-QT碼的校驗(yàn)多項(xiàng)式為h(x).令h(x)=f(x)1i1f2(x)i2…fk(x)ik,其中fj(x)是Fq上次數(shù)為ej的不可約多項(xiàng)式,j=1,2,…,k.則

并且

由引理2,我們有

因此

g0(x)=x14+x13+2x11+x10+x4+x3+2x+1.

g1(x)=x15+x14+2x12+x11+x5+x4+2x2+x.

g2(x)=x16+x15+2x13+x12+x6+x5+2x3+x2.

則

gcd(G(x),x30+1)=(x2+1)(x4+x3+2x+1)2(x4+2x3+x+1),

其中C的校驗(yàn)多項(xiàng)式h(x)為

h(x)=(x2+1)2(x4+x3+2x+1)(x4+2x3+x+1)2.

令A(yù)是F3上所有碼長(zhǎng)為90,指標(biāo)為3并以h(x)為校驗(yàn)多項(xiàng)式的不同的1-生成元2-QT碼構(gòu)成的集合,則

[1]LINGS,SOLéP.Onthealgebraicstructureofquasi-cycliccodesI:finitefields[J].IEEETransactionsonInformationTheory， 2001,47(7) :2 751-2 760 .

[2]GULLIVERTA,BHARGAVAVK.Twonewrate2/pbinaryquasi-cycliccodes[J].IEEETransactionsonInformationTheory,1994,40(5):1 667-1 668.

[3]ESMAEILIM,GULLIVERTA,SECORDNP,etal.Alinkbetweenquasi-cycliccodesandconvolutionalcodes[J].IEEETransactionsonInformationTheory. 1998,44(1):431-435.

[4]GAOJ,FUFW.Noteonquasi-twistedcodesandanapplication[J].JournalofAppliedMathematicsComputing2015, 47(1):487-506.

[5]JIAY.Onquasi-twistedcodesoverfinitefields[J].FiniteFieldsandTheirApplications, 2012,18(2):237-257 .

[6]WANZX.LecturesonFiniteFieldsandGaloisRings[M]. [s.l.]:WorldScientific, 2003.

(編輯：姚佳良)

Enumeration of a class of one generator quasi-twisted codes over finite fields

LYU Jing-jie

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

When the idexlofquasi-cycliccodesiscoprimewiththeextensiondegreeLofthefinitefieldFq,theenumeratorofdifferentonegeneratorquasi-twisted(QT)codesofarbitrarylengthwithafixedparity-checkpolynomialoverfinitefieldsisgiven.Wedefineabijectionamongsets,andresolvetheenumeratorofonegeneratorquasi-twistedcodesoverfinitefieldsindirectly.

one generator quasi-twisted codes; arbitrary length; enumeration.

2016-03-30

呂京杰,男,18353363182@163.com

1672-6197(2017)02-0049-04

TN

A