一道北大保送題的證法探究、背景分析及推廣

廖獻文

(福建省永春美嶺中學(xué),福建 永定 362618)

勃羅卡點(Brocard point)問題自1875年由勃羅卡提出之后,已經(jīng)有148年之久.在這段歷史中,不斷有人重新發(fā)現(xiàn)并研究它.時至今日,人們圍繞勃羅卡點得到了很多結(jié)論,豐富了這個問題法的研究成果,使其成為三角形幾何學(xué)中的一個亮點.2011年北京大學(xué)保送生數(shù)學(xué)考試試題第2題就是以勃羅卡點為背景來進行命制的.筆者經(jīng)過探究,給出試題的四種證明方法,并將試題進行推廣.

1 試題呈現(xiàn)

2011年北京大學(xué)保送生數(shù)學(xué)考試試題第2題如下:

如圖1所示,已知△ABC中,∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO.求證:△ABC三邊成等比數(shù)列.

圖1 試題題圖

分析本題實際上是當(dāng)點O是(正)勃羅卡點時, 依定義,∠OAB=∠OBC=OCA=θ, 同時又滿足∠OAC=θ, 表明OA又是角A的平分線. 實際上, 就是當(dāng)點O是勃羅卡點時, 又增加了一個條件, 就預(yù)示著△ABC滿足某些條件.

2 勃羅卡點與勃羅卡角的定義

如圖2所示,設(shè)點P是△ABC內(nèi)一點,滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,稱點P為△ABC的正勃羅卡點,角θ為△ABC的勃羅卡角.

圖2 正勃羅卡點(角) 圖3 負勃羅卡點(角)

如圖3所示,設(shè)點P′是△ABC內(nèi)一點,滿足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=θ,稱點P′為△ABC的負勃羅卡點,角θ為△ABC的勃羅卡角[1].

注若三角形給定,則三角形的勃羅卡點是勃羅卡角是存在的.所以,一個三角形有兩個勃羅卡點,分別叫做正勃羅卡點和負勃羅卡點,對應(yīng)的也有兩個勃羅卡角. 可以證明,這兩個勃羅卡角的大小是相等的,而通常情況下,兩個勃羅卡點是不重合的.

3 證法探究

證法1如圖4所示, 設(shè)∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 延長AO交△BOC的外接圓O1于點D.由于∠OBC=∠OCA, 因此AC為外接圓O1的切線,C為切點, 所以∠ODC=∠ACO=θ, 故AC=CD.

在△BCD與△ABC中,

∠BCD=∠BOD=∠OAB+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC,

即∠BCD=∠ABC.

圖4 證法1圖

又因為cos2θ=cosA=-cos(B+C), 所以1+cos(B+C)-cos(B-C)=cos4θ, 展開得1-2sinBsinC=cos4θ, 即2sin22θ=2sinBsinB, 亦即sin2A=sinBsinC.再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

證法3 如圖5所示, 對于任意△ABC, 過點A作BC的平行線AD, 作∠ACD=∠ABC, 連接BD, 在BD上取點O, 使得∠OCA=∠ODA=θ.

因為AD∥BC, 所以∠OBC=∠ODA=θ=∠OCA, 則A,D,C,O四點共圓, 所以∠OAC=∠ODC, 而∠BAC=∠ADC, 所以∠OAB=∠ODA=θ, 點O是△ABC的(正)勃羅卡點.

圖5 證法3圖 圖6 證法3圖

在圖5的基礎(chǔ)上,過D,A作BC(延長線)的垂線, 垂足分別為E,F, 得到圖6,在△BDE,△ABF,△ACF,△DCE中, 易得

=cotB+cotC+cotA,

即cotθ=cotA+cotB+cotC.

?sin2A=sinBsinC.

再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

證法4如圖1所示, 在△AOC中,∠AOC=π-θ-θ=π-2θ.

①

在△BOC中,∠BOC=π-C,

由正弦定理得

②

在△AOC中OA=OC.

結(jié)合式①、式②得

為了確保拋光過程覆蓋的均勻性，Rososhansky等[39]在光柵軌跡規(guī)劃方法當(dāng)中引入柔性拋光頭與工件的彈性接觸變化。文獻[40] 中針對光柵軌跡拋光引入行距適應(yīng)算法，將該方法應(yīng)用于自由曲面加工中，提高了拋光軌跡覆蓋的均勻性。

即AB,BC,CA成等比數(shù)列.

4 試題推廣

實際上, 我們得出下列結(jié)論:

結(jié)論1 已知△ABC中(見圖1),∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 則A=2θ?OA=OC?a2=bc.

我們知道, 一個三角形有兩個勃羅卡點. 在本題中,O是正勃羅卡點, 且滿足條件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ.如圖7所 示, 若引人O′是負勃羅卡點, 即滿足條件∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′. 利用證法 3 中同樣的方法, 對負勃羅卡角θ′, 同樣可得cotθ′=cotA+cotB+cotC, 所以cotθ=cotθ′, 即θ=θ′, 則AO,AO′都是A的內(nèi)角平分線, 即A,O,O′三點共線, 且O′A=O′B.于是得到結(jié)論2.

圖7 正、負勃羅卡點

結(jié)論2已知在△ABC中,O,O′分別是正、負勃羅卡點, 且各自滿足:∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ,∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′.則

(1)θ=θ′;

(2)A=2θ?OA=OC?O′A=O′B?A,O,O′共線.

回顧試題,我們發(fā)現(xiàn)試題實際上給出了三邊成等比數(shù)列的三角形的勃羅卡點的一個性質(zhì), 容易想到的問題是:如果△ABC三邊成等差數(shù)列, 那么相應(yīng)的勃羅卡點有什么特殊性質(zhì)呢?

下面研究三邊成等差數(shù)列的三角形的勃羅卡點問題. 以下問題中, 三邊成等差數(shù)列, 就是指a,b,c成等差數(shù)列.

首先我們給出如下引理:

其中a,b,c是△ABC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊.引理1和引理2的證明參見文獻[2].

結(jié)論3 在△ABC中,α是勃羅卡角,P是正勃羅卡點,Q是負勃羅卡點, 則

結(jié)論4 在△ABC中,α為正勃羅卡角,則

a2,b2,c2成等差數(shù)列?cotA,cotB,cotC成等差數(shù)列?cotα=3cotB.