擾動可變雙切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制研究

穆倩倩,余麗靜*,李 斌

(1.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,貴州 貴陽 550018;2.中國鐵塔股份有限公司貴州省分公司,貴州 貴陽 550081)

0 引言

切換系統(tǒng)作為一類典型的混雜系統(tǒng),根據(jù)其切換機(jī)制的不同,通?？梢苑譃榇_定性切換系統(tǒng)和隨機(jī)性切換系統(tǒng)。確定性切換系統(tǒng)可以通過設(shè)計切換規(guī)則使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),目前的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。針對時變切換系統(tǒng),通過引入公共不定差分Lyapunov函數(shù)和多個不定差分Lyapunov函數(shù),分別給出了時變離散切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的保守性較小的充分條件[1]。Yuqian 通過推導(dǎo)協(xié)方差矩陣列疊加形式的動力學(xué)特性方程,得到了離散時間線性切換系統(tǒng)在建模隨機(jī)切換下均方穩(wěn)定的充要條件[2]。王眷衛(wèi)設(shè)計了一種應(yīng)用于核電廠BUP控制模式的切換方案,用于控制不同模式下的切換與性能分析[3]。隨機(jī)切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)服從隨機(jī)過程分布,通常用馬爾可夫跳變過程來描述。關(guān)于隨機(jī)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題已有很多成果。例如,馬爾可夫跳躍系統(tǒng)中的隨機(jī)穩(wěn)定[4-6],幾乎處處穩(wěn)定[7],全局指數(shù)穩(wěn)定均已被研究。針對該類問題應(yīng)多利用隨機(jī)過程理論結(jié)合概率分布等分析方法研究系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展,單一切換機(jī)制的系統(tǒng)已很難滿足復(fù)雜系統(tǒng)的建模。例如在具有多個控制回路的系統(tǒng)中,各子回路由一個確定性指令對其控制,而在不同回路中可能存在差異化的隨機(jī)故障、時延及丟包等問題。因此,部分學(xué)者提出了雙切換系統(tǒng)模型用于該類復(fù)雜系統(tǒng)的建模。雙切換系統(tǒng)同時包含了上述兩類切換子系統(tǒng),即確定性切換子系統(tǒng)和隨機(jī)切換子系統(tǒng),因此又被稱為兩層切換系統(tǒng)。其中,確定性子系統(tǒng)之間的運行由確定性切換信號控制。而隨機(jī)切換子系統(tǒng)之間的切換是隨機(jī)的,不受隨機(jī)信號控制。因馬爾可夫過程具有無后效性,現(xiàn)實世界中可以用來描述很多隨機(jī)過程,所以在雙切換系統(tǒng)的研究中常采用馬爾可夫過程描述隨機(jī)切換子系統(tǒng)。近年來,雙切換模型正逐漸應(yīng)用于疫情傳染模型、多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、容錯系統(tǒng)、具有儲能單元的風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)等[8-9]領(lǐng)域。

雙切換系統(tǒng)依據(jù)隨機(jī)切換子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率是否變化,又可以分為固定雙切換和可變雙切換。若由不同馬爾可夫鏈描述的隨機(jī)子系統(tǒng)其狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率是不變的,則稱為固定雙切換;相反的,當(dāng)不同隨機(jī)子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移是可變的,那么則稱為可變雙切換。雖然雙切換系統(tǒng)模型在實際應(yīng)用中具有適應(yīng)性,但針對此類系統(tǒng)的研究較少。穩(wěn)定性分析作為切換系統(tǒng)研究的關(guān)鍵問題,吸引了學(xué)者們的關(guān)注。丁文淞針對一類具有指數(shù)不確定性的雙切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定,通過設(shè)計確定性切換律和狀態(tài)反饋控制器,研究其魯棒鎮(zhèn)定問題[10]。Song研究了切換馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),利用駐留時間分析雙切換線性系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性[11]。席敏針對具有指數(shù)不確定性的離散時間雙切換線性正系統(tǒng),通過構(gòu)建Co-positive Lyapunov能量衰減函數(shù),給出了在持續(xù)駐留時間約束下的魯棒指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的充分條件[12]。

綜上所述,文獻(xiàn)[10]研究了魯棒幾乎處處漸近穩(wěn)定,由于系統(tǒng)包含有指數(shù)不確定性,因此系統(tǒng)利用了狀態(tài)觀測器,并且對達(dá)到穩(wěn)定的約束條件要求更高。文獻(xiàn)[11]針對固定和可變雙切換進(jìn)行了研究,研究任意切換信號下的指數(shù)穩(wěn)定性,保守性更高。文獻(xiàn)[12]研究的是特殊的線性雙切換正系統(tǒng),要求初始條件和輸入為非負(fù)值,適用范圍將受到影響。因此,不同于以往的研究,本文創(chuàng)新性地考慮了一類具有擾動的可變雙切換線性系統(tǒng)。由于在雙切換系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移速率是可變的,這導(dǎo)致了馬爾可夫模態(tài)遍歷性不再有效,這給系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析帶來了挑戰(zhàn)。同時,隨著現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)的日漸復(fù)雜,對于系統(tǒng)的控制精度要求越來越高。而在實際系統(tǒng)中,擾動是必不可少的,嚴(yán)重的情況將直接導(dǎo)致系統(tǒng)的發(fā)散和振蕩,因此對于擾動雙切換系統(tǒng)的研究是非常必要和有價值的。

本文針對一類具有擾動的可變雙切換線性系統(tǒng),通過選取合理的隨機(jī)多李雅普諾夫函數(shù)作為能量函數(shù),基于期望能量最小原則來設(shè)計確定性切換信號,并且給出了系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的充分條件。從而保證在切換信號控制下,即使同時存在擾動和不穩(wěn)定子系統(tǒng),雙切換系統(tǒng)仍然能夠達(dá)到穩(wěn)定。

1 預(yù)備知識

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有擾動的雙切換線性系統(tǒng):

(1)

注1 根據(jù)子系統(tǒng)切換機(jī)制不同,將切換序列分為確定切換序列(t部分)和隨機(jī)切換序列(τ部分)。研究中,均假定兩部分的長度是有限的,即切換時間間隔是有限的,以保證整個切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該假設(shè)亦符合實際應(yīng)用系統(tǒng)情況。

1.2 馬爾可夫過程相關(guān)性質(zhì)

假定確定性切換信號γ(t)是良定的,馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率定義為:

(2)

1.3 主要定義

在本文中,我們研究了具有擾動的可變雙切換線性連續(xù)系統(tǒng)(1)的幾乎處處全局漸近穩(wěn)定。為此,幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的定義如下:

定義1.2 如果以下兩個條件滿足的話,則系統(tǒng)是幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的:

Sp1)對于任意的ε>0,存在δ(ε)>0,當(dāng)x0<δ(ε)時,P{supt≥0x(t)<ε}=1;

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將利用概率分析方法和強大數(shù)定律,基于期望能量最小原則設(shè)計切換信號,研究帶有擾動的可變雙切換線性連續(xù)時間系統(tǒng)(1)中的幾乎處處全局漸近穩(wěn)定性,并給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

那么,在如下確定性切換策略控制下,可變雙切換線性連續(xù)時間系統(tǒng)(1)是幾乎處處全局漸近穩(wěn)定的。

(3)

接下來,對于上式(3),利用鄧金公式(Dynkin＇s formula)聯(lián)合定理2.1中的(H3)切換規(guī)則,可以得出下式:

將上述結(jié)論應(yīng)用到整個系統(tǒng)運行時間段內(nèi)t∈[0,t),

(4)

(5)

注2 由不同馬爾可夫鏈描述的確定子系統(tǒng)在切換時是不連續(xù)的,因為不同子系統(tǒng)模式之間的切換由不同的馬爾可夫鏈控制,這導(dǎo)致了馬爾可夫鏈遍歷性失效的問題。因此,需要對馬爾可夫鏈進(jìn)行瞬態(tài)分析。在幾乎處處全局漸近指定穩(wěn)定性條件SP1的證明過程中,應(yīng)用瞬態(tài)分析很好地解決遍歷性失效問題。

(t))]最小的確定子系統(tǒng)切入,很好地解決了這個問題。

3 應(yīng)用仿真

多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是由多個回路控制器組成,每個控制器控制一個或者多個被控制對象。在現(xiàn)代工業(yè)應(yīng)用中,多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工業(yè)系統(tǒng)、多目標(biāo)追蹤系統(tǒng)、飛行控制等多個領(lǐng)域。當(dāng)前在多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中通過調(diào)度來保證子回路之間的協(xié)調(diào),以完成復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)應(yīng)用。調(diào)度是指決定啟動或終止每個回路控制器以及分配他們優(yōu)先級。調(diào)度策略是否合理將直接對系統(tǒng)的響應(yīng)速度,可靠性以及魯棒性造成影響。調(diào)度問題是多回路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)控制問題的關(guān)鍵問題之一。

針對多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),依據(jù)其運行機(jī)制,建模方法也大不相同。針對有數(shù)據(jù)包位移的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型,可將其建模為多通道數(shù)據(jù)包無序MIMO系統(tǒng)。針對具有噪聲,傳輸時滯以及系統(tǒng)中存在不確定性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),建模為具有故障恢復(fù)的MIMO離散時間系統(tǒng)。本節(jié)中將針對具有擾動和丟包的多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為擾動可變雙切換模型,多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)中的調(diào)度便由所研究的雙切換系統(tǒng)中的確定性切換信號來進(jìn)行控制。首先,控制器生成的控制信號由確定性切換信號來切入到傳輸網(wǎng)絡(luò)中,完成控制信號和網(wǎng)絡(luò)回路的調(diào)度。若γ(t)=1,則將控制信號傳入第一個網(wǎng)絡(luò)回路中用于控制第一個被控對象。

圖1 多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

而在傳輸網(wǎng)絡(luò)中,由于受到擾動及其他因素的影響,存在隨機(jī)的數(shù)據(jù)包丟失的情況,將其描述為馬爾可夫過程,定義隨機(jī)丟包過程具有如下的兩個模態(tài):

定義雙切換線性連續(xù)時間系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)分別如下:

通過定理2.1中給出的條件(H2),利用LMI工具箱可以求解矩陣P如下:

定義系統(tǒng)狀態(tài)初始值為x0=[2,-1],時間t∈[0,5],并且每隔0.05進(jìn)行采樣。依據(jù)定理2.1(H3)設(shè)計的切換規(guī)則,計算每個子系統(tǒng)的李雅普諾夫能量函數(shù),保證期望能量最小的被控回路始終被調(diào)度,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的穩(wěn)定性。所設(shè)計確定子系統(tǒng)切換路徑如圖2所示,兩個被控對象被有序調(diào)度。在切換路徑的控制下,系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂達(dá)到穩(wěn)定。

圖2 確定子系統(tǒng)切換路徑

雙切換系統(tǒng)包含了馬爾可夫隨機(jī)子系統(tǒng),為了消除其隨機(jī)性對仿真結(jié)果帶來的干擾,實驗過程中采用了5次運行結(jié)果,觀察系統(tǒng)狀態(tài)軌跡lnx(t)如圖3所示。由圖可以看出,在多次實驗仿真下,系統(tǒng)狀態(tài)軌跡lnx(t)在100個采樣點后均為負(fù)值并且一直衰減,即系統(tǒng)狀態(tài)能夠在5秒內(nèi)趨于0且具有較好的收斂速度,表明方案對于系統(tǒng)的可控性好。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

本文研究一類具有擾動的可變雙切換線性系統(tǒng),利用概率分析方法和隨機(jī)多李雅普諾夫函數(shù)方法,基于馬爾可夫暫態(tài)分析來解決系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)移速率可變問題,然后通過期望能量最小方法設(shè)計切換信號,保證在所設(shè)計的切換信號下,系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處全局漸近穩(wěn)定,并給出了穩(wěn)定的充分條件。最后將該模型應(yīng)用于多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中并給出了仿真算例,實驗結(jié)果表明所設(shè)計方案能滿足系統(tǒng)的調(diào)度需求,使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),所設(shè)計方案是合理有效的。下一步研究課題可嘗試將此研究成果推廣到可變雙切換非線性系統(tǒng)。