一道高考解析幾何題的多解與課本溯源

楊小瑛

(江蘇省江安高級(jí)中學(xué),江蘇 南通 226500)

解析幾何試題是高考的一個(gè)難點(diǎn),它因運(yùn)算量和思維強(qiáng)度大,令很多考生望而生畏.筆者對(duì)高考中的解析幾何試題進(jìn)行探究,獲得一些心得.下文以2019年全國(guó)Ⅱ卷理科解析幾何試題為例,從各種角度給出試題的解析,并對(duì)試題進(jìn)行課本溯源,希望對(duì)讀者有所啟示.

1 真題呈現(xiàn)

2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科解析幾何試題如下:

圖1 真題圖

(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線;

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;

(ⅱ)求△PQG面積的最大值[1].

2 一題多解

(2)(ⅰ)如圖1所示,問(wèn)題等價(jià)于證明PQ⊥PG,下文從三個(gè)視角來(lái)證明.

視角1 常規(guī)思路,求出P,Q,G的坐標(biāo).

解法1設(shè)PQ的斜率為k,則PQ:y=kx(k>0).

故PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形[2].

點(diǎn)評(píng)該解法雖然有點(diǎn)復(fù)雜,但卻是最基本的方法,而且為(ⅱ)求△PQG的面積作了鋪墊.

視角2橢圓的第三定義.

解法2先證明引理1

點(diǎn)評(píng)該解法正是揭示了問(wèn)題的背景:橢圓的第三定義.

視角3變換的視角,讓橢圓“圓”形畢露.

解法3設(shè)P(x1,y1),G(x0,y0),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),所以kPQ=2kGQ.

?2kGQ·kGP=-1

?kPQ·kGP=-1.

所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)伸縮變換,把橢圓變?yōu)閳A,根據(jù)圓周角定理和射影不變量來(lái)推導(dǎo),恰恰揭示了問(wèn)題的本質(zhì).

由引理2得,

3 課本溯源

第(1)問(wèn)的背景是橢圓的第三定義,即引理1:

然而,這個(gè)結(jié)論(第三定義)卻是出自課本:2019年人教A版《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》108頁(yè)例3.

4 教學(xué)思考

4.1 回歸課本

高考題雖千變?nèi)f化,但萬(wàn)變不離其宗.課本是高考試題命制的依據(jù),課本就是根本.我們不僅要熟悉課本的知識(shí)體系,更要熟悉課本的例題和習(xí)題,而且要對(duì)課本的例題和習(xí)題進(jìn)行進(jìn)一步的探究和推廣,打通課本與高考的通道.

4.2 研究高考真題.

通過(guò)研究往年的高考真題,不僅可以熟悉高考所考查的題型、考點(diǎn)和解題的思想方法,而且可以探究高考試題的特點(diǎn),感知高考命題的趨勢(shì)與動(dòng)向.高考試題也具有一定的周期性,所以我們有必要對(duì)往年的高考真題進(jìn)行變式探究和深入研究.

4.3 數(shù)學(xué)思想方法的滲透

圓的很多性質(zhì)(比如圓周角定理、垂徑定理等)都可以類比到橢圓,從而得到一些新的性質(zhì). 高考命題人往往也是從這個(gè)角度來(lái)命制試題,所以在平時(shí)的教學(xué)中,教師有必要進(jìn)行拓展,把圓的性質(zhì)類比到橢圓來(lái)研究.又比如,也可以把平面幾何的一些性質(zhì)類比到空間幾何,這需要教師在日常的教學(xué)中進(jìn)行滲透.

4.4 數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

很多學(xué)生對(duì)解析幾何綜合題“望而卻步”,原因是其運(yùn)算量太復(fù)雜.要提高學(xué)生的運(yùn)算能力,需要教師在日常教學(xué)中做到以下三點(diǎn):一是總結(jié)一些可以簡(jiǎn)化運(yùn)算的思想方法,如設(shè)線優(yōu)化、點(diǎn)差法、換元法、對(duì)偶法等;二是要給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生親自動(dòng)手作運(yùn)算;三是教師要當(dāng)面指點(diǎn)學(xué)生,指出其運(yùn)算出錯(cuò)的地方或者處理不當(dāng)之處. 如此,學(xué)生的運(yùn)算能力才會(huì)越來(lái)越好,最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的目標(biāo).