環(huán)形天線結(jié)構(gòu)點頭模態(tài)的T-S 型模糊控制

馬國亮，馬小飛，徐明龍，杜虎兵，蔣麗麗

（1.西安工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西 西安 710021；2.中國空間技術(shù)研究院西安分院，陜西 西安 710100；3.西安交通大學(xué)復(fù)雜服役環(huán)境重大裝備結(jié)構(gòu)強度與壽命全國重點實驗室，陜西 西安 710049；4.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

引言

環(huán)形天線是當(dāng)今空間大口徑衛(wèi)星天線的主流形式，環(huán)形天線的口徑從幾米到上百米，美國諸多電子偵察衛(wèi)星上的天線均采用了這種結(jié)構(gòu)形式，中國也正在研究此類大口徑天線。星載大型環(huán)形天線由于尺寸大和剛度小，呈現(xiàn)明顯的低頻振動特性，且因阻尼小而衰減緩慢，從而影響天線的工作品質(zhì)［1］。在衛(wèi)星地面振動控制試驗時，消除重力的影響尤為重要［2］。因為在衛(wèi)星發(fā)射前的地面試驗中，重力作用使環(huán)形天線結(jié)構(gòu)產(chǎn)生嚴重的靜態(tài)變形，增加力學(xué)試驗的難度，影響振動控制的準(zhǔn)確性［3］。面對無法避免的重力因素，通過繩索懸吊航天器進行動力學(xué)試驗具有結(jié)構(gòu)簡單可靠、附加剛度小的優(yōu)點，若繩索的長度足夠長，恒力穩(wěn)定，可以實現(xiàn)航天器低重力甚至零重力模擬［4］。Fischer 等［5］設(shè)計的可折疊太陽翼展開機構(gòu)采用被動式跟隨方法進行低重力實驗，恒力吊索的長度幾乎不變，懸掛點不存在豎直方向的運動。楊巧龍等［6］為某航天器的太陽能帆板設(shè)計了一種懸吊裝置，在重力卸載后具有運動跟隨功能，完成了帆板的全部展開。對衛(wèi)星環(huán)形天線結(jié)構(gòu)懸吊后的振動特性研究表明，環(huán)形天線結(jié)構(gòu)前兩階固有模態(tài)為“點頭”模態(tài)和“搖頭”模態(tài)。Luo 等［7］開發(fā)了一種單根吊索懸吊裝置，吊起了與天線近似的環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)，實測得到了水平方向的“搖頭”模態(tài)。鄭宜生等［8］提出了一種多點負剛度磁彈簧懸吊裝置，能夠平衡環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)的重力，且在水平方向上，對結(jié)構(gòu)只有很小的附加約束，使懸吊后的“搖頭”頻率接近無重力時的頻率。然而，現(xiàn)有懸吊裝置在振動特性方面還存在一些問題。比如單點懸吊裝置的懸吊繩夠長，但未實現(xiàn)環(huán)形結(jié)構(gòu)豎直方向的“點頭”模態(tài)；三點懸吊裝置實現(xiàn)了雙模態(tài)，但“點頭”模態(tài)受到懸吊裝置的干擾。現(xiàn)有文獻也很少涉及深入研究環(huán)形結(jié)構(gòu)模態(tài)解耦的問題［9］。

在環(huán)形天線結(jié)構(gòu)懸吊后進行振動控制時，應(yīng)用算法對反饋信號進行運算產(chǎn)生控制信號，驅(qū)動作動器完成作動，所以，控制算法是振動控制的核心。常用的控 制算法 有PD（Proportional Differential）控制、模糊控制、LMS（Least Mean Square）自適應(yīng)控制，LQR（Linear Quadratic Regulator）控制、H∞魯棒控制算法等［10-12］。PD 控制包含比例和微分控制環(huán)節(jié)，只有比例控制時，系統(tǒng)輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差，增加微分項，避免了被控量的超調(diào)現(xiàn)象。模糊控制一般采用二維Mamdani 型模糊邏輯規(guī)則庫，包含模糊化與清晰化過程，魯棒性和適應(yīng)性較好。LMS 自適應(yīng)控制即最小均方自適應(yīng)濾波控制，具有與起始條件無關(guān)、計算復(fù)雜度低、均值無偏差收斂到Wiener 解等優(yōu)點，適合建立復(fù)雜振動控制系統(tǒng)。但是對于環(huán)形天線結(jié)構(gòu)，振動模態(tài)復(fù)雜，可能存在非線性，要求控制系統(tǒng)精確、可靠。而T-S 型模糊控制適合將非線性問題轉(zhuǎn)化為分段線性問題，與Mamdani 型控制相比，不需要經(jīng)過復(fù)雜的清晰化過程，直接輸出狀態(tài)量的線性函數(shù)，設(shè)計控制器［13］。T-S 型模糊控制的關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識，建立T-S 型模糊推理。

綜上所述，環(huán)形天線結(jié)構(gòu)頻率低、形變大。當(dāng)懸吊繩的長度有限時，結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)小擺角振動，且結(jié)構(gòu)的模態(tài)解耦，才能進行地面振動主動控制試驗。本文以懸吊后環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的縮比模型為控制對象，以振動參數(shù)建立狀態(tài)空間方程，確定T-S 型模糊控制規(guī)則，并研究T-S 型模糊振動控制的效果。

1 懸吊解耦及模態(tài)分析

由于實物環(huán)形天線的尺寸和質(zhì)量太大，以一個縮比模型進行分析?？s比模型應(yīng)遵循“頻率與振型等效原則”，即固有頻率和振型與實物接近［14］。為了降低裝置的干擾作用，根據(jù)環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的構(gòu)型和前兩階模態(tài)，獨立設(shè)計“點頭”方向懸吊裝置，即環(huán)面?zhèn)确?。在環(huán)面頂部節(jié)點處，繩索懸吊于外部結(jié)構(gòu)，“點頭”模態(tài)的振動方向與重力和懸吊的方向垂直，如圖1 所示為兩根繩索的懸吊裝置。同時，根據(jù)主動控制原理，在柔性伸展臂根部設(shè)置MFC（Macro Fiber Composite）作動器，結(jié)合傳感器和控制器構(gòu)成主動控制系統(tǒng)。

圖1 懸吊及控制示意圖Fig.1 Suspension and control diagram

縮比模型的參數(shù)如表1 所示，環(huán)的質(zhì)量為M2=0.35 kg，伸展臂的質(zhì)量為M1=0.125 kg，節(jié)點處配重質(zhì)量mi=0.070 kg，懸吊繩材質(zhì)為凱夫拉纖維，與其他結(jié)構(gòu)相比，懸吊繩的質(zhì)量可忽略。

表1 縮比模型參數(shù)Tab.1 Scaled model parameters

采用有限元方法分析了縮比模型的固有頻率和模態(tài)。應(yīng)用MSC Patran 建立了包含30 個節(jié)點，8 個集中質(zhì)量單元CONM2 和38 個桿單元CBAR 的三維模型，伸展臂的根部固定，應(yīng)用Lanczos 方法求解振動特性，得到懸吊前后的前兩階固有模態(tài)和頻率如圖2 所示。

圖2 前兩階模態(tài)Fig.2 The first two order modes

第一階模態(tài)為環(huán)面的上下擺動，稱之為“點頭”模態(tài)，第二階模態(tài)為環(huán)面的左右擺動，稱之為“搖頭”模態(tài)，“點頭”模態(tài)和“搖頭”模態(tài)的振動方向垂直，與衛(wèi)星環(huán)形天線的前兩階模態(tài)近似，其他更復(fù)雜的高階模態(tài)暫不考慮。當(dāng)懸吊繩長為0.12 m 時，懸吊前后前兩階固有頻率分別為1.44，1.74 Hz 和1.48，5.18 Hz，由于1.44 Hz≈1.48 Hz，1.74 Hz≠5.18 Hz，因此，環(huán)面?zhèn)认蚍胖梅绞浇鉀Q了“點頭”模態(tài)解耦的問題，“搖頭”模態(tài)不采用環(huán)面?zhèn)认虻姆绞礁谩?/p>

2 T-S 型振動控制分析

環(huán)形天線結(jié)構(gòu)為多自由度系統(tǒng)，應(yīng)用振動主動控制方法，多自由度系統(tǒng)的振動控制方程為：

式中Mn，Kn和Cn分別為質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；xn為節(jié)點位移；Fe為外部激勵力向量；Fa為控制力向量。當(dāng)應(yīng)用模糊控制算法對反饋信號進行模糊邏輯運算得到控制信號S時，控制力為：

式中fa為單位力；Fu表示模糊控制算法；x為反饋信號；ke，kec和ku為模糊控制參數(shù)?？刂菩盘柨梢允请妷夯螂娏?，具體由作動器的類型決定。一般情況下，模糊控制算法采用二維Mamdani 型規(guī)則對信號進行模糊化和清晰化運算，計算復(fù)雜度高，但對于線性控制系統(tǒng)，T-S 型模糊規(guī)則直接輸出線性函數(shù)，極大地降低復(fù)雜度，便于分析和運算。

設(shè)結(jié)構(gòu)低階振動在一定范圍內(nèi)為線性微振動，線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

式中x（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u（t）為輸入量；y（t）為輸出量；e（t）為誤差；A為系統(tǒng)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為直接轉(zhuǎn)移矩陣；K為增益矩陣。

對于縮比模型，當(dāng)x為某測點的振動位移，并作為振動控制系統(tǒng)的反饋，狀態(tài)變量為：

以此建立T-S 模糊控制，輸出函數(shù)f（x1，x2）采用一階T-S 模糊規(guī) 則：ifx1isA1andx2isA2，then（fx1，x2）=px1+qx2+r。其中，A1，A2為位移和速度的范圍，p，q，r為待定系數(shù)，需要大量的輸入-輸出測試數(shù)據(jù)經(jīng)過辨識得到。如果x1和x2的隸屬度為ZR，則得到：

當(dāng)輸入量u（t）為反饋信號輸入控制器時，只要狀態(tài)空間模型的參數(shù)確定，T-S 模糊控制的規(guī)則為狀態(tài)變量x（'t）：

然后，通過矩陣運算得到一階T-S 模糊規(guī)則：

3 模型辨識和振動控制

3.1 系統(tǒng)辨識

根據(jù)上述分析，先建立無控制狀態(tài)的振動測試，對輸入-輸出數(shù)據(jù)進行辨識，得到狀態(tài)空間模型，以此確定T-S 型模糊規(guī)則。圖3 為應(yīng)用有限元分析的模態(tài)數(shù)據(jù)建立的正弦激勵程序，穩(wěn)態(tài)激勵信號為0.03sin（ω1t），作用在環(huán)端部節(jié)點水平方向上，得到測點18 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖3 振動測試Fig.3 Vibration test

測試后提取正弦激勵，得到輸出位移，瞬時速度信號，如圖4 所示。由圖4 可見振動位移和速度的取值范圍 分別為［-0.0068，0.0068］ m，［-0.062，0.062］ m/s。然后，對輸入輸出數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)辨識，分析狀態(tài)空間模型。

圖4 振動響應(yīng)和模型階次Fig.4 Vibration response and model order

在狀態(tài)空間階次選擇中，二階是最優(yōu)辨識結(jié)果，模擬輸出數(shù)據(jù)相似度達到了95.66%，通過結(jié)構(gòu)辨識得到二階狀態(tài)空間方程各個矩陣分別為：

因程序中未引入誤差信號，因此誤差e=0，得到下式：

代入式（8）數(shù)據(jù)后得到式（5）和（7）表示的T-S型模糊規(guī)則分別為：

然后根據(jù)上述T-S 型模糊規(guī)則分別建立模糊控制規(guī)則庫，其中位移和速度的隸屬度ZR 分別為［-0.007，0.007］ m，［ -0.07，0.07］ m/s。在選擇隸屬度函數(shù)曲線時，可以選擇高斯型和三角型，如圖5所示。模糊規(guī)則u對應(yīng)的輸出面為圖5（a）和（b），可見模糊規(guī)則u對應(yīng)的高斯型函數(shù)輸出面為連續(xù)線性曲面，三角型函數(shù)輸出面為分段的曲面，模糊規(guī)則y對應(yīng)的輸出面均為圖5（c）所示線性曲面。

圖5 T-S 模糊控制的規(guī)則Fig.5 T-S rules of fuzzy control

3.2 T-S 模糊控制

根據(jù)振動控制原理，應(yīng)用MATLAB/Simulink對懸吊后的模型進行了控制仿真。仍以有限元模態(tài)分析的結(jié)果構(gòu)造了質(zhì)量、剛度和瑞利阻尼矩陣，根據(jù)狀態(tài)空間方程建立振動控制程序如圖6 框圖所示，穩(wěn)態(tài)激勵信號為0.03sin（ω1t），作用在環(huán)端部節(jié)點水平方向上，非控制模塊Uncontrol 輸出響應(yīng)，測得節(jié)點18 的位移，同時測量模塊Measure 輸出節(jié)點18 的位移，作為反饋信號輸入到模糊控制算法。然后模糊控制算法經(jīng)過運算產(chǎn)生控制信號輸入到Actuator 模塊，即控制模塊將控制信號轉(zhuǎn)換為力信號抑制振動。其中MFC 作動器在節(jié)點處的力和彎矩分別為fa=1V（t）和Ma=0.05V（t），V（t）為電壓。圖7 為三種T-S 模糊規(guī)則建立模糊控制后的位移響應(yīng)抑制結(jié)果。

圖6 振動控制程序Fig.6 Vibration control procedure

圖7 振動控制結(jié)果Fig.7 Vibration control results

圖7 和表2 為模糊控制的結(jié)果和參數(shù)，結(jié)果表明采用模糊規(guī)則u和gaussmf 型隸屬度函數(shù)后，穩(wěn)態(tài)振幅抑制率達到85% 以上，瞬態(tài)振動衰減率60% 以上。例如，控制前的位移為0.67×10-2m，但控制后的位移為0.085×10-2m，振幅抑制率為87.3%，其他模糊控制效果一般。

表2 振動控制結(jié)果Tab.2 Vibration control results

4 結(jié)論

本文通過懸吊解耦得到了環(huán)形天線結(jié)構(gòu)一個縮比模型的“點頭”模態(tài)，并研究了如何確定T-S 模糊控制的規(guī)則，最后進行了T-S 模糊振動控制，主要得到以下結(jié)論：

（1）懸吊解耦可以實現(xiàn)模態(tài)解耦，懸吊前后固有頻率接近，且“點頭”模態(tài)受到的影響較小。

（2）通過系統(tǒng)辨識得到狀態(tài)空間模型，并確定T-S 型模糊控制的規(guī)則，通過仿真模擬，發(fā)現(xiàn)采用gaussmf 型隸屬度函數(shù)可得到連續(xù)線性的輸出面。

（3）建立模糊控制程序，對結(jié)構(gòu)施加不同的激勵，發(fā)現(xiàn)采用模糊規(guī)則u和gaussmf 型隸屬度函數(shù)后，振動抑制效果顯著，為后續(xù)環(huán)形天線實物的試驗驗證提供了技術(shù)支撐。