以拐點(diǎn)為背景的高考模擬題

倪其圣

(睢寧縣菁華高級(jí)中學(xué),江蘇 睢寧 221200)

縱觀近些年的高考題和各級(jí)各類模擬題,不難發(fā)現(xiàn)關(guān)于拐點(diǎn)問(wèn)題的討論越來(lái)越多,且試題難度較大.文章基于這一現(xiàn)狀,介紹拐點(diǎn)的基本知識(shí)和相關(guān)結(jié)論,并舉例介紹相關(guān)解題方法,以期拋磚引玉.

1 預(yù)備知識(shí)

定義設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有穿過(guò)曲線的切線,且在切點(diǎn)近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的,這時(shí)稱點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)[1].

比如,順著x軸的正方向看,在x=0附近,f(x)=x3圖象從凹變?yōu)橥?函數(shù)f(x)=sinx的圖象從凸變?yōu)榘?所以(0,0)是它們的拐點(diǎn)[2].

定理1 若函數(shù)f(x)在x0二階可導(dǎo),且(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn),則f″(x0)=0.

性質(zhì)1 三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的點(diǎn)正好是其圖象的對(duì)稱中心.

性質(zhì)2 若一直線經(jīng)過(guò)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的拐點(diǎn)并與其圖象交于A,B兩點(diǎn),則曲線y=f(x)在A,B處的切線的斜率相等.

2 模擬試題及其背景分析

例1已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2+x,若正實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)=4,求證:x1+x2≥2.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)高觀點(diǎn)引路,可看清問(wèn)題的本質(zhì),從而得到好的解法,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例2已知直線x-9y-8=0與曲線C:y=x3-px2+3x相交于A,B,且曲線在A,B處的切線平行,則實(shí)數(shù)p的值為( ).

A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3

將拐點(diǎn)代入直線x-9y-8=0,得p3-13p-12=0,解得:p=-1,-3或4,下同解法1.

背景分析若直接運(yùn)算,運(yùn)算量相當(dāng)大. 但如果我們通過(guò)高觀點(diǎn)提煉出問(wèn)題的本質(zhì),就容易多了. 根據(jù)三次函數(shù)在A,B處的切線平行,結(jié)合性質(zhì)2可知,直線必過(guò)三次函數(shù)的拐點(diǎn). 所以只需求出三次函數(shù)的拐點(diǎn),代入直線即可.

(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:f(x1)+f(x2)>2a-3.

當(dāng)a≤1時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)無(wú)極值點(diǎn).

易證,當(dāng)x>1時(shí),ex>2x,所以a>1時(shí),f′(ea)=2a-ea<0.

當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.

所以f(x)在x=x1處取得極小值,在x=x2處取得極大值.

綜上所述,當(dāng)a≤1時(shí),f(x)無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)a>1時(shí),f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(2)當(dāng)a>1時(shí),f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且滿足01.

先證f(x2)>f(2-x1).

因?yàn)楫?dāng)x∈(1,x2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以f(x2)為(1,+∞)內(nèi)的最大值,即f(x2)>f(2-x1).

所以,要證f(x1)+f(x2)>2a-3,只需證f(x1)+f(2-x1)>2a-3.

又g′(1)=0,所以x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)=f(x)+f(2-x)在(0,1)上單調(diào)遞減.所以x∈(0,1)時(shí),g(x)>g(1)=2f(1)=2a-3.

因此f(x1)+f(x2)>f(x1)+f(2-x1)=g(x1)=2a-3.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:f(x1)+f(x2)>2.

解(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(1,+∞).過(guò)程略.

(2)由(1)知x1,x2為f′(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,x1<0

下面先證x1<-x2<0,只需證f′(-x2)

因?yàn)閒(x)在(x1,0)上也單調(diào)遞減,所以f(x1)>f(-x2).

設(shè)m(x)=ex+e-x-x2-2,x∈(0,+∞),則m′(x)=ex-e-x-2x.而m″(x)=ex+e-x-2>0,所以m′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以m′(x)>m′(0)=0,從而m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以m(x)>m(0)=0.

背景分析由f″(x)=ex-1=0,得x=0,故函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)是(0,1),可知本題的高數(shù)背景是拐點(diǎn)偏移問(wèn)題,即:已知x1+x2<0,求證f(x1)+f(x2)>2f(1).

設(shè)函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)為(n,f(n)),則拐點(diǎn)偏移問(wèn)題可大致分為以下兩類:

①已知f(x1)+f(x2)=2f(n),求證x1+x2>2n或x1+x2<2n.

②已知x1+x2>2n或x1+x2<2n,求證f(x1)+f(x2)>2f(n)或f(x1)+f(x2)<2f(n).

如何取突破這一類拐點(diǎn)偏移問(wèn)題呢?我們抓住兩條主線即可:一是“減元”思想;二是“構(gòu)造函數(shù)”,利用函數(shù)的單調(diào)性.事實(shí)上,對(duì)于拐點(diǎn)問(wèn)題,我們也可以從圖象直觀的角度予以分析,弄清命題原理,對(duì)命題與解題兩方面思考[3],這樣可以大大提高解題效率.