基于改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的列車(chē)節(jié)能研究*

□ 金璦瑤 □ 李文強(qiáng) □ 武瑞杰 □ 顧富國(guó) □ 毛紳宇 □ 朱 楠

江蘇理工學(xué)院 汽車(chē)與交通工程學(xué)院 江蘇常州 213001

1 研究背景

近年來(lái),我國(guó)城市軌道交通實(shí)現(xiàn)飛速發(fā)展。隨著運(yùn)營(yíng)規(guī)模的擴(kuò)大,城軌交通系統(tǒng)總電耗不斷攀升,其中,牽引能耗占總電耗的比例達(dá)49.8%,因此必須采取節(jié)能運(yùn)行策略來(lái)降低牽引能耗。列車(chē)牽引能耗受線(xiàn)路設(shè)計(jì)影響,與列車(chē)駕駛模式有關(guān)。陳明亮等[1]分析單面坡與多段坡內(nèi)列車(chē)能耗,得出經(jīng)濟(jì)適用的節(jié)能坡設(shè)置參數(shù)。在列車(chē)駕駛模式方面,曹佳峰[2]研究牽引惰行交替節(jié)能模式和四段模式在五種不同坡道的能耗表現(xiàn)。在列車(chē)運(yùn)行速度曲線(xiàn)求解算法方面,已有文獻(xiàn)多采用啟發(fā)式算法,如文獻(xiàn)[3-5]采用改進(jìn)遺傳算法來(lái)獲得列車(chē)的運(yùn)行速度曲線(xiàn)。但是,遺傳算法的生物遺傳概念與列車(chē)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)需要通過(guò)二進(jìn)制對(duì)應(yīng),而且難以避免交叉、變異、選擇等復(fù)雜操作。楊志清等[6]采用改進(jìn)自適應(yīng)粒子群算法獲得列車(chē)最優(yōu)控制方案,但仿真環(huán)境中坡度過(guò)于單一。鮑鵬宇等[7]采用粒子群算法求解列車(chē)分段曲線(xiàn)制動(dòng)點(diǎn),但粒子群算法在某種情況下會(huì)陷入局部最優(yōu)解,出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。

已有文獻(xiàn)很難將需要空間想象力的線(xiàn)路設(shè)計(jì)、列車(chē)駕駛與牽引能耗之間的聯(lián)系展示出來(lái),筆者以列車(chē)牽引能耗、運(yùn)行時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo),建立列車(chē)運(yùn)行節(jié)能模型,采用改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法求解列車(chē)運(yùn)行速度軌跡,并且對(duì)比不同運(yùn)行策略下的節(jié)能效果。

2 列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

以列車(chē)運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn){xi|i=1,2,…,xi∈[0,Send]}為決策變量,Send為站臺(tái)指定停車(chē)位置,以牽引能耗和運(yùn)行時(shí)間誤差最小化為優(yōu)化目標(biāo),建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

minfitE(xi)=E(xi)

(1)

minfitT(xi)=|T(xi)-T0|

(2)

式中:E(xi)為區(qū)間運(yùn)行總能耗;T(xi)為區(qū)間運(yùn)行總時(shí)間;T0為區(qū)間計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間;fitE(xi)為能耗優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);fitT(xi)為時(shí)間誤差優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

2.2 約束條件

(1) 運(yùn)動(dòng)約束。根據(jù)牛頓第二定律,列車(chē)運(yùn)動(dòng)方程為:

F(v)-B(v)-W(s,v)=m(1+γ)a(s)

(3)

式中:F(v)為牽引力;B(v)為制動(dòng)力;W(s,v)為運(yùn)行阻力;a(s)為運(yùn)行距離s處的加速度;m為列車(chē)總質(zhì)量;γ為回轉(zhuǎn)質(zhì)量因數(shù),常取0.06。

以列車(chē)運(yùn)行距離Δs作為迭代步長(zhǎng),列車(chē)在運(yùn)行距離s處的加速度a(s)可由式(3)離散得到。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程,列車(chē)運(yùn)行速度、時(shí)間、位置為:

(4)

t(s+Δs)

(5)

vlimit1(s)≤v(s)≤vlimit2(s)

(6)

v(0)=v(Send)=0

(7)

|Svend=0-Send|≤ψ

(8)

式中:v(s)為運(yùn)行距離s處的運(yùn)行速度;vlimit1(s)為運(yùn)行距離s處的運(yùn)行最低限速;vlimit2(s)為運(yùn)行距離s處的運(yùn)行最高限速;t(s)為運(yùn)行至運(yùn)行距離s處的時(shí)間;Send為指定停止位置;Svend=0為實(shí)際停止位置;ψ為停車(chē)精度要求,城軌列車(chē)停車(chē)精度要求0.3 m為安全停車(chē)。

采用從區(qū)間終點(diǎn)反算迭代的方法求解列車(chē)制動(dòng)曲線(xiàn),以此求得列車(chē)制動(dòng)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn),保證停車(chē)精度滿(mǎn)足要求。

(2) 受力約束。建立列車(chē)的牽引、制動(dòng)、阻力模型,可以包含更多線(xiàn)路平縱斷面的信息,更加貼近實(shí)際情況。

列車(chē)模型中的牽引力、制動(dòng)力、附加力、運(yùn)行阻力為:

F(v)=fF(v)

(9)

B(v)=fB(v)

(10)

wi(s)=ramp

(11)

wr(s)=A/R

(12)

ws(s)=0.000 13ls

(13)

W(s,v)=[w0(v)+wi(s)+wr(s)

+ws(s)]mg

(14)

式中:fF(v)為列車(chē)牽引特性曲線(xiàn);fB(v)為列車(chē)制動(dòng)特性曲線(xiàn);w0(v)為基本阻力;wi(s)為單位坡道附加力;wr(s)為單位曲線(xiàn)附加力;ws(s)為單位隧道阻力;ramp為坡道千分?jǐn)?shù);A為阻力因數(shù),常取600;R為軌道半徑;ls為隧道長(zhǎng)度;g為重力加速度。

(3) 運(yùn)行能耗約束。根據(jù)列車(chē)牽引做功計(jì)算原理,列車(chē)在區(qū)間內(nèi)運(yùn)行能耗E為:

(15)

式中:F為列車(chē)在運(yùn)行距離s處的牽引力。

當(dāng)Δs取0.1 m時(shí),既可以獲得足夠的停車(chē)精度,又可以縮短計(jì)算機(jī)求解時(shí)間,因此設(shè)Δs為0.1 m。

3 算法

3.1 改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)解,而且最優(yōu)解集多樣性差,因此有必要對(duì)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)[8]。

(1) 準(zhǔn)對(duì)立變異粒子。為解決傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法存在的早熟問(wèn)題,將準(zhǔn)對(duì)立學(xué)習(xí)策略引入多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的變異中。準(zhǔn)對(duì)立學(xué)習(xí)策略的基本思想是在原始粒子位置的基礎(chǔ)上,產(chǎn)生一個(gè)準(zhǔn)對(duì)立粒子位置,以此擴(kuò)大種群空間的覆蓋范圍。通過(guò)比較兩個(gè)粒子位置產(chǎn)生的目標(biāo)值,擇優(yōu)選擇新的粒子位置。通過(guò)輪盤(pán)賭法選擇是否接受較差的粒子解,幫助算法跳出局部最優(yōu)。

(16)

(17)

(2) 慣性權(quán)重優(yōu)化。慣性權(quán)重w是多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法中的重要參數(shù)。在傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法中,慣性權(quán)重隨迭代次數(shù)增加而線(xiàn)性遞減。筆者通過(guò)比較當(dāng)前粒子的目標(biāo)值與種群的平均目標(biāo)值,動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重w:

(18)

式中:we為粒子e的慣性權(quán)重;wmax為慣性權(quán)重最大值;wmin為慣性權(quán)重最小值;wmid為慣性權(quán)重中間值;fite,j為粒子e的第j個(gè)目標(biāo)值;meanfitj為種群中所有粒子第j個(gè)目標(biāo)值的平均值。

采用以上方法優(yōu)化慣性權(quán)重,可以?xún)?yōu)化粒子飛行方向及飛行距離,提高算法的收斂性。

改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法具體步驟如下。

第1步,初始化算法參數(shù),包括最大迭代次數(shù)、種群規(guī)模N、最優(yōu)解集規(guī)模M、學(xué)習(xí)因子c1和c2,慣性權(quán)重最大值wmax、慣性權(quán)重最小值wmin、慣性權(quán)重中間值wmid。

第2步,初始化粒子e位置Xe,即工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)xi,初始化粒子速度Ve,即工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)xi改變量,計(jì)算粒子個(gè)體歷史最優(yōu)位置pbest,e。

第3步,根據(jù)粒子位置,計(jì)算優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值,將非支配解存入最優(yōu)解集,并在最優(yōu)解集中構(gòu)建自適應(yīng)網(wǎng)格計(jì)算粒子密度,選擇密度較小的粒子作為種群最優(yōu)解gbest。

第4步,更新種群中粒子位置和粒子速度,Ve更新為weVe+c1r1(pbest,e-Xe)+c2r2(gbest-Xe),Xe更新為Xe+Ve。

第5步,計(jì)算粒子更新后的優(yōu)化目標(biāo)值,以及準(zhǔn)對(duì)立變異粒子的優(yōu)化目標(biāo)值,根據(jù)帕累托支配關(guān)系更新粒子個(gè)體最優(yōu)位置pbest,e。

第6步,對(duì)最優(yōu)解集進(jìn)行更新,同時(shí)截?cái)嘧顑?yōu)解集,保留M個(gè)最優(yōu)解。

第7步,判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù),是則結(jié)束算法,否則跳轉(zhuǎn)到第3步。

(3) 最優(yōu)解選擇。使用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題所得到的最優(yōu)解集是一組解,采用模糊隸屬度函數(shù)對(duì)每個(gè)解的目標(biāo)值對(duì)應(yīng)的隸屬度進(jìn)行評(píng)價(jià),從而篩選出最優(yōu)解。模糊隸屬度函數(shù)um為:

um=

(19)

式中:fitem為粒子e第m個(gè)目標(biāo)的函數(shù)值;maxfitm為外部檔案中第m個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的最大函數(shù)值;minfitm為外部檔案中第m個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的最小函數(shù)值。

(20)

用式(20)求解得到最優(yōu)解集中每個(gè)粒子的滿(mǎn)意度值,滿(mǎn)意度值最大的粒子對(duì)應(yīng)的解即為算法的最優(yōu)解。

3.2 性能指標(biāo)

收斂性和多樣性是多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法中的兩個(gè)重要性能指標(biāo),為了驗(yàn)證算法的優(yōu)越性,將傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法、文獻(xiàn)[8]自適應(yīng)網(wǎng)格多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法與改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比。算法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。

表1 算法參數(shù)設(shè)置

選用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法性能測(cè)試中常用的ZDT1測(cè)試函數(shù),算法最大迭代次數(shù)設(shè)為100,重復(fù)獨(dú)立運(yùn)行三種不同的算法30次,并求出算法的收斂性指標(biāo)、多樣性指標(biāo)的均值和方差。收斂性指標(biāo)越小,代表算法收斂性越好。多樣性指標(biāo)越小,代表算法多樣性越好。

算法測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表2。改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法在收斂性指標(biāo)上具有較小的均值,代表算法具有更好的收斂性;在多樣性指標(biāo)上具有較小的均值和方差,代表算法的多樣性較好。

4 實(shí)際線(xiàn)路仿真

4.1 列車(chē)及線(xiàn)路參數(shù)

選取廣州地鐵8號(hào)線(xiàn)中大—曉港區(qū)間進(jìn)行仿真試驗(yàn),由此驗(yàn)證改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法及列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能優(yōu)化模型的有效性。運(yùn)行列車(chē)為A型列車(chē),參數(shù)見(jiàn)表3。線(xiàn)路縱斷面、曲線(xiàn)數(shù)據(jù)如圖1所示[9]。結(jié)合約束計(jì)算式,即可計(jì)算出模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

圖1 線(xiàn)路數(shù)據(jù)

表3 A型列車(chē)參數(shù)

4.2 仿真結(jié)果

列車(chē)常采用牽引(T)、巡航(H)、惰行(C)、制動(dòng)(B)四種運(yùn)行工況相互組合,以保證準(zhǔn)時(shí)、安全停靠站臺(tái)。列車(chē)常用運(yùn)行策略為傳統(tǒng)四段模式,即按照T、H、C、B工況組合順序運(yùn)行。將中大—曉港區(qū)間限定運(yùn)行時(shí)間設(shè)為100 s,改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法迭代次數(shù)設(shè)為20,種群規(guī)模設(shè)為100,最優(yōu)解集設(shè)為50,求解THCB、TCHCB、TCTCB三種運(yùn)行策略的最優(yōu)解。算法結(jié)果見(jiàn)表4,三種運(yùn)行策略的最優(yōu)速度曲線(xiàn)如圖2所示。

圖2 不同運(yùn)行策略最優(yōu)速度曲線(xiàn)

表4 仿真算法結(jié)果

在運(yùn)行時(shí)間方面,三種運(yùn)行策略均可以滿(mǎn)足列車(chē)運(yùn)行時(shí)間誤差要求,進(jìn)一步證明了改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法求解列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能優(yōu)化模型的有效性。在運(yùn)行能耗方面,TCHCB運(yùn)行策略比THCB運(yùn)行策略增加惰行工況,列車(chē)的運(yùn)行能耗從8.96 kW·h減少至8.31 kW·h,降幅為7.25%。同時(shí),TCTCB運(yùn)行策略也比THCB運(yùn)行策略節(jié)能4.4%,說(shuō)明在列車(chē)運(yùn)行期間適當(dāng)增加惰行的次數(shù),可以減少列車(chē)的運(yùn)行能耗。TCTCB運(yùn)行策略與TCHCB運(yùn)行策略相比,列車(chē)的運(yùn)行能耗從8.31 kW·h增加至8.57 kW·h,增幅為3.1%。結(jié)合圖2可以發(fā)現(xiàn),TCTCB運(yùn)行策略擁有更長(zhǎng)的牽引距離和更高的最大牽引速度,由此才能抵消惰行工況帶來(lái)的速度衰減,在規(guī)定運(yùn)行時(shí)間范圍內(nèi)到達(dá)指定車(chē)站。

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于城市軌道交通中列車(chē)節(jié)能方法的問(wèn)題,建立列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能優(yōu)化模型,采用改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法求解不同運(yùn)行策略下的列車(chē)運(yùn)行速度曲線(xiàn),并得出結(jié)論。

針對(duì)傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)解等問(wèn)題,對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)。采用準(zhǔn)對(duì)立學(xué)習(xí)策略對(duì)粒子進(jìn)行變異優(yōu)化,采用當(dāng)前粒子的目標(biāo)值與種群的平均目標(biāo)值動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重。

通過(guò)ZDT1測(cè)試函數(shù)檢驗(yàn)算法性能,結(jié)果顯示,相比傳統(tǒng)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法,改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法擁有更好的收斂性和多樣性。

采用改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法求解列車(chē)區(qū)間運(yùn)行節(jié)能優(yōu)化模型,建立滿(mǎn)意度評(píng)價(jià)方法獲得最優(yōu)運(yùn)行曲線(xiàn)。采用實(shí)際線(xiàn)路數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真,對(duì)比不同運(yùn)行策略的節(jié)能效果。結(jié)果顯示,在傳統(tǒng)四段運(yùn)行策略中增加惰行工況,變?yōu)門(mén)CHCB運(yùn)行策略,可以明顯減少運(yùn)行能耗,節(jié)能率為7.25%。當(dāng)然,另一種TCTCB運(yùn)行策略需要更長(zhǎng)的牽引距離,才能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)車(chē)站,節(jié)能率為4.4%。