基于TVFRLS 和SVD-UKF 的鋰離子電池SOC 估算

林正廉,盧玉斌,陳 亮,柯彥舜

(1. 福州大學先進制造學院,福建 泉州 362200; 2. 中國科學院福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所泉州裝備制造研究中心,福建 泉州 362200)

高效的電池管理系統(tǒng)(BMS)通過監(jiān)測電池包狀態(tài),在保障安全工作的前提下,提高電池利用效率并延緩老化[1]。 荷電狀態(tài)(SOC)是BMS 監(jiān)測中的重要狀態(tài)之一,能夠提供電池剩余電量,預測剩余里程數(shù)等信息。 準確地估計電池SOC能保障電動汽車運行安全,延長電池壽命。 SOC 無法進行直接測量,只能通過測量電池外部參數(shù)進行估計,因此,精確的SOC 估計方法成為BMS 研究中的著重點。

目前,電池SOC 估計方法可大致分為3 類:基于電池物理特性的方法、基于電池模型的方法和基于機器學習的方法等[2]。 基于電池物理特性的SOC 估計方法包括安時積分法與開路電壓法,利用SOC 與充放電電流、開路電壓的關(guān)系,對SOC 進行估算[3]。 基于電池模型的SOC 估計方法,通過構(gòu)建模型,模擬電池內(nèi)部動態(tài)特性進行SOC 估計,常用方法有粒子濾波、H-infinity、粒子群優(yōu)化和卡爾曼濾波(KF)算法等,其中,KF 算法通過良好的自校正性能成為在線SOC 估計的首選之一[4]。 基于機器學習的SOC 估計方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯、支持向量機和極限學習機等[5]。 傳統(tǒng)KF 算法僅適用于線性系統(tǒng),因此,有學者提出拓展卡爾曼濾波(EKF)和無跡卡爾曼濾波(UKF)算法[6]。 EKF 算法通過一階泰勒展開,實現(xiàn)系統(tǒng)的線性化,但只能實現(xiàn)一階精度,忽略高次項的影響,影響SOC 的估計精度。 UKF 算法通過構(gòu)建Sigma點,利用無跡轉(zhuǎn)化的方法解決EKF 算法只能實現(xiàn)一階精度的問題。 在復雜工況下,系統(tǒng)的誤差協(xié)方差矩陣常常無法保持正定導致算法崩潰,影響了算法的魯棒性。

針對上述問題,本文作者采用時變遺忘因子遞推最小二乘法(TVFRLS)和奇異值無跡卡爾曼濾波(SVD-UKF)聯(lián)合算法在線估計SOC。 先引入時變遺忘因子,減小由遺忘因子固定導致的辨識精度問題,以提高參數(shù)辨識精度,再采用奇異值分解法(SVD),解決傳統(tǒng)UKF 算法在復雜工況和計算舍入誤差影響下崩潰的問題,以提高魯棒性與精確性。

1 等效電路模型搭建

1.1 二階等效電路模型

綜合考慮模型的復雜度和準確度,選擇二階RC 模型對電池進行建模。 二階RC 等效電路模型如圖1 所示。

圖1 二階RC 等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

圖1 中:Uoc為電池開路電壓;UL為電池端電壓;R0為電池歐姆內(nèi)阻;R1、R2為電池極化電阻;C1、C2為電池極化電容;Ik為電流。

為了使二階RC 電路模型適用于UKF 算法,需要對電池系統(tǒng)模型進行離散化。 選取電池SOC 與兩個RC 網(wǎng)絡(luò)的電壓作為系統(tǒng)狀態(tài)變量、電流Ik作為系統(tǒng)輸入變量,結(jié)合安時積分法將電池系統(tǒng)離散化。

1.2 基于TVFRLS 的在線參數(shù)辨識

在二階RC 等效電路模型中,開路電壓(OCV)與SOC 存在強非線性關(guān)系,通過對OCV 和SOC 擬合,可得到OCV-SOC關(guān)系曲線。 實驗對象為INR18650-30Q 型磷酸鐵鋰鋰離子電池[韓國產(chǎn),額定電壓為3.6 V,充電截止電壓為(4.2±0.5) V,放電終止電壓為2.5 V]。 實驗平臺由MP-80PCT-10-20V100A電池測試設(shè)備(湖南產(chǎn))、可編程式恒溫箱與上位機等組成。

傳統(tǒng)帶遺忘因子遞推最小二乘法(FRLS)是以殘差平方和最小為目標,具體遞推方程為:

式(1)中:e(k)為系統(tǒng)預測誤差;(k)為當前時刻參數(shù)估計值;K(k)為系統(tǒng)增益系數(shù);P(k)為系統(tǒng)協(xié)方差矩陣;φ(k)為系統(tǒng)測量矩陣;y(k-1)、φ(k-1)和(k-1)分別為系統(tǒng)前一時刻系統(tǒng)響應(yīng)、系統(tǒng)測量矩陣和參數(shù)矩陣估計值;λ為遺忘因子。

傳統(tǒng)FRLS 算法對遺忘因子λ的取值一般為0.95 ～1.00,由仿真實驗不斷修改λ,取得一個相對合適的值。 在實際動態(tài)工況下,使用固定的λ很難較好地適應(yīng)電池內(nèi)部復雜的電化學反應(yīng),且通過實驗法選出的λ較難保證為當前工況下的最優(yōu)值。 針對以上問題,本文作者引入一種數(shù)據(jù)開窗理論方法。 通過擴展系統(tǒng)估計誤差的數(shù)據(jù)點個數(shù),對多時刻系統(tǒng)估計誤差求均方差,通過均方差大小實時影響λ的取值,從而提高算法的精確性和穩(wěn)定性。 具體方程為:

式(2)中:M為開窗大小,M=2;H(k)為當前時刻遺忘因子誤差系數(shù);ei為i時刻的系統(tǒng)估計誤差;λmin為遺忘因子在整個辨識過程中的最小值;λmax為遺忘因子在整個辨識過程中的最大值。

通過城市道路循環(huán)(UDDS)測試工況對TVFRLS 算法進行仿真實驗,可辨識出二階RC 等效電路模型的各參數(shù)值,辨識結(jié)果如圖2 所示。 通過分析可以看出,在算法運行初始階段,由于測試數(shù)據(jù)量限制導致辨識結(jié)果波動較大,隨著數(shù)據(jù)量進一步增大,各辨識參數(shù)逐步趨于穩(wěn)定。

圖2 參數(shù)辨識結(jié)果Fig.2 Parameter identification results

2 鋰離子電池SOC 估計

2.1 奇異值分解法(SVD)

使用UKF 算法,對電池進行SOC 估計的過程中,通過無跡變換,避免了求導雅可比矩陣,大幅減小了系統(tǒng)的計算負擔。 對比EKF 算法,UKF 算法在無跡變換過程中保留了高階項,使算法可達到二階精度。

無跡變換的核心是求協(xié)方差矩陣P的平方根;傳統(tǒng)無跡轉(zhuǎn)換由Cholesky 變換對協(xié)方差矩陣P開方。 具體方程為:

式(3)中:L為下三角實數(shù)矩陣。

Cholesky 變換的必要條件是保持矩陣正定,但在實際工況下,協(xié)方差矩陣P易受到外部噪聲干擾與系統(tǒng)硬件計算導致的舍入誤差影響,導致矩陣非正定。 一旦發(fā)生上述情況,則無跡轉(zhuǎn)換無法進行,直接導致算法崩潰。 針對該問題,引入SVD 來保持協(xié)方差矩陣P正定,提高SOC 估計的魯棒性。設(shè)協(xié)方差矩陣為P∈Rm×n(m≥n),R為m×n階半正定對角矩陣,則該矩陣的奇異值分解為:

式(4)中:U∈Rm×n、Λ∈Rm×n、V∈Rm×n;矩陣U的列向量為矩陣P的左奇異向量;矩陣V的列向量為矩陣P的右奇異向量;S=diag(s1,s2,…,sr)為矩陣P奇異值構(gòu)成的對角矩陣,r為矩陣P的秩,且s1,s2,…,sr＞0。

2.2 SVD-UKF

UKF 是無跡轉(zhuǎn)換與卡爾曼濾波系統(tǒng)的組合,傳統(tǒng)UKF算法采用無跡變換代替泰勒級數(shù)展開式,將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng),提高了算法的精度。 本文作者將無跡變換中的Cholesky 分解用SVD 分解代替,得到SVD-UKF 算法,SVDUKF 算法的其余部分與傳統(tǒng)UKF 算法一致。

電池等效電路模型的離散狀態(tài)方程與測量方程為:

式(5)中:yk為系統(tǒng)響應(yīng);f和g為系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)和觀測函數(shù);Ak為系統(tǒng)矩陣;Bk為控制輸入矩陣;Sock為k時刻系統(tǒng)SOC 值;Uoc(Sock)為k時刻開路電壓;U1,k與U2,k為k時刻兩個極化回路的電壓值;xk=[SockU1,kU2,k]T,為系統(tǒng)的觀測變量;wk為系統(tǒng)過程噪聲;vk為系統(tǒng)測量噪聲。wk、vk均為零均值高斯白噪聲,方差分別為Q和R。

具體SVD-UKF 算法估算SOC 流程如下。

式(6)中:E[·]代表均值;x0為初始系統(tǒng)狀態(tài)變量。

②確定加權(quán)系數(shù):

式(7)中:α為比例縮放因子,Sigma 點集的分布狀態(tài)通過α的取值來確定;κ為縮放參數(shù),決定了采樣點的自由度;β為非負權(quán)系數(shù),通過β的取值調(diào)節(jié)高階項的動差;λf為降低總預測誤差的尺度參數(shù);ωm為均值的權(quán)重;ωc為方差的權(quán)重;n為狀態(tài)變量的維度。α、κ、β的取值分別為10-4＜α＜1、κ=n-3、β=2。

③使用SVD 法,分解k-1 時刻系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣Pk-1,根據(jù)分解后的奇異值矩陣生成Sigma 點:

④時間更新,計算向后傳播到k時刻系統(tǒng)狀態(tài)變量均值及誤差協(xié)方差矩陣預測值:

式(10)中:xk|k-1為基于前一時刻變量值的預測狀態(tài)變量;xi,k|k-1為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)變量;為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)變量均值的最優(yōu)估計;Pk|k-1為誤差協(xié)方差矩陣預測值;Qk-1為k-1 時刻系統(tǒng)過程噪聲方差。

式(12)-(13)中:xi,k|k-1與為基于k時刻的觀測變量預測值;分別為k時刻誤差協(xié)方差矩陣的預測值及逆矩陣的預測值;Rk-1為k-1 時刻測量噪聲方差。

⑥計算系統(tǒng)增益K,更新狀態(tài)變量估計值與誤差協(xié)方差矩陣估計值:

通過不斷更新系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值,即可實現(xiàn)SOC 的實時在線估計。

3 仿真實驗設(shè)計與分析

3.1 實驗準備

為了驗證TVFRLS 與SVD-UKF 聯(lián)合算法的估計性能,采用UDDS 工況模擬新能源汽車實際駕駛工況。 通過上位機模擬控制產(chǎn)生UDDS 工況,控制MP-80PCT-10-20V100A 動力電池測試平臺對磷酸鐵鋰鋰離子電池進行充放電(電流為-30～10 A,電壓為2.5～4.2 V)。 測試平臺采集電池模塊電壓,同時測量充放電電流,隨后將測試數(shù)據(jù)存儲,得到UDDS工況下的工作電流與電壓,如圖3 所示。

圖3 UDDS 工況的工作電流和電壓曲線 Fig.3 Working current and voltage curves of urban dynamometer driving schedule(UDDS)

在UDDS 工況下,利用離線參數(shù)識別與TVFRLS 辨識算法分別進行仿真實驗,可得到兩種參數(shù)辨識算法的端電壓誤差。 端電壓誤差如圖4 所示。

圖4 端電壓誤差Fig.4 Terminal voltage error

從圖4 可知,TVFRLS 算法的辨識精度高于離線參數(shù)辨識,且平均電壓誤差為0.011 V。

為了對比聯(lián)合算法與傳統(tǒng)算法的性能,還采用了EKF、UKF 與SVD-UKF 算法進行比較分析。 各算法估計的SOC 結(jié)果及各算法與真實SOC 之間的誤差見圖5。

圖5 SOC 估計結(jié)果及誤差Fig.5 Estimation results and errors of state of charge(SOC)

3.2 實驗結(jié)果分析

從仿真實驗結(jié)果可以看出,在UDDS 工況下,各算法的SOC 估計值變化趨勢基本與真實SOC 值一致。 為了比較4類算法性能之間的優(yōu)劣,引入最大絕對誤差(AEE)、平均絕對誤差(MEA)和均方根誤差(RMSE)作為性能評判指標,4類算法性能指標對比如表1 所示。

表1 SOC 估計性能指標比較Table 1 Comparison of SOC estimated performance indicators

從表1 可知:首先,SVD-UKF 算法相較于傳統(tǒng)EKF 與UKF 算法,AEE 最小,表明對SOC 估計的穩(wěn)定性要優(yōu)于傳統(tǒng)算法;其次,SVD-UKF 算法的MEA 與RMSE 也小于其余兩種傳統(tǒng)算法,表明準確性優(yōu)于傳統(tǒng)算法;最后,聯(lián)合算法在加入了TVFRLS 的前提下,利用SVD-UKF 算法進行在線參數(shù)辨識。 聯(lián)合算法的各項性能指標對比SVD-UKF 算法具有顯著提升;估計精度與動態(tài)自適應(yīng)性也全面優(yōu)于其他傳統(tǒng)算法。與傳統(tǒng)UKF 算法相比,聯(lián)合算法的MEA 與RMSE 分別降低了60.0%和51.9%。

為了驗證聯(lián)合算法具有較高的魯棒性,在SOC 初始值失真且誤差協(xié)方差初始值P0設(shè)置為非正定的情況下,通過UDDS 工況人為設(shè)定不同SOC 初始值進行實驗。 SOC 初始值的設(shè)定分別為0.8、0.6、0.4 和0.2,實驗結(jié)果如圖6 所示。

圖6 不同初始值SOC 估計誤差Fig.6 SOC estimation error of different initial values

從圖6 可知,傳統(tǒng)UKF 算法無法在誤差協(xié)方差矩陣初始值非正定的情況下進行SOC 估計,而通過實驗可以看出,聯(lián)合算法不同SOC 初始值在100 s 內(nèi)均可很好地收斂到真實值附近,說明聯(lián)合算法在初始值設(shè)定產(chǎn)生較大誤差時,具有較強的魯棒性。

4 結(jié)論

準確的SOC 估計是實現(xiàn)BMS 各項功能、保證電動汽車安全運行的基礎(chǔ)。 本文作者以INR18650-Q 鋰離子電池為實驗對象,針對傳統(tǒng)在線辨識方法遺忘因子固定導致等效電路模型精度低影響SOC 估計的問題,提出基于TVFRLS 以提升模型精度進而提高SOC 估計精度。 此外,還針對傳統(tǒng)的UKF 算法在SOC 估計過程中存在誤差協(xié)方差非正定導致算法失效的問題,提出基于奇異值分解無跡卡爾曼濾波算法,以提高SOC 估計的魯棒性。 在此基礎(chǔ)上,將TVFRLS 與SVD-UKF 進行聯(lián)合,在提升了SOC 估計魯棒性的前提下,提高了算法的精確性。 最后,通過UDDS 工況,將聯(lián)合算法與傳統(tǒng)SOC 估計算法進行比較。 通過分析得出以下結(jié)論:

在SOC 估計的過程中,聯(lián)合算法實時更新等效電路模型內(nèi)部參數(shù),降低了動態(tài)工況下由內(nèi)部復雜電化學反應(yīng)導致模型參數(shù)非線性變化引起的測量誤差,提高了估計的精確性。

聯(lián)合算法通過引入奇異值分解,在初始值失真且誤差協(xié)方差矩陣非正定的前提下也具有的較強的魯棒性,從而保證了聯(lián)合算法進行SOC 估計的穩(wěn)定性。

聯(lián)合算法相較于其他傳統(tǒng)算法,通過聯(lián)合TVFRLS 與SOC 估計方法,提高了系統(tǒng)自適應(yīng)性與SOC 估計精度,在實際應(yīng)用過程中具有一定的借鑒價值。

聯(lián)合算法尚未考慮電池在變溫環(huán)境下的情況,后續(xù)算法改進可以由該出發(fā)點進行研究。