指數(shù)衰減正弦信號(hào)參數(shù)的估計(jì)與提取

王 震 文新宇 楊黎明

1 北京起重運(yùn)輸機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司 北京 100007 2 太原科技大學(xué) 太原 030024

3 北京市自動(dòng)化物流裝備工程技術(shù)研究中心 北京 100007 4 機(jī)械工業(yè)物料搬運(yùn)工程技術(shù)研究中心 北京 100007

0 引言

指數(shù)衰減正弦信號(hào)是一項(xiàng)在眾多領(lǐng)域具有廣泛關(guān)注的研究課題。在通信系統(tǒng)中，指數(shù)衰減正弦信號(hào)可用于頻率調(diào)制、信號(hào)傳輸和解調(diào)等，在調(diào)頻廣播中使用的信號(hào)由指數(shù)衰減正弦函數(shù)進(jìn)行頻率調(diào)制得到。彭冠英等[1]以指數(shù)衰減正弦函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)對(duì)巖石聲發(fā)射信號(hào)進(jìn)行小波分析，指數(shù)衰減正弦信號(hào)在語(yǔ)音處理領(lǐng)域可用于語(yǔ)音合成、音頻信號(hào)分析和音頻修復(fù)與增強(qiáng)，在控制系統(tǒng)中常作為干擾影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和性能，在信號(hào)處理領(lǐng)域常用于濾波和頻譜分析，其衰減特性可幫助濾除噪聲和雜散信號(hào)，并提取感興趣的頻譜成分；田仁飛等[2]利用倒譜法檢測(cè)指數(shù)衰減正弦信號(hào)的參數(shù)，圖像處理研究系統(tǒng)中指數(shù)衰減正弦信號(hào)可生成特定的圖像模式、紋理合成和圖像增強(qiáng)等；高曉峰等[3]對(duì)指數(shù)衰減正弦進(jìn)行線(xiàn)性預(yù)測(cè)，提高了光譜分辨率，在激光器系統(tǒng)中，常用指數(shù)衰減正弦信號(hào)幫助實(shí)現(xiàn)精確的激光脈沖寬度控制和頻率調(diào)制，用于激光器驅(qū)動(dòng)、光纖通信和激光加工等應(yīng)用；在測(cè)試和測(cè)量領(lǐng)域，指數(shù)衰減正弦信號(hào)可用于校準(zhǔn)儀器以及測(cè)試和評(píng)估系統(tǒng)的響應(yīng)特性等性能；通過(guò)發(fā)送已知特性的信號(hào)，并與實(shí)際測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的測(cè)試和測(cè)量；在電力電子中，指數(shù)衰減正弦信號(hào)可用于電路模擬、系統(tǒng)辨識(shí)和噪聲分析等；通過(guò)模擬或生成帶有指數(shù)衰減特性的信號(hào)，能更好地理解和研究電子系統(tǒng)的行為和性能。

在機(jī)械振動(dòng)領(lǐng)域，指數(shù)衰減正弦信號(hào)也是一個(gè)重要的研究對(duì)象。機(jī)械振動(dòng)是指研究對(duì)象在受到外部激勵(lì)或自身激勵(lì)下形成的周期性運(yùn)動(dòng)；指數(shù)衰減正弦信號(hào)常用來(lái)描述振動(dòng)信號(hào)的衰減特性，具有在振幅、頻率和相位上隨時(shí)間指數(shù)衰減的特點(diǎn)。

1 指數(shù)衰減正弦信號(hào)在機(jī)械振動(dòng)領(lǐng)域研究涉及內(nèi)容

1）振動(dòng)信號(hào)分析 含阻尼振動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)其振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)往往是指數(shù)衰減正弦信號(hào)，通過(guò)對(duì)指數(shù)衰減正弦振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析、包絡(luò)分析而獲取有關(guān)振動(dòng)信號(hào)的頻率、振幅、衰減速度等參數(shù)信息，以此對(duì)分析機(jī)械設(shè)備故障及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等具有重要意義。

2）振動(dòng)信號(hào)檢測(cè)與識(shí)別 借助指數(shù)衰減正弦信號(hào)的衰減特性進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的檢測(cè)與識(shí)別。在機(jī)械故障診斷中，當(dāng)機(jī)械系統(tǒng)受到損傷或故障時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)信號(hào)，這些信號(hào)可能帶有指數(shù)衰減的特征，通過(guò)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以判斷故障的類(lèi)型和程度。

3）振動(dòng)信號(hào)預(yù)測(cè)與控制 對(duì)指數(shù)衰減正弦信號(hào)的研究還可用于振動(dòng)信號(hào)的預(yù)測(cè)與控制。振動(dòng)信號(hào)的預(yù)測(cè)可以幫助工程師預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)的性能、壽命以及可能出現(xiàn)的故障情況，以便采取相應(yīng)的維修和保養(yǎng)措施。振動(dòng)信號(hào)的控制可通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)降低振動(dòng)的幅值和頻率，提高機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運(yùn)行效果。

4）振動(dòng)信號(hào)降噪與增強(qiáng) 在實(shí)際應(yīng)用中，振動(dòng)信號(hào)受到噪聲的干擾，會(huì)降低信號(hào)的質(zhì)量和可靠性。指數(shù)衰減正弦信號(hào)的研究可用于振動(dòng)信號(hào)的降噪和增強(qiáng)，提高信號(hào)的清晰度和準(zhǔn)確性，對(duì)機(jī)械故障檢測(cè)和信號(hào)處理具有重要意義。李慶民等[4]介紹了利用指數(shù)衰減正弦信號(hào)描述高壓開(kāi)關(guān)設(shè)備振動(dòng)信息的方式，并給出基于指數(shù)衰減正弦的建模方案。

現(xiàn)有的指數(shù)衰減正弦信號(hào)的估計(jì)算法有傅里葉變換獲得廣泛的應(yīng)用，但存在頻譜泄露[5]。王鴻等[6]對(duì)一些基于快速傅里葉變換的指數(shù)衰減正弦參數(shù)估算方案進(jìn)行了比較，這些算法又再對(duì)快速傅里葉變換算法進(jìn)行了缺陷彌補(bǔ)；Umesh S 等[7]提出的極大似然法雖然在高斯噪聲下效果優(yōu)異，但運(yùn)算量較大；蘇志剛等[8]介紹了基于線(xiàn)性預(yù)測(cè)、線(xiàn)性系統(tǒng)辨識(shí)、奇異值分解以及迭代估計(jì)算法，并提出一種極大似然法結(jié)構(gòu)相似的EXPO 算法，且其參數(shù)估計(jì)效果比極大似然算法優(yōu)異；Prony 方法對(duì)噪聲比較敏感[9]；自適應(yīng)算法存在的問(wèn)題是收斂速度慢[10-12]；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通常用到相當(dāng)多的樣本對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整[13]；韓鴻哲[14]提出了一種在信噪比較低的環(huán)境中效果良好的遺傳算法；董拯等[15]將最小二乘法與遺傳算法結(jié)合，提高了算法運(yùn)行效率和參數(shù)估計(jì)的精準(zhǔn)度；于曉輝等[16]提出了一種基于狀態(tài)空間模型用于估計(jì)多頻輸入的參數(shù)；一些其他如二階廣義積分器(Second-Order General Integrator，SOGI)算法[17]也被用于指數(shù)衰減正弦的參數(shù)估計(jì)。

堆垛機(jī)是一種用于自動(dòng)存儲(chǔ)和檢索存儲(chǔ)的設(shè)備，其在工作過(guò)程中需要作提升、水平移動(dòng)等運(yùn)動(dòng)。為了保證運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平滑性和穩(wěn)定性，可用指數(shù)衰減正弦信號(hào)作為速度和加速度的參考信號(hào)，通過(guò)精確控制運(yùn)動(dòng)的相關(guān)量，從而保證堆垛機(jī)的平滑運(yùn)動(dòng)，避免沖擊和震蕩，提高工作效率。堆垛機(jī)在堆垛和存儲(chǔ)過(guò)程中需要準(zhǔn)確定位貨物，其在高速運(yùn)動(dòng)或受到外界干擾時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和抖動(dòng)，這種不良振動(dòng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減正弦信號(hào)，通過(guò)抑制堆垛機(jī)殘余振動(dòng)，可減小振動(dòng)和抖動(dòng)的影響，提高工作的穩(wěn)定性和精確性。對(duì)指數(shù)衰減正弦信號(hào)的分析與提取可用于故障檢測(cè)和診斷，判斷堆垛機(jī)是否存在故障或異常情況，有助于及時(shí)發(fā)現(xiàn)和處理問(wèn)題，確保設(shè)備的平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)。因此，對(duì)指數(shù)衰減正弦信號(hào)進(jìn)行分析、檢測(cè)、識(shí)別、預(yù)測(cè)和控制機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)行為，使堆垛機(jī)系統(tǒng)的安全性、快速性和可靠性得到保障。

本文首先將堆垛機(jī)殘余振動(dòng)描述為多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的疊加，然后分別介紹了利用輔助濾波器重構(gòu)單頻、多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的方法，并從多頻衰減正弦信號(hào)解耦單頻衰減正弦信號(hào)的方法，最后提出一種擴(kuò)展觀測(cè)器用于頻率與衰減因子的估計(jì)。

2 問(wèn)題描述

堆垛機(jī)是多自由度的含阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，可以簡(jiǎn)化為歐拉-伯努利梁，其表達(dá)式為

式中：q（x）為外部負(fù)載，EI為彎曲剛度是一個(gè)常數(shù)，?為偏轉(zhuǎn)位移。

自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)可被描述為多頻阻尼正弦振蕩信號(hào)進(jìn)行了累加[18，19]，即

由此可知，特征多項(xiàng)式的系數(shù)為頻率和衰減因子相關(guān)的線(xiàn)性函數(shù)，通過(guò)估計(jì)系數(shù)便可獲得指數(shù)衰減正弦信號(hào)的頻率與衰減因子。由式(2)所述輸入信號(hào)中提取固有頻率分量的指數(shù)衰減正弦信號(hào)是本文的目的。

1）定理1

假設(shè)存在的映射，即

其中，變量ξ（t）∈R2m×1，Hurwitz 矩陣G0∈R2m×2m，L0∈R2m×1，α為標(biāo)量，可得（G0，L0）可控。

指數(shù)衰減正弦d0（t）可重構(gòu)為

指數(shù)衰減矢量δ0（t）∈R2m×1滿(mǎn)足

2）證明

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，依據(jù)式(7)可將指數(shù)衰減正弦信號(hào)等價(jià)為式(9)，向量θ0T ∈R1×2m。未知向量δ0（t）滿(mǎn)足式(10)，結(jié)合式(7)、式(8)可得

由此可知，式(10)為一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)，其中變量δ0∈R2m×1為指數(shù)衰減矢量。由式(9)可知，利用輔助變量ξ0（t）與常矢量θ0T 可重構(gòu)指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t），故重構(gòu)后的指數(shù)衰減正弦信號(hào)將收斂到與d0（t）同頻的信號(hào)。比對(duì)式(11)矩陣W0與式(4)的特征多項(xiàng)式可得

由式（13）得到θ0T，到此證明完成。由定理1 構(gòu)造一個(gè)輔助濾波器，將單頻的指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t）通過(guò)輔助濾波器獲得輔助變量ξ0（t）。根據(jù)式(9)輔助變量ξ0（t）是與指數(shù)衰減正弦信號(hào)相關(guān)的線(xiàn)性函數(shù)，可將指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t）重構(gòu)。

3）推論1

對(duì)式(14)所述進(jìn)行映射，即

多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d（t）可重構(gòu)為

指數(shù)衰減矢量δ∈R2m×1滿(mǎn)足

證明：根據(jù)定理1，構(gòu)造輔助濾波器式(14)，可將多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)重構(gòu)為式(16)， 向量θ0T∈R1×(2m+2)，未知向量δ（t）滿(mǎn)足式(17)，于是有

其中

由于δ（t）是指數(shù)衰減向量，利用式(16)，可將多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d（t）重構(gòu)為與d（t）同頻的輔助函數(shù)，故W的特征根滿(mǎn)足

通過(guò)式（20）可得θT，由此證明完成。

由上述分析可知，通過(guò)構(gòu)造輔助濾波器，能夠獲得輔助變量，同時(shí)可構(gòu)建出指數(shù)衰減正弦信號(hào)與輔助變量的函數(shù)關(guān)系，但并不能從多頻衰減正弦信號(hào)中提取出某一頻率分量的指數(shù)衰減正弦信號(hào)。

本文所提算法的方框圖如圖1 所示。為了解耦單頻指數(shù)衰減正弦d0（t）和多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t），引入了一個(gè)輔助濾波器，重構(gòu)單頻指數(shù)衰減正弦d0（t）和多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t），然后構(gòu)造擴(kuò)展觀測(cè)器估計(jì)與頻率相關(guān)的未知參數(shù)θ。最后，利用線(xiàn)性關(guān)系獲取頻率與衰減因子，利用觀測(cè)器獲取待估矢量，實(shí)現(xiàn)從失真信號(hào)d（t）中提取單頻指數(shù)衰減正弦d0（t）。

圖1 多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)重構(gòu)策略

3 信號(hào)分離

本節(jié)主要介紹從輸入的多頻阻尼正弦振蕩d（t）的分離提取其中某一頻率分量的阻尼正弦振蕩信號(hào)d0（t），首先構(gòu)造輔助濾波器，并將輸入信號(hào)通過(guò)輔助濾波器，獲得輔助變量函數(shù)與衰減矢量函數(shù)，利用輔助變量可重構(gòu)多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t）。由于衰減矢量函數(shù)將收斂到與單頻指數(shù)衰減正弦同頻的信號(hào)，因而可通過(guò)衰減矢量函數(shù)重構(gòu)單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)單頻指數(shù)衰減正弦與多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的解耦。

3.1 信號(hào)重構(gòu)

信號(hào)重構(gòu)的目標(biāo)是利用輔助濾波器重構(gòu)單頻指數(shù)衰減正弦d0（t）和多頻指數(shù)衰減正弦d'（t）。

1）定理2

對(duì)于動(dòng)態(tài)式(14)，如果（G，L）滿(mǎn)足(15)，則多頻指數(shù)衰減d'（t）可表示為

未知參數(shù)δ1（t）滿(mǎn)足

2）證明

與推論1 類(lèi)似，如果d'（t）滿(mǎn)足

可得

根據(jù)式(14)、式(21)、式(25)可得

其中

通過(guò)比較式(30)兩側(cè)的系數(shù)可得式1?，由此證明完成。

與前述定理類(lèi)似，式(22)滿(mǎn)足映射式(14)，使d0（t）可描述為

其中， 是與ω0和ρ0相關(guān)的常數(shù)向量，則有

綜上分析，d（t）、d0（t）和d'（t）是與頻率相關(guān)的向量θ與輔助變量相關(guān)的線(xiàn)性函數(shù)，該方法通過(guò)構(gòu)造輔助濾波器獲取輔助變量。從而可將單頻指數(shù)衰減正弦重構(gòu)為輔助變量與頻率相關(guān)常向量的線(xiàn)性函數(shù)，將多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)重構(gòu)為輔助變量與指數(shù)衰減矢量的線(xiàn)性函數(shù)，故僅需要獲取待估矢量δ1（t）便可實(shí)現(xiàn)單頻指數(shù)衰減正弦與多頻指數(shù)衰減正弦的分離提取。

3.2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

結(jié)合上述分析與龍伯格觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)觀測(cè)器用于估計(jì)待估矢量δ1（t），觀測(cè)方程為

多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t）的估計(jì)值為

由式(34)、式(35)可獲得輸入的多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d（t）估計(jì)值為

綜合以上分析，可得單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t）的估計(jì)誤差為

多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t）的估計(jì)值為

通過(guò)觀測(cè)方程獲得未知參數(shù)δ1（t），再利用式(26)和式(27)求得單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)與多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的估計(jì)值。由此可知，指數(shù)衰減正弦信號(hào)估計(jì)值的準(zhǔn)確度取決于待估矢量δ1（t）的估計(jì)準(zhǔn)確度，需要分析待估矢量估計(jì)誤差的斂散性，以確保待估矢量的估計(jì)誤差一致最終有界性?，F(xiàn)有的研究算法是通過(guò)估算阻尼正弦振蕩信號(hào)的頻率、衰減速度、幅值、相角等條件重構(gòu)各頻率分量的指數(shù)衰減正弦信號(hào)，大大復(fù)雜化了多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的提取過(guò)程，并未充分利用已知信息，進(jìn)而使解耦過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)算量加大，穩(wěn)定性亦難以保證。

本文所提算法將多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)通過(guò)特定濾波器，重構(gòu)了信號(hào)，只需要利用觀測(cè)器估計(jì)待估矢量，即可簡(jiǎn)化多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的解耦過(guò)程，減少了運(yùn)算量。該算法線(xiàn)性定常的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得參數(shù)的調(diào)節(jié)和穩(wěn)定性的分析手段更豐富。

3.3 穩(wěn)定性分析

在分析待估矢量的估計(jì)誤差、單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)和多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的估計(jì)誤差穩(wěn)定性時(shí)，利用濾波器激勵(lì)出輔助變量，進(jìn)而將單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)和多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)解耦，只需估計(jì)待估矢量δ1（t）便可解耦，并可實(shí)現(xiàn)單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)和多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)的分離提取。

結(jié)合式(21)、式(30)可得待估矢量的誤差方程為

其中

1）定理3

存在P∈R2m×2m＞ 0，且滿(mǎn)足條件

2）證明

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

其中

由分析可知，單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t）與多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t）的估計(jì)誤差取決于待估矢量的估計(jì)誤差。由于估計(jì)誤差是一致最終有界的，則由式(37)、式(38)可知，單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d0（t）與多頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)d'（t）的估計(jì)誤差漸進(jìn)穩(wěn)定。

4 參數(shù)估計(jì)

向量θ與頻率和衰減因子相關(guān)，其估計(jì)方法是首先構(gòu)造濾波器獲得與未知參數(shù)相匹配的擴(kuò)展方程，進(jìn)而構(gòu)造觀測(cè)器估計(jì)各分量指數(shù)衰減正弦信號(hào)的頻率以及衰減因子。將式(18)進(jìn)行擴(kuò)展，得到

由此，則可作如下定義，即

根據(jù)以上分析，給出所設(shè)計(jì)的估計(jì)向量矩陣θ的狀態(tài)觀測(cè)器形式為

式中：β為大于0 待求的增益系數(shù)。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，即

對(duì)上式求導(dǎo)可得

由此，存在P2∈R（2m+2）×（2m+2）＞ 0滿(mǎn)足使Λ2＜0，是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

5 仿真模擬

本文所提算法在Matlab 2023a 環(huán)境下進(jìn)行仿真，赫爾維茲矩陣的參數(shù)選取為α＝1，g1＝256，g2＝256，g3＝96，g4＝16。輸入信號(hào)為

如圖2、圖3 所示，與文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]所述算法相比，本文所述算法頻率與衰減因子的估算值擁有快速收斂的特征且結(jié)果更精確，待估計(jì)參數(shù)和待調(diào)節(jié)參數(shù)少；而文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]所述自適應(yīng)算法收斂速度慢，且穩(wěn)定性分析需要借助復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)理論。如圖4、圖5 所示，本文觀測(cè)器方法具有快速收斂、更準(zhǔn)確、更穩(wěn)定的特性，重構(gòu)后誤差更小。

圖2 本文所述方法頻率估計(jì)值

圖3 本文所述方法衰減因子估計(jì)值

圖4 本文所述方法 d0 （t ） 估計(jì)值

圖5 本文所述方法 d1 （t ） 估計(jì)值

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)將堆垛機(jī)多自由度含阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)描述為多頻指數(shù)衰減正弦，然后利用觀測(cè)器估計(jì)頻率與衰減因子，再利用擴(kuò)展觀測(cè)器獲得待估矢量，實(shí)現(xiàn)指數(shù)衰減正弦信號(hào)的分離提取。這種將衰減正弦信號(hào)線(xiàn)性化的重構(gòu)方法充分利用了已知信息，大大簡(jiǎn)化了解耦的難度。