圓中圖形繁瑣多 化繁為簡是條路

劉 琦

(昆明理工大學附屬中學,云南 昆明 650031)

中考中對圓的考查大多都是以圓與直線形(線段、射線、直線、三角形、四邊形、多邊形稱為直線形)圖形組合成復雜圖形為背景,以運動為載體,集代數(shù)與幾何知識于一體,滲透分類討論、轉化化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想.常涉及垂徑定理、弦、弧,圓心角的關系、圓周角定理、切線性質與判定、切線長定理、勾股定理,相似三角形的判定和性質,特殊四邊形性質以及銳角三角函數(shù)定義與特殊角的三角函數(shù)值等相關知識.

下面結合中考真題,談談如何在圓的計算題與證明題中分析條件、化繁為簡、快速解題.

1 連半徑,證垂直

例1(2020年銅仁市中考題)如圖1,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,連接AC,CE⊥AB于點E,D是直徑AB延長線上一點,且∠BCE=∠BCD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

圖1 例1題圖 圖2 分析附圖

分析(1)如圖2,此問屬于“連半徑,證垂直”,即連接OC,利用題設中的直角或垂直條件推導出半徑與直線垂直,得出∠OCD=90°即可,抓住△CBE與△ABC這對“共邊相似三角形”是關鍵.

(2)如圖2,設BC=k,AC=2k,抓住△DCB與△DAC這對“共邊相似三角形”,根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論.

解(1)如圖2,連接OC.∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.

∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,

又∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠A=90°,∴∠A=∠ECB.

∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD.

∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD,

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°,

∴∠DCO=90°,∴CD是⊙O的切線.

(2)∵∠A=∠BCE,

設BC=k,則AC=2k.

∵∠D=∠D,∠A=∠BCD,∴△ACD～△CBD,

2 陰影部分面積

例2 (2020年黔西南州中考題)如圖3,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,D為AB的中點,以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF,點C恰在弧EF上,則圖中陰影部分的面積為____.

分析將下方的陰影部分旋轉到最上方,轉化為計算規(guī)則圖形弓形的面積.

圖3 例2題圖 圖4 旋轉、割補

解法2 如圖4,∵∠EDF=∠CDB=90°,∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF,

∴扇形EDC與扇形FDB面積相等.

∵DN=DM,DB=DC,∴△DCM?△DBN,

∴陰影部分EMC與陰影部分FNB面積相等,

∴所求陰影部分面積為弓形CFB面積.

點評求陰影部分面積常有以下方法:①公式法:如果陰影部分是扇形、平行四邊形、圓等,直接用公式計算;②和差法:將不規(guī)則陰影部分轉化為規(guī)則圖形求面積的和差,有時需要作輔助線進行分割;③等積轉化法:將圖形平移、軸對稱、旋轉等轉化為公式法或和差法,注意利用平行線中的等底(同底)等高(同高)轉化;④容斥原理法:陰影部分是兩個基本圖形互相重疊得到的,“組合圖形面積”=“兩個基本圖形面積之和”-“重疊圖形面積”.

3 線圓相切求半徑

圖5 例3題圖

圖6 作平行線

綜上,拋物線上不存在點Q,使得△QCO為等邊三角形.

如圖7,當⊙M與x軸相切時,

圖7 M在P的上方 圖8 M在點P的下方

圖9 M在點P的下方 圖10 M在點P的上方

對于圓這類綜合性較強的題目,多采用由因索果以及執(zhí)果索因相結合的方法進行分析,以便達到條件與結論的有效溝通.同時又要善于挖掘題目中的隱含條件,將問題轉化到基本圖形之中,再用相關的知識與方法進行解決,這樣可以達到化繁為簡、快速解題的效果.