地球重力場定位導航方法研究

汲萬峰，李程，劉思遠，徐遵義

( 1. 海軍航空大學航空基礎學院, 山東 煙臺 264001；2. 中國兵器工業(yè)導航與控制技術研究所, 北京 100089；3. 山東建筑大學計算機科學與技術學院, 濟南 250101 )

0 引言

地球形狀的不規(guī)則性和密度的不均勻性導致地球各點的重力場并不相同，表現(xiàn)為空間位置(經(jīng)度、緯度、高度)的函數(shù)[1]. 因此潛航器在航行過程中可以通過重力測量儀器進行采集途徑航線的重力數(shù)據(jù)，并將其與預先存儲的重力數(shù)據(jù)進行匹配，以獲得潛航器的當前定位信息，從而校正慣性導航系統(tǒng)(inertial navigation system，INS)的累積位置誤差. 重力輔助導航系統(tǒng)在測量重力場數(shù)據(jù)的過程中可進行無源、隱蔽的導航定位，即無需潛航器接近甚至露出水面，測量儀器也不需要發(fā)射或者接受外部信號. 因此衛(wèi)星或無線電定位系統(tǒng)在出現(xiàn)故障或被破壞的特殊情況下，潛航器仍然可以實現(xiàn)自主隱蔽導航.

目前，INS 是水下運載體的核心導航系統(tǒng)，但由于INS 存在定位誤差隨運行時間增長而積累的問題，必須采用其他外部信息定期對INS 進行修正，即輔助導航技術. 重力輔助導航技術利用運載體上安裝的能精確測量地球重力場的傳感器和精確的地球重力場圖，利用現(xiàn)代最優(yōu)控制理論和方法定期確定運載體的位置，是修正INS 的技術途經(jīng)之一，特別適用于海洋水下潛航器[2-5].

重力輔助導航系統(tǒng)的基本原理，是載體在運動過程中，重力傳感器實時測量重力特征數(shù)據(jù)；同時，根據(jù)INS 的位置信息從重力圖中讀取重力數(shù)據(jù)；然后將這兩種數(shù)據(jù)送給匹配解算計算機，利用匹配解算軟件進行解算，以得到最佳匹配位置. 利用該信息對INS 進行校正，可起到抑制INS 誤差，提高導航精度的作用[6-8]. 因此，重力輔助導航系統(tǒng)主要包括重力儀、重力場模型和重力數(shù)據(jù)處理，重力圖匹配理論與匹配算法以及各種系統(tǒng)誤差的校正理論與方法.

1 基于無源重力場的輔助慣性導航模型

1.1 INS 的基本原理

INS 的基本原理是以牛頓力學定律為基礎，通過測量載體在慣性參考系的加速度，將它對時間進行積分，且把它變換到導航坐標系中，就能夠得到在導航坐標系中的速度和位置等信息，捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system，SINS)原理如圖1所示. SINS 由捷聯(lián)式加速度計組、陀螺儀組和導航計算機組成，把加速度計和陀螺儀直接安裝在運載體上，將所有導航信息經(jīng)導航計算機處理給出.

圖1 SINS 原理方塊圖

在慣性空間中有兩種力決定運載體的運動，這就是重力和慣性力. 慣性力與運載體質(zhì)量之比稱之為比力，即

比力矢量的單位為 m/s2，INS 的比力通常由推力、舉力、阻力和其他力引起，是INS 中的一個基本概念. 加速度計測量的是運載體相對慣性空間的比力fb，陀螺儀測量的是運載體相對慣性空間的角速度，根據(jù)導航系統(tǒng)選用的坐標系需要將進行相應變換.

導航坐標系采用地理坐標系時(n系，E、N、U)INS 的基本方程為

慣性導航通常分為四個階段：標定、對準、狀態(tài)初始化和當前狀態(tài)計算.

標定是由于加速度計和陀螺儀存在誤差，在開始進行導航之前，通過對加速度計和陀螺分別進行標定，確定加速度計和陀螺儀敏感的比力和旋轉(zhuǎn)速率與實際的比力和旋轉(zhuǎn)速率之間的關系. 標定要在表觀重力矢量值和地理位置確定且非常精確的地點進行，以便提供正確表達加速度計和陀螺儀輸出的系數(shù).

對準是在導航開始時確立每個加速度計輸入軸的方向，即將加速度計-陀螺儀組合體對準到當?shù)乇碛^重力矢量(擺的天文垂線方向)和天文北(接近地球自轉(zhuǎn)軸的方向)，以便導航計算機確定坐標變換，將加速度計的輸出轉(zhuǎn)換成導航計算機的坐標.

狀態(tài)初始化是向計算機提供初始位置和速度值(如果不為零)，進行計算機積分運算的初始化. 初始位置可從事先的大地測量或從GPS、BDS 獲得，地速通過慣性設備外的某種測量裝置獲得.

1.2 重力/INS 組合導航系統(tǒng)

由INS 基本原理可知加速度計測量的是比力，即慣性加速度與重力向量之差. 為了區(qū)分載體運動的慣性加速度和重力加速度，慣性導航儀器必須有重力場的數(shù)學模型，傳統(tǒng)INS 重力計算如圖2 所示. 目前，重力異常是高性能INS 的最大剩余誤差，對于艦船導航系統(tǒng)，重力異常分量約有30～50 mm/s2的偏差.因此，為了提高INS 的精度，除不斷改進重力場數(shù)學模型外還希望能實時獲取艦船所在位置的重力場值.

圖2 傳統(tǒng)INS 中重力的計算

綜合以上分析，我們可以得到導致INS 產(chǎn)生誤差的主要原因有以下幾點：

1)艦船航跡上重力異常；

2)慣性傳感器隨機漂移誤差；

3) INS 初始對準誤差；

4) INS 由原因1)、2)以及計算產(chǎn)生的累計誤差.

水下運載體規(guī)劃航跡穿越重力異常匹配區(qū)，重力異常顯著，標準差在10 mm/s2以上(目前重力異常圖誤差在5～8 mm/s2)；水下運載體進入重力異常匹配區(qū)時作近似定深勻速直線(東西向或南北向)運動；利用重力儀或者重力梯度儀的測量結果修正INS 采用的重力場模型和INS 傳感器隨機漂移誤差；通過重力圖匹配，修正INS 位置誤差(初始對準誤差、累計誤差).

由于INS 通常安裝在水下運載體的質(zhì)心位置，可根據(jù)實際情況將重力導航設備與INS 共用一個穩(wěn)定平臺、相鄰安裝或采用INS 平臺參數(shù)而安裝在其他合適位置.

如圖3 所示，匹配解算計算機接受來自載體運動過程中重力傳感器測量的實時重力特征數(shù)據(jù)和根據(jù)INS 的位置信息從重力圖中讀取到重力數(shù)據(jù)，并利用匹配解算軟件進行解算，求得最佳匹配位置. 利用該信息對INS 進行校正，可起到抑制INS 誤差、提高導航精度的作用.

圖3 重力輔助INS

2 基于無偏Kalman 濾波理論的重力場匹配算法

重力場導航算法是整個重力輔助導航系統(tǒng)的核心，它的輸出用來修正INS，限制INS 誤差隨時間積累，甚至發(fā)散. 水下航行的低速特點和重力異常地圖分辨率低是影響地圖匹配精度和穩(wěn)定性的關鍵因素.傳統(tǒng)Kalman 濾波理論、擴展Kalman 濾波(extended Kalman filter，EKF)理論及其在水下重力INS 匹配導航中的應用，可以給出EKF 濾波器的水下重力異常匹配算法；同時，EKF 也曾是應用最廣泛的解決非線性問題的次優(yōu)近似方法. 但是，EKF 仍存在如下不足：1) 當非線性函數(shù)的泰勒展開的高階項不能被忽略時，線性化會導致系統(tǒng)出現(xiàn)顯著誤差，甚至使濾波器難以穩(wěn)定；2) 在許多實際問題中，很難得到非線性函數(shù)的雅克比矩陣求導；3) EKF 需要求導，所以必須清楚地了解非線性函數(shù)的具體形式，并且無法作到黑盒封裝，從而使其難以模塊化應用. 目前，雖然對EKF有眾多的改進方法，如高階截斷EKF、迭代EKF 等，但這些缺陷仍然難以克服[9-13].

使用采樣方法近似非線性分布來解決非線性問題最近受到了廣泛的關注，這是因為近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)更容易，其中無跡Kalman 濾波(unscented Kalman filter，UKF)就是用一大類用采樣策略逼近非線性分布的方法. UKF基于無損變換(unscented transformation，UT)，采用Kalman 線性濾波框架. 具體的采樣形式是確定性采樣，采樣粒子點(一般稱為Sigma 點) 的數(shù)量非常少，具體數(shù)量取決于所選的采樣策略. 最常用的是2n+ 1個Sigma 點對稱采樣. UKF 算法具有如下特點：1) 近似非線性函數(shù)的概率密度分布，而不是近似非線性函數(shù)；2) 非線性分布統(tǒng)計量的計算精度應至少達到2 階，對于采用特殊的采樣策略可達到更高階精度；3) 計算 Jacobian 矩陣不需要求導；4) 可處理非加性噪聲情況和離散系統(tǒng)，擴大了應用范圍；5) 計算量與EKF 同階次；6)采用了確定性采樣策略，可避免粒子衰退問題. 總之，UKF 的計算量基本與EKF 算法相當，但性能優(yōu)于EKF，在非線性狀態(tài)估計領域已展現(xiàn)出比標準EKF 估計方法更為廣泛的應用前景.

本文分析基于UKF 的重力/SINS 組合導航方法.狀態(tài)方程采用INS 基本誤差方程，測量仍采用重力儀實測重力異常與SINS 指示位置處重力異常圖給出值之差. 由于地球重力異常是地球平面位置的非線性函數(shù)，導致SINS 位置誤差、速度誤差和姿態(tài)誤差也表現(xiàn)出非線性特征.

2.1 UT 基本原理

UT 基于先驗知識：近似非線性函數(shù)的概率密度比近似其函數(shù)更容易. 假設隨機變量x為n維向量，其均值和協(xié)方差分別為和Pxx，要預測m維隨機變量ψ的均值和協(xié)方差Pyy，y與x的關系由以下非線性變換定義

圖4 UT 原理

通常，UT 算法(可應用于任何Sigma 采樣策略)框架的步驟如下：

1)選擇一種Sigma 點采樣策略，根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計量和Pxx，得到輸入變量的Sigma 點集{χi},i=1,2,···,L，以及對應的權值和，其中，L為所采用的采樣策略的采樣Sigma 點個數(shù)，為均值加權所用權值，為協(xié)方差加權所用權值.

2)對所采樣的輸入變量Sigma 點集 {χi} 中的每個Sigma 點進行f(·) 非線性變換，得到變換后的Sigma 點集 {yi} .

3)對變換后的Sigma 點集 {yi} 進行加權處理，得到輸出變量y的統(tǒng)計量和Pyy. 具體的權值仍然依據(jù)對輸入變量x進行采樣的各個Sigma 點的對應權值

經(jīng)UT 后得到的和Pyy的近似值為

式中： ε為x在xˉ 的鄰域偏值；f(i)(·)為x在值xˉ 處的i階偏導值.

在UT 算法中，最重要的是確定Sigma 點采樣策略(使用Sigma 點的個數(shù)、位置及相應權值). 目前有多種Sigma 點采樣策略，如對稱采樣、單形采樣、3 階矩偏度采樣以及高斯分布4 階矩對稱采樣等，本文選擇應用比例修正框架的比例對稱采樣.

2.2 UKF匹配算法

在Kalman 濾波算法中，UKF 算法就是對于一步預測方程，使用UT 來處理均值和協(xié)方差的非線性.基于UKF 的重力場匹配算法共分為四個部分：

1)選擇系統(tǒng)狀態(tài)和協(xié)方差矩陣的權

式中：ns為系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)目； β 為引入f(·) 高階項信息的參數(shù)，當不使用f(·) 高階項信息時 β=2 ，對于高斯分布 β=2 是最優(yōu)的； α 為大于零的比例縮放因子，調(diào)節(jié)Sigma 點與xˉ 的距離亦即用來確定xˉ 周圍Sigma 點的分布可通過調(diào)整 α 的取值來實現(xiàn)，通常設為一個較小的正數(shù)( 10-4≤α ＜1 )； λ 是由兩個用戶指定的常量相關的比例參數(shù)，計算公式為

式中， κ 為度量Sigma 點分布的峰度，通常設置為0 或 3-ns.

2)建立Sigma 點集{χi}

(3)系統(tǒng)預測方程：

(4)更新方程

2.3 系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程的建立

選擇載體航跡及INS 可能的誤差域(3 σ )所在匹配區(qū)進行重力異常建模，經(jīng)反復實驗可得點質(zhì)量模型為：點質(zhì)量點數(shù)3；位置分別為 λj=122.918751 、φ1=24.142241、φ2=24.275575 和φ3=24.408908 ；對應點質(zhì)量分別為( ×1016kg)M1=－2.4774、M2=2.4836和M3=0.4568 ；深度為Dj=40 km . 將上述數(shù)據(jù)分別代入點質(zhì)量模型，即：

式中： δga為重力實時測量系統(tǒng)誤差；R=Re+hi，Re為匹配區(qū)向徑或地球平均半徑，hi為載體高程. 由此可得系統(tǒng)量測方程為

式中： Δgs(λ,φ) 為INS 指示位置處實測重力異常；ΔgM(λ+δλ,φ+δφ)為INS 指示位置對應重力異常圖上獲取的重力異常；為INS 位置誤差.

3 重力輔助導航動態(tài)測量系統(tǒng)

重力測量分動態(tài)測量和靜態(tài)測量. 動態(tài)重力測量是針對在動機座上的重力測量技術，其測量方法又可分為標量和矢量重力測量. 矢量重力測量還處于發(fā)展階段[14]，本文重點介紹動態(tài)標量重力測量系統(tǒng). 標量重力測量只測量垂向重力加速度，重力加速度傳感器只對軸向加速度敏感，安裝在穩(wěn)定平臺上，穩(wěn)定平臺隔離運載體的旋轉(zhuǎn)和振動，保證重力加速度傳感器敏感軸始終垂直地面.

3.1 重力動態(tài)測量的信號處理

動態(tài)重力測量數(shù)據(jù)的精度由兩方面定義：一是重力敏感數(shù)據(jù)的精度；二是運動載體的位置精度[6]. 水下導航重力測量與重力測繪不同，是由實時測量的重力數(shù)據(jù)通過與參考重力異常地圖匹配獲取運載體位置估計. 因此水下導航重力測量的信號處理主要是提高重力敏感數(shù)據(jù)精度，并從敏感數(shù)據(jù)中實時提取重力異常數(shù)據(jù).

標量動態(tài)重力測量是獲取垂直加速度信息，把重力敏感元件安放在穩(wěn)定平臺上，保證敏感元件軸始終與當?shù)卮蟮厮疁拭娲怪?；其次，需要保證敏感元件只輸出敏感軸軸向加速度信息.

典型的動態(tài)標量重力測量系統(tǒng)有Graf 公司的KSS31 和LaCoste ＆ Romberg 的S 型和Bell Aero-Space 公司生產(chǎn)的BGM-3 型海洋重力儀. BGM-3 海洋重力傳感器如圖5 所示，在水平位置設置橫向彈簧限制敏感質(zhì)量在水平方向的移動，迫使其只做垂直運動，消除了加速度的交叉耦合影響.

圖5 BGM 力平衡加速度計結構示意圖

在運動載體上的重力敏感在得到重力加速度的同時，還敏感到運載體的運動產(chǎn)生的垂直加速度. 這些加速度甚至可以達到幾十厘米每平方秒，是主要誤差源. 在得到重力異常值之前必須消除這些誤差.

運載體的運動對重力儀的干擾可分為垂直加速度、穩(wěn)定平臺的偏轉(zhuǎn)和E?tv?s 效應三方面. E?tv?s 效應指運載體相對地球的運動對重力測量的影響.

對重力信號進行處理以獲取高精度量測值的研究，國內(nèi)外都開展了大量的工作. 國外各動態(tài)重力儀生產(chǎn)廠家和相關實驗室的研究認為，對于大部分噪聲低通濾波是有效的. 中科院測量與地球物理研究所王建弟討論了用Kalman 反濾波消除動態(tài)重力測量畸變的問題. 在建立狀態(tài)方程中，他使用了一個二階Gauss-Markov 過程表示地球重力異常協(xié)方差模型.東南大學趙池航探討了用小波分析處理重力儀數(shù)據(jù)的方法，其主要觀點是低通濾波會導致輸出信號的失真，因此用小波對采集到的重力信號進行分解，小波系數(shù)小于某個閾值的都被設為0，再對信號重構，得到即為原重力信號[15-16].

這些方法是針對以重力異常測繪為目的的測量提出的. 重力敏感數(shù)據(jù)被記錄，然后在實驗室進行處理；而一般的平均濾波線性范圍小，濾波的同時重力信號本身會產(chǎn)生畸變. 在實時信號處理方面存在缺陷，本文提出一種采用有限沖擊響應(finite impulse response，F(xiàn)IR)數(shù)字濾波器，保證濾波器的穩(wěn)定性和相位的線性，實現(xiàn)信號的實時處理的方法.

其他誤差需要外部測量才能進行補償. 穩(wěn)定平臺的偏轉(zhuǎn)使運載體的水平加速度耦合到重力儀輸出端，需要穩(wěn)定平臺的偏角的實時估計；E?tv?s 效應的修正需要運載體速度的估計.

在重力測繪中，E?tv?s 效應修正依賴可靠的連續(xù)定位如GPS，給出運載體的速度觀測；也可利用測線的交叉點的重力測量差異進行E?tv?s 效應的修正；在陸地測量時有零速修正法. 但這些方法都不能滿足水下導航重力測量的實時性要求. 在分析E?tv?s 效應模型的基礎上，提出基于重力異常參考地圖的E?tv?s 效應修正模型.

3.2 重力動態(tài)測量的重力異常計算

重力異常是由引起大地水準面偏離參考橢球面的質(zhì)量分布產(chǎn)生的. 已發(fā)布的重力異常的數(shù)值幾乎都是以海平面為基準的. 同樣在水下重力導航中，給定的參考地圖是重力異常地圖，重力數(shù)據(jù)須轉(zhuǎn)換為重力異常數(shù)據(jù)，才能與參考地圖進行匹配.

重力異常的基本計算流程如圖6 所示.

圖6 重力異常計算流程

陸地重力測量通常在海平面以上進行，這時當它減去橢球面上的正常重力值而獲得重力異常以前，必須先將觀測重力值改正成海平面的等效重力值.

為了獲得海平面上的等效值，可以在多種假設基礎上對觀測值進行改正，雖然這些假設中沒有一種能真正反映實際情況. 自由空氣改正是只對測點高度進行改正，從而將觀測值改正到海平面上. 布格改正是將海平面以上的質(zhì)量影響從觀測重力值中減去，從而根據(jù)這些質(zhì)量不存在這一假定來把重力值改正到海平面上. 均衡改正是將海平面以上的質(zhì)量影響去掉，然后在直接向下的深度上重新引入，從而消除補償?shù)匦蔚纳矫}的“根”(或洋盆的“山根”).

由自由空氣改正可以得到自由空氣異常；布格改正后可得到布格異常；均衡改正對應均衡異常.

由于人們對海底地形的了解不如陸地地形，現(xiàn)有的海洋重力異常地圖都是自由空氣異常. 水下重力測量的測點低于大地水準面，重力異常計算模型與陸地重力異常計算模型不同. 現(xiàn)有的計算模型，一種是在陸地自由空氣計算模型的基礎上增加海水的層間改正計算；另一種是進行重力梯度標定，得到深度改正值. 第一種方法在理論上不完備，第二種方法在水下導航中無法實現(xiàn). 本文從重力異常定義出發(fā)，改正正常重力模型到測點，計算重力異常值. 該方法基于海底三維正常重力模型的建立.

4 重力測量干擾處理方法

針對上文中水下動態(tài)重力測量的垂直加速度、水平加速度和E?tv?s 效應三方面干擾來源. 介紹其產(chǎn)生機理、模型建立以及處理方法.

4.1 重力動態(tài)測量垂直加速度干擾處理方法

運載體的垂直加速度直接被重力加速度傳感器敏感，是重力測量中的重要誤差源.

運載體的垂直加速度av可以分為常值avc和周期信號兩部份.

式中，avo和fvo分別為周期垂直加速度的幅值和頻率，上標i表示第i個頻率成份.

常值部主要由水下運載體做加速上升和下潛運動產(chǎn)生的，在通常情況下，此時不采用重力儀的量測值進行輔助導航.

水下運載體在定深航行時，因洋流而產(chǎn)生垂直方向周期性運動. 這部分運動與運動載體本身的振動不同，不能被重力儀機座的機械低通濾波所去除. 觀測表明認為，它的幅值可以達到5～10 cm/s2，頻率范圍是0.05～0.5 Hz.

為有效濾除垂直方向的周期性加速度干擾，需要探討干擾信號于重力加速度信號在頻域成份上的差異. 干擾信號的頻域范圍通過觀測在0.05～0.5 Hz 之間.

重力加速度頻率成份與重力場分布有關，其空間頻率成份是固定的. 對于重力測量系統(tǒng)，需要的是重力關于時間的頻率成份. 重力場空間頻率fsm向時間頻率ftm的轉(zhuǎn)換，由式(15)定義.

式中，nd是重力異常參考地圖的網(wǎng)格間距.

其頻率與速度和參考地圖的分辨率相關，關系如圖7 所示.

圖7 重力信號頻率與運載體速度和參考地圖分辨率關系

為了在濾波中區(qū)分出干擾加速度和重力加速度，需將兩者的頻率成份區(qū)分開，由此得到的干擾信號頻率ftm與重力信號頻率fvo必須滿足

系數(shù)取1/2 是防止濾波時頻率之間出現(xiàn)混疊(由Shannon 采樣定理可知)，在實際應用中分母通常取2.5.

則航行速度受到地圖分辨率的限制，地圖分辨率的單位為m，速度用國際標準單位(m/s)和節(jié)(n mile /h)分別表示. (1 n mile＝1852 m)

FIR 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)就是用某種方法逼近理想濾波器特性，這些方法有插值法、最小平方逼近法和一致逼近法. 它們分別代表了在數(shù)值逼近中不同的逼近準則.

Chebyshev 逼近理論證明了模型的存在性和唯一性，并提出p(x)的構造方法. 其后，McClellan, Parks和Rabiner 等人應用Chebyshev 的理論提出了FIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設計方法. 該方法在通帶和阻帶都具有等紋波的性質(zhì)，并且能精確控制紋波峰值，其低通濾波器的設計參數(shù)包括低通濾波器的截止頻率ωs、阻帶的下截止頻率ωp、通帶紋波峰值δ1、阻帶紋波峰值δ2和單位抽樣響應時間長度N.

由誤差源特征分析可知，誤差的頻率在0.1π～π，在導航過程中通過控制運載體航速使重力異常最高頻率成份為0.05π. 在設計低通濾波器時，其截止頻率通常取0.05π～0.1π 的值.

4.2 重力動態(tài)測量水平加速度干擾補償方法

如果加速度敏感軸偏離大地垂線方向θ，水平加速度ah在重力加速度敏感軸上產(chǎn)生相應的分量疊加到垂直加速度gv上，得到重力儀傳感器輸出gsen

可以得到相應的加速度擾動

陀螺穩(wěn)定平臺用來隔離運載體的旋轉(zhuǎn)運動，保證重力儀軸線與當?shù)卮蟮厮疁拭娲怪? 由式(18)知，平臺偏角的誤差會導致水平加速度擾動計算誤差的增加，平臺偏角估計是水平加速度補償?shù)年P鍵.

陀螺穩(wěn)定平臺的控制方法是慣性技術的關鍵技術之一. 穩(wěn)定平臺可以為機載設備提供相對慣性坐標穩(wěn)定，從而為各種設備的對準提供基準. 本文引用一種穩(wěn)定平臺，介紹其失準角的變化機理，為水平加速度擾動修正提供理論依據(jù).

從式(18)可以看出，穩(wěn)定平臺是在水平加速度的影響下強迫振動，它的頻響函數(shù)為

式中，輸入信號為ah/g.

任何信號都可以按Fourier 轉(zhuǎn)換理解為周期信號和的形式，在重力導航過程中，通常運載體不做機動航行，水平運動的干擾主要形式是周期信號，因此本文只分析周期水平加速度引起的擾動加速度.

由式(19)和式(18)可以得到周期水平加速度引起的擾動加速度gθ的計算公式

不同頻率和幅值的水平加速度與擾動加速度幅值之間的關系如圖8 所示.

圖8 周期加速度引起的重力儀量測擾動常值分量

可以證明在阻尼f=時，這種影響被降到最低.

周期分量為剩余部分，其頻率為原水平加速度信號的兩倍，對重力儀產(chǎn)生的擾動如圖9 所示.

圖9 周期水平加速度引起的周期擾動

顯然周期性水平加速度所引起的誤差主要體現(xiàn)在對重力儀的周期擾動上. 但其頻率成份為原水平加速度信號的兩倍，所以只要在信號處理中采用低通濾波即可消除它所帶來的影響.

如果穩(wěn)定平臺偏角，直接由陀螺儀讀數(shù)決定，得到的補償必然包含有陀螺儀的隨機誤差. 本文在已建立的水平加速度和穩(wěn)定平臺傾角關系模型的基礎上，給出用Kalman 濾波的方法得到穩(wěn)定平臺的傾角最優(yōu)估計. 由該估計值進行誤差補償.

由平臺運動微分方程可以得到系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程

又因系統(tǒng)的輸入量ah可以分解為真實信號與白噪聲之和，w是水平加速度計的量測噪聲.則式(11)可寫成

系統(tǒng)的量測方程

式中：C=[01]；v是陀螺儀量測噪聲.

已標定加速度計和陀螺儀的量測誤差可以視為白噪聲w和v且統(tǒng)計特征已知，也就是說：

4.3 E?tv?s 效應的實時修正模型

E?tv?s 效應指運載體相對地球的運動對重力測量的影響. 它在重力測量中所產(chǎn)生的擾動加速度δgE可用式(23)定義.

式中：Rφ為當?shù)氐牡厍虬霃?；φ為緯度；ωie為地球自轉(zhuǎn)角速率；h為運載體航行深度；V為運載體航速；Λ 為運載體航向.

式中：F為地球扁率；a為地球長軸半徑.

水下運載體的航行深度，從100～1000 m 不等，能在300 m 以下航行的運載體多為無人載體. 按最大航行深度計，式(23)中h/Rφ的值為1.573×10-4. 因此，公式中的第一項可簡化為1.

同樣，對于水下運載體而言，最大航速約為18 kn(1 kn＝1852 m/h)，常規(guī)航行速度為4～6 kn.V2/Rφ的最大值為，1.3489×10-5m/s2，1.3 mm/s2. 常規(guī)航行時約在0.1 mm/s2.

式(23)中的 2ωieVcosφsin Λ 項在運載體按常規(guī)航行速度4 kn 計算，最大可達到30 mm/s2. 因此式(23)可簡化為以下形式

這里探討速度、航向、緯度誤差對E?tv?s 效應計算的影響如圖10 所示. 在公式中航向的正弦和速度的乘積是東向速度VE(Ve=Vsin Λ )，把它代入公式后對該函數(shù)進行偏微分可得

圖10 緯度、東向速度與E?tv?s 效應的關系

顯然，重力儀的E?tv?s 效應改正精度要達到1 mm/s2，速度觀測誤差δV、緯度誤差δφ和航向誤差δΛ 應滿足

當水下運載體以最大航速18 kn 航行時，緯度和航向角容差可達到0.424°，由此可見，E?tv?s 效應改正對速度觀測要求很高，而對緯度和航向誤差不敏感.

如前所述，水下導航重力測量的導航定位條件有限，由INS 提供的速度觀測進行E?tv?s 效應修正存在很大的誤差.

由于E?tv?s 效應對緯度和航向誤差不敏感，假定水下運載體保持勻速運動，E?tv?s 效應近似于一個常值. 在高頻噪聲消除之后，該誤差仍保留在重力觀測數(shù)據(jù)gE中.

用gE計算得到重力異常值ΔgE包含了這部分誤差，用實時測量的重力異常序列ΔgEi值的期望和重力異常參考地圖的局部平均值進行比較可以得到E?tv?s 效應的修正. 流程如圖11 所示.

圖11 基于重力異常參考地圖的E?tv?s 效應修正

實時ΔgE的期望計算模型如所示

5 小 結

重力輔助導航系統(tǒng)主要包括重力儀、重力場模型和重力數(shù)據(jù)處理，重力圖匹配理論與匹配算法以及各種系統(tǒng)誤差的校正理論與方法. 本文主要介紹了海洋重力輔助INS 的方法，包括重力場導航方法的實現(xiàn)以及重力實時測量系統(tǒng)的構成，為重力輔助導航匹配算法的進一步研究和工程應用提供了有益的經(jīng)驗.