冪指數(shù)棱臺聲子晶體對薄板振動彎曲波的調控特性研究

金 星，張振華

（海軍工程大學艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033）

引言

板殼類結構在船舶、航空、車輛等領域有著廣泛的應用，其減振降噪問題一直是工程界的重要關注點。聲學超材料概念的提出為薄板結構的減振降噪提供了新的技術途徑。其中聲學黑洞（ABH）［1］的結構厚度設計成冪指數(shù)函數(shù)（h（x）=ε|x|m（m≥2））的形式，可使沿該方向傳播的振動波能流集中在結構的尖端位置，再通過附加阻尼材料吸收振動能量以達到減振效果，其在梁或板的減振［2］和能量調控［3］等方面具有廣闊的應用前景。此外，周期性結構產生的帶隙也打開了結構減振降噪的另一條思路。

近年來國內外學者對帶有聲學黑洞的周期性結構進行了大量研究。Zhu 等［4］采用平面波展開法和有限元法對嵌入聲學黑洞薄板結構進行了研究，發(fā)現(xiàn)其可對彎曲波產生雙折射效果。Zhao 等［5］提出了一種改進的聲學黑洞板結構，并通過數(shù)值模擬與仿真驗證其可對彎曲波產生準直與聚焦效應。Tang 等［6］利用小波分解能量法對嵌有多個聲學黑洞的歐拉-伯努利梁進行了研究，發(fā)現(xiàn)其因聲學黑洞效應產生了低頻段的彎曲波帶隙。Gao 等［7］提出了一種中心嵌有組合聲學黑洞的梁結構，發(fā)現(xiàn)其在1200 Hz 頻率下存在兩個帶隙，并指出第一個帶隙是由縱向和橫向彎曲振動的耦合作用引起的。Deng 等［8］利用高斯展開法計算了環(huán)形聲學黑洞的頻散曲線，通過分析等頻線，發(fā)現(xiàn)其可在特定頻率對彎曲波產生自準直效應。他還提出一種嵌有聲學黑洞的圓柱殼結構，并在此基礎上通過添加加強筋來增強殼體剛度，研究表明這種結構可有效阻隔彎曲波在殼體的軸向傳播［9］。同時還利用高斯展開法對嵌有十字型聲學黑洞凹槽的板結構進行了研究，利用結構的帶隙特性抑制了板的彎曲振動［10］。Tang 等［11］提出了一種嵌有雙葉型聲學黑洞的梁結構，并結合局域共振效應與布拉格散射效應產生了寬頻帶隙。Zhou 等［12］通過數(shù)值模擬研究了一種復合型聲學黑洞梁的動態(tài)和靜態(tài)特性，結果表明復合型聲學黑洞梁在結構強度與抑制振動方面都優(yōu)于傳統(tǒng)的聲學黑洞梁結構。O’Boy等［13］利用瑞利-里茨變分能量法對聲學黑洞板的固有頻率進行了研究，并發(fā)現(xiàn)在凹槽中將適量阻尼比附加于整個板具有更好的減振效果。Ji 等［14］提出了一種可貼附于結構上的圓形ABH 吸振器結構，并通過有限元法與試驗驗證其具有較好的減振效果。

聲子晶體的缺陷態(tài)也是目前的一個研究熱點。聲子晶體周期性的破壞稱為聲子晶體的缺陷。Sigalas［15］發(fā)現(xiàn)在以鉛圓柱為散射體，環(huán)氧樹脂為基體的二維聲子晶體結構中，改變散射體半徑而形成的缺陷可對彈性波產生局域作用。趙寰宇等［16］研究了以水為基體、鋼柱為散射體的聲子晶體的帶隙特性，與實驗測得的缺陷局域模態(tài)頻率對比具有較好的一致性。江衛(wèi)鋒等［17］發(fā)現(xiàn)將聲子晶體的點缺陷引入聲子晶體的周期性結構中可以擴大聲子晶體的帶隙范圍。徐馳等［18］驗證了聲子晶體的線缺陷具有聚聲效應。

雖然目前對聲學黑洞已開始了相關研究，但利用周期性聲學黑洞的帶隙特性實現(xiàn)結構減振的研究比較匱乏，且提出的構型大多只存在方向帶隙［19］，尚少有關于利用冪指數(shù)結構周期性排列形成完全帶隙從而抑制板彎曲振動的研究。傳統(tǒng)的聲學黑洞構型的結構厚度通常以冪指數(shù)函數(shù)的形式減小，會削弱結構強度。本文借鑒聲學黑洞構型，提出了一種冪指數(shù)棱臺聲子晶體，可通過膠接的方式將輕質材料制成的冪指數(shù)棱臺結構貼附于薄板上，利用聲子晶體的聚焦效應與帶隙特性抑制板的彎曲振動。研究發(fā)現(xiàn)該聲子晶體具有三個寬頻彎曲波完全帶隙。結合其模態(tài)振型和頻散曲線，對帶隙產生的機理進行了分析，并研究了帶隙的影響因素；通過數(shù)值仿真和試驗對結構的帶隙特性進行了驗證；最后利用聲子晶體的線缺陷與帶隙特性實現(xiàn)了彎曲波波導。

1 研究模型

如圖1 所示，聲子晶體原胞由冪指數(shù)棱臺與薄板組成。所述冪指數(shù)棱臺是指：上端面和下端面為正方形，棱面呈冪指數(shù)曲線向內側彎曲，上端面中心設置有柱形空洞的棱臺，如圖2 所示。冪指數(shù)棱臺底座的正方體邊長為a，邊緣厚度為hA，總高度為HA，凹陷寬度為rA。冪指數(shù)棱臺在x與y方向的厚度變化為棱臺中間的圓柱形空洞半徑為rA1，空洞的深度為HA1。薄板的長寬與棱臺下端面一致，厚度為hB。

圖1 聲子晶體周期性結構Fig.1 The periodic structure of phononic crystals

圖2 聲子晶體晶胞Fig.2 The crystal cell of phononic crystal

2 冪指數(shù)棱臺聲子晶體帶隙分析

2.1 聲子晶體中彈性波基本方程

根據(jù)彈性力學理論，薄板內彎曲波的控制方程可寫為：

式中t為時間；r為位置矢量；w(r，t)為板的橫向位 移；ρ(r)為密度；D(r)=E(r)h3(r)/{12[1-ν2(r)]}為板的彎曲剛度；E(r)為板的楊氏模量；h(r)為板的厚度；ν(r)為泊松比。

2.2 頻散曲線計算

根據(jù)Bloch 定理，聲子晶體板的位移場可表示為：

式中k=(kx，ky)為第一布里淵區(qū)的Bloch 波矢；R為平移矢量；ω為圓頻率；wk(r)為與材料參數(shù)具有相同周期的周期函數(shù)。

第一布里淵區(qū)如圖3 陰影所示，根據(jù)原胞的平移周期性，通過改變第一布里淵區(qū)的波矢k，利用有限元軟件求解特征值，可得到頻散曲線。聲子晶體的幾何參數(shù)與材料參數(shù)如表1 所示，其中薄板材料為鋼，冪指數(shù)棱臺材料為聚碳酸酯（PC）。由表1 參數(shù)計算出冪指數(shù)棱臺聲子晶體的頻散曲線如圖4所示。

表1 聲子晶體的幾何參數(shù)與材料參數(shù)Tab.1 Geometrical parameters and material parameters of phononic crystals

圖3 聲子晶體第一布里淵區(qū)Fig.3 The first Brillouin zone of phononic crystal

圖4 聲子晶體頻散曲線Fig.4 Frequency dispersion curves of phononic crystals

在有限厚度的板結構中，一般具有彎曲波、縱波、水平剪切波三種基本波模式。三者可分別表示為A 模式、S 模式和SH 模式，且與頻率階數(shù)（n≥0）相關，可以分別寫為An，Sn和SHn（n=0，1，2，…）［20］。為分析頻散曲線對應的波模式，圖5 列出了頻散曲線中點A～E 本征模態(tài)在x，y和z方向上的位移分量。其中，點A，B，C，D 處本征模態(tài)在z方向上的振動幅值遠大于其他兩個方向，而點E，F(xiàn) 處本征模態(tài)則分別主要在x，y方向產生較大的位移，這表明點A～D 所在頻散曲線（圖4 黑點）對應彎曲波模式，點E，F(xiàn) 所在曲線（圖4 紅點）則對應其他波模式［21］。因薄板結構主要在垂向產生較大的振動，故本文重點關注頻散曲線中的彎曲波模式，若隱去其他類型的波模式，可以發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)棱臺聲子晶體具有三個彎曲波完全帶隙，其頻段如表2 所示。

表2 聲子晶體完全帶隙范圍Tab.2 Range of complete band gap of phononic crystals

圖5 位移場分布Fig.5 Distribution of the displacement field

為更好地揭示帶隙機理，計算了自由邊界條件下聲子晶體原胞的固有頻率，其第一階固有頻率為3475 Hz，對應第一帶隙頻段。由圖6 可知，原胞模態(tài)振型顯示波的能量主要聚集于棱臺的斜邊處，這是由于棱臺厚度的變化導致彎曲波的波長減小，振幅增大，降低了彎曲波的群速度與相速度，導致彎曲波能量被限制于冪指數(shù)斜面中，即能量聚焦效應。這表明第一帶隙是因聚焦效應引起的局域共振產生的［21］。聲子晶體原胞的第五階固有頻率（6806 Hz）對應第二帶隙；第八階固有頻率（8749 Hz）對應第三帶隙。圖6 中原胞固有頻率的模態(tài)振型因聚焦效應出現(xiàn)了能量在冪指數(shù)斜面聚集的現(xiàn)象，這表明冪指數(shù)棱臺產生的三個完全帶隙都是因聚焦效應引起的局域共振產生的。

圖6 固有頻率模態(tài)圖Fig.6 Modal diagram of natural frequency

2.3 帶隙影響因素分析

為揭示聲子晶體的結構參數(shù)對帶隙的影響規(guī)律，對聲子晶體的參數(shù)進行研究。

2.3.1 冪指數(shù)棱臺總高度HA變化對帶隙的影響

冪指數(shù)棱臺聲子晶體的總高度對帶隙的影響規(guī)律如圖7 所示。其中聲子晶體晶胞只改變總高度HA，其他參數(shù)與表1 一致。

圖7 總高度變化對帶隙的影響Fig.7 The influence of total height variation on band gaps

通過圖7 可知，隨著棱臺總高度HA的升高，第一帶隙的起始頻率逐漸降低，而其他兩個帶隙的起始頻率則升高。三個帶隙的終止頻率都是隨著HA的增高而提高。對于帶隙范圍而言，第一帶隙受HA的影響最大，三個帶隙的帶寬隨著HA的升高而變寬，當高度為13 mm 時，第一帶隙開始出現(xiàn)。

2.3.2 冪函數(shù)冪次m變化對帶隙的影響

冪函數(shù)的冪次對于聲子晶體帶隙也有較大的影響，其影響規(guī)律如圖8 所示。其中聲子晶體原胞只改變冪次m，其他參數(shù)與表1 一致。

圖8 冪次變化對帶隙的影響Fig.8 The influence of power variation on band gaps

2.3.3 冪指數(shù)棱臺聲子晶體的邊緣厚度hA變化對帶隙的影響

冪指數(shù)棱臺聲子晶體的帶隙對其邊緣厚度十分敏感，如圖9 所示。其中聲子晶體原胞只改變邊緣厚度hA，其他參數(shù)與表1 一致。

圖9 邊緣厚度對帶隙的影響Fig.9 The influence of the thickness of the border on band gaps

隨著邊緣厚度hA的增加，所有帶隙的頻段逐漸變窄，且?guī)兜钠鹗碱l率開始升高，當hA=0.9 mm時，第一帶隙消失。這是由于邊緣厚度的升高，聚焦效應開始減弱，從而導致局域共振效應減弱［21］。由此可知，可以通過降低棱臺邊界厚度的方式獲得起始頻率低且?guī)捀鼘挼膸丁?/p>

3 冪指數(shù)棱臺聲子晶體板對彎曲波的調控

3.1 冪指數(shù)棱臺聲子晶體板對彎曲波的阻隔

頻散曲線可以預報帶隙的頻段，但還需通過分析傳遞損耗曲線去驗證聲子晶體的帶隙特性，從而充分證明聲子晶體板的減振特性。如圖10 所示，聲子晶體板長為0.3 m，寬為0.2 m，厚度為0.5 mm，其上貼附有4×4 個聲子晶體原胞，聲子晶體板四周為固支約束，且聲子晶體的幾何及材料參數(shù)與表1 一致。在點P1 處加載一個垂直于板的激勵載荷，并拾取點P1 與P2 處的加速度用于計算傳遞損耗曲線。研究中通常將傳遞損耗曲線定義為［23］：

圖10 振動傳遞模型Fig.10 The vibration transfer model

式中X1為點P2 處的加速度；X0為點P1 處的加速度。

圖11 給出了振動傳遞模型在激勵頻率為1000～10000 Hz 作用下的傳遞損耗曲線。相較于平板結構，聲子晶體板在3200～3800 Hz，6300～7100 Hz，8800～10000 Hz 三個頻段對彎曲波具有較好的衰減效果，聲子晶體板的振動損耗傳遞最高可達-45 dB，且能量衰減段與帶隙頻段（圖11 藍色虛線）基本一致。

圖11 傳遞損耗曲線Fig.11 The curves of transfer loss

為進一步驗證冪指數(shù)棱臺聲子晶體帶隙阻隔彎曲波的有效性，根據(jù)表1 參數(shù)制備了聲子晶體板試驗模型，如圖12 所示。聲子晶體板由3D 打印機（Raise3D Pro2）加工出的聚碳酸酯棱臺與尺寸為300 mm×300 mm×0.5 mm 的薄鋼板組成，利用高強度AB 膠將2×5 個棱臺粘結于薄板中部。

采用螺栓將聲子晶體板固定于剛性支架上，用于模擬固支約束條件。將激振器（DH40050）與升降臺放置于模型下方，調整升降臺高度，使激振器頂桿置于聲子晶體板點P1 下方，以激勵板產生振動。利用信號發(fā)生器（FY6900）與功率放大器（DH5872）對激振器的輸出激振力進行設定。此外，在聲子晶體板點P1，P2 處貼附微型加速度傳感器（1A803E）用于測量兩點的法向振動加速度，試驗測試系統(tǒng)如圖13 所示。

在課程進行到三分之一左右時開始發(fā)放文獻閱讀任務，此時學生既具有一定的知識基礎，又有充分的時間完成任務。

圖13 試驗測試系統(tǒng)Fig.13 Experimental measuring system

試驗中激振器的輸入信號為1000～4000 Hz 的正弦波信號。利用采集儀自帶軟件對點P1，P2 的時域信號進行快速傅里葉變換，得到的頻域信號用于計算傳遞損耗曲線，試驗結果如圖14 所示。

圖14 傳遞損耗曲線Fig.14 The curves of transfer loss

由圖14 可知，試驗模型在3210～3700 Hz 頻段具有明顯的能量衰減段，有效抑制了板的彎曲振動響應，且能量衰減頻段與帶隙頻段（藍色虛線框）基本一致，驗證了冪指數(shù)棱臺聲子晶體彎曲波帶隙的減振特性。此外，試驗樣件在非帶隙頻段同樣具有衰減振動的效果，這是由于聲子晶體的冪指數(shù)剖面產生的能量聚集效應抑制了板的彎曲振動。試驗結果表明，在帶隙頻段內的聲子晶體板減振效果要優(yōu)于在非帶隙范圍內的減振效果。

3.2 冪指數(shù)棱臺聲子晶體板對彎曲波的波導

缺陷是指對聲子晶體理想周期性結構的破壞?？赏ㄟ^改變周期性結構中聲子晶體的幾何參數(shù)或是材料參數(shù)等方式生成缺陷。

對含Z 型缺陷的聲子晶體板進行傳遞損耗計算。在長度為0.4 m，寬度為0.35 m，厚度為0.5 mm的聲子晶體板結構中設置一個Z 型線缺陷，如圖15所示。在點P1 處施加一個頻率為1000～10000 Hz，方向垂直于板，大小為1 N 的簡諧載荷，并拾取點P1與P2處的加速度，計算傳遞損耗曲線，結果如圖16所示。相較于無缺陷的聲子晶體板結構，具有線缺陷的聲子晶體板的振動衰減效果有所下降。由此可見，線缺陷的引入會弱化結構的帶隙特性。

圖15 Z 型線缺陷Fig.15 Z-shaped line defects

圖16 傳遞損耗曲線Fig.16 The curves of transfer loss

圖17 展示了具有Z 型線缺陷的聲子晶體板在載荷頻率為2.6 與3.5 kHz 作用時的位移場分布。頻率在帶隙內的彎曲波可以沿著線缺陷進行傳播，頻率在帶隙外的彎曲波則沒有形成明顯的波導效果。

圖17 Z 型線缺陷聲子晶體板的位移場分布Fig.17 The distribution of displacement field of phononic crystal plate of Z-shaped line defects

在聲子晶體薄板結構的中心處設置一個直線型線缺陷，并在點P3 處設置一個頻率為3400 Hz，垂直于板的簡諧載荷，如圖18 所示。當頻率在帶隙范圍內的載荷作用于具有直線型線缺陷的聲子晶體板結構時，彎曲波可平穩(wěn)地通過預定的路徑傳播。相較于直線波導，Z 型線波導的傳播距離較長，出口處的振幅明顯減小。在實際應用中，需要合理安排波導傳播路徑的長度才能達到最佳波導效果。

圖18 直線型線缺陷Fig.18 Straight line defects

利用聲子晶體的波導效應可將彎曲波的大部分能量引至非重要的區(qū)域，從而在聲子晶體板上生成振動屏蔽區(qū)域。如圖19 所示，在長度為0.35 m，寬度為0.35 m，厚度為0.5 mm 的聲子晶體板中設置T型線缺陷，在點P4（0，0）處設置頻率為3700 Hz，方向垂直于板，大小為1 N 的簡諧載荷。由圖19 可知，帶隙頻段內的彎曲波可沿著T 型線缺陷進行傳播，并在聲子晶體板內形成振動屏蔽區(qū)域（白色虛線框），且振動屏蔽區(qū)域在帶隙范圍內的位移遠小于T型線缺陷上的位移。上述研究表明本文提出的聲子晶體結構對彎曲波具有較好的振動屏蔽效果。

圖19 T 型線缺陷（載荷頻率為3.7 kHz 的位移云圖）Fig.19 T-shaped line defects（the displacement nephogram of load frequency of 3.7 kHz）

4 結論

本文提出一種冪指數(shù)棱臺聲子晶體構型，并對其振動彎曲波的調控特性進行了研究，結論如下：

（1）提出的冪指數(shù)棱臺聲子晶體結構具有三個寬頻彎曲波帶隙。其中第二帶隙的帶寬最寬，帶寬可達850 Hz。計算發(fā)現(xiàn)胞元的固有頻率對應帶隙頻段，模態(tài)振型顯示在棱臺的棱面處產生了能量聚集現(xiàn)象。因此，聲子晶體的帶隙是由聚集效應引起的局域共振產生的。

（2）研究發(fā)現(xiàn)隨著聲子晶體高度HA的提升，三個帶隙的帶寬變寬，第一帶隙的起始頻率開始降低，而其他兩個帶隙的起始頻率逐漸提高。冪函數(shù)冪次m的升高會使帶隙的起始頻率降低。邊緣厚度hA增高會弱化聚焦效應，導致帶隙逐漸變窄。在保證板結構強度的前提下可降低邊緣厚度，獲得起始頻率低且?guī)捀鼘挼膸丁?/p>

（3）結合數(shù)值仿真與試驗驗證了聲子晶體的帶隙特性，并發(fā)現(xiàn)聲子晶體可利用聚焦效應與帶隙特性有效抑制板的彎曲振動。利用聲子晶體的帶隙特性與線缺陷實現(xiàn)了振動彎曲波的波導。在聲子晶體板設置直線型、Z 型和T 型線缺陷，可使帶隙頻段內的彎曲波沿著特定路徑傳播，從而形成振動屏蔽區(qū)域。

本文結論可為船體板結構的寬頻減振及振動控制提供參考。