高中數(shù)學數(shù)列問題的有效解決方法研究

摘要：高中數(shù)學的數(shù)列教學中，其教學目標主要是指導學生經(jīng)過式子轉(zhuǎn)變，學會與掌握規(guī)律尋找的方法，以實現(xiàn)具體問題解決的同時，促進學生自身的數(shù)學思維開發(fā)與拓展.鑒于此，本文主要對高中數(shù)學的數(shù)列教學的影響因素及教學創(chuàng)新策略進行分析，并提出高中數(shù)學中數(shù)列問題的解決方法.

關鍵詞：高中數(shù)學;數(shù)列;問題;影響因素;解決方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0005-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：鄧璇（1981.4-），女，甘肅省慶陽市環(huán)縣人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

數(shù)列作為高中數(shù)學課堂教學的主要內(nèi)容，大部分數(shù)列知識都較為抽象難懂，是學生課堂學習的難點，許多學生在遇到數(shù)列相關問題時，都會覺得不知所措，成為各種測試題中重要的失分題型.在高中數(shù)學的教學實踐中，教師需通過理論與實踐結(jié)合的形式，促進學生對數(shù)列問題的解答技巧和方法的總結(jié)，從而使學生實現(xiàn)高效解題.

1 高中數(shù)學數(shù)列教學的影響因素

1.1 教師因素

首先，高中數(shù)學的傳統(tǒng)化教學中的教學觀念是將教師作為中心，而學生是被動接受者，是課堂教學的客體，這通常與新課改是存有矛盾的.在新課改下，學生應作為課堂教學的主體，在實際學習過程中，教師應更注重學生的主動性，加強交流與反饋，從而使教育實現(xiàn)雙向傳播.鑒于此，數(shù)學教師需注重學生在課堂上的主體性，開展數(shù)列知識講解的時候，注重自身已有教學觀念的轉(zhuǎn)變，融入新型教學理念，以促使高中數(shù)學的教學效果得到切實提高.

其次，數(shù)學教師具備良好的教學方法與教學能力是數(shù)列教學成功的一半，其中包含了課堂教學中的教學方法高效以及課下教學的有效監(jiān)控.數(shù)學課堂上的教學方法高效，通常指數(shù)學教師在課堂上對數(shù)列知識進行完整、系統(tǒng)的教學，以促使學生清楚的了解到教師講了些什么，從而使學生對數(shù)列問題的解答一目了然，并促使學生在數(shù)學課堂上獲得與掌握相關知識，以促使學生對于數(shù)列問題的解答水平得到切實提高.數(shù)學課堂下的監(jiān)控則是指數(shù)學教師對學生課下學習與鞏固數(shù)列知識實施有效控制與監(jiān)督，從而實現(xiàn)教學方法的完善.同時，教師還能對課堂上學生沒聽懂的數(shù)列問題實施檢查，并經(jīng)過反饋對課堂的教學活動加以調(diào)節(jié)，最終實現(xiàn)數(shù)學教師的教學改善.

數(shù)學教師自身的知識水平通常會對教師講解數(shù)列知識的情況造成直接影響，若數(shù)學教師不具備講解數(shù)列相關專業(yè)知識的能力，不僅會影響到數(shù)列教學水平的提高，而且還會影響到學生的解題能力.

1.2 學生因素

首先，學生的心理原因通常會對數(shù)學數(shù)列知識的學習造成阻礙.面對數(shù)列知識，喜歡學習的則對數(shù)列知識具有較高的學習熱情，且學習態(tài)度積極，就能取得顯著的成績，而不愛學習數(shù)列的，對數(shù)列知識的學習興趣較低，就會影響到學生的學習成績提升.

其次，每個學生的課堂學習方法與能力都不同，這就使學生對于數(shù)列知識的學習進度也都不同.同時，每個學生的起點都有所不同，腦力也都不同，這就使學生的學習能力存有一定的差異，從而影響到學生學習數(shù)列的有效性.

另外新課改下，高中數(shù)學的數(shù)列教學當中，課程資源不夠全面，類似于教學素材、網(wǎng)絡資源等還較為傳統(tǒng)，缺乏系統(tǒng)性概括，這種狀況下，也會影響數(shù)列教學的順利開展.

2 高中數(shù)學數(shù)列教學創(chuàng)新策略

首先，高中數(shù)學的數(shù)列教學需注重創(chuàng)設問題情境.數(shù)學教師創(chuàng)設合作、自主、探索性的學習氛圍極其重要.數(shù)學教師在對問題情境進行創(chuàng)設時，可考慮下述幾點：即學生已具備的生活與知識經(jīng)驗;數(shù)學知識具備的趣味性;新舊知識點銜接;教學內(nèi)容及教學特色.

其次，基于創(chuàng)新理念的“數(shù)學概念”.對于數(shù)學對象的本質(zhì)屬性實施反映的一種思維方式就是數(shù)列的概念.在對數(shù)學概念進行學習時，需明確數(shù)列的名稱、了解到數(shù)列涉及的范圍、數(shù)列的本質(zhì)屬性.對于數(shù)學概念而言，其主要包含了等比數(shù)列、等差數(shù)列、數(shù)列與通項公式.

3 高中數(shù)學數(shù)列問題的有效解決方法

3.1 基于整體思想的數(shù)列問題解決

通過等差數(shù)列、等比數(shù)列具備的性質(zhì)，可順利的求解相關數(shù)列題目，但是，許多的數(shù)列問題解決更多是套用數(shù)列的性質(zhì)，因此，數(shù)列性質(zhì)的巧妙、靈活應用就顯得極其重要.通常來說，不論使用等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，在通項公式當中通常涉及到許多量，在對數(shù)列問題進行解答時，通常不用求解出各個量，而是立足于整體思想運用數(shù)列公式，這不僅能確保數(shù)列問題的解答準確性，而且還能促進學生的解題效率提高.

例1等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆>S₇>S₅，那么，想要實現(xiàn)S_kS_k+1<0的正整數(shù)k是多少？

解析本題的條件信息都較為簡單，有些學生在解題時，通常會覺得無從下手，依據(jù)等差數(shù)列的前n項和通項公式之間的關系可知，a₆=S₆-S₅>0，a₇=S₇-S₆<0，a₆+a₇>0，這個時候，立足于整體思想可得：S₁₁=11（_a1+_a11）/2 =11_a6>0，S₁₂=12（a₁+a₁₂）/2 = 12（a₆+a₇）/2 >0，S₁₃=13（a₁+a₁₃）/2 =13a₇<0，此時，S₁₂S₁₃<0，就能符合S_kS_k+1<0，因此，正整數(shù)k為12.E803DFA5-6A19-45A0-84CB-BA0EC8985198

由此可知，本題類型和傳統(tǒng)題目是有所不同的，在解答的時候，需有相應的技巧，解題技巧需靈活的運用相關數(shù)列知識，避免被傳統(tǒng)化解題思維所限制，在實際解題的時候，不用直接求取數(shù)列當中某項的具體值，而是通過整體思想的運用實施整體代換，將難轉(zhuǎn)易.因此，數(shù)學教師在課堂教學時，可依據(jù)數(shù)列教學，對學生進行引導，避免學生盲目的套用公式，在遇到數(shù)學題時，不能著急動筆，需注重思考與分析，明確解題的切入點，避免受思維定式的影響，而步入解題誤區(qū).

3.2 基于放縮法的數(shù)列問題解決

數(shù)列的證明題屬于數(shù)列問題當中較為常見的一種題型，在各級考試當中，有較高的出現(xiàn)頻率，由于其具備較強綜合性，因此，可以對學生運用技巧解答數(shù)列問題的能力進行考查.有些學生在遇到類似的數(shù)列問題時，通常都不知道應該怎么證明，或在證明的時候，證明過程相對模糊，也不夠規(guī)范，雖然能獲得最終的結(jié)果，但卻無法得到滿分，對其原因分析，主要是學生的解題思路不夠清晰.相關實踐顯示，放縮法屬于數(shù)列證明過程中的一種常見方法，教師可指導學生經(jīng)過模仿、思考，把學生的數(shù)列知識轉(zhuǎn)變成能力，以實現(xiàn)有效解題.

例2數(shù)列{a_n}通項公式是a_n=2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²，若S_n是數(shù)列的前n項和，證明：所有n∈N^*都存有S_n<2.

解析對數(shù)列{a_n}的通項公式以及需證明的結(jié)論進行分析，通過通項公式的運用開展求和證明一般是行不通的，此處則可對數(shù)列的通項公式實施放縮，也就是2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²= 2×3^n-1/[（3ⁿ-1）（3^n-1-1/3）]<2×3^n-1/[（3ⁿ-1）（3^n-1-1）]=1/（3^n-1-1）-1/（3ⁿ-1），通過相應放縮可知，n=1的時候，分母是0，n≥2的時候，分母非0;通過n=1與n≥2兩種狀況加以分類討論：即n=1的時候，a₁=3/2=S₁<2成立;n≥2的時候，Sn=3/2+2×3²/（3²-1）²+…+2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²<3/2+[1/（3¹-1）-1/（3²-1）] +…+[1/（3^n-1-1）-1/（3ⁿ-1）]=2-1/（3ⁿ-1）<2，即對所有n∈N^*都有S_n<2.

本題難點就是準確的實施放縮，在具體解題中，因為對放縮的尺度無法準確把握，就會造成放縮失敗而無法準確解題.就理論來講，這種放縮的前后兩項之間的差異愈小愈好，且需做到具體問題具體分析，如1/n²放縮存有1/n² < 1/ [n（n-1）]，（n≥2），1/n²< 1/ [（n+1）（n-1）]等形式，在實際解題的時候，可選擇些合適的放縮實施解題，放縮節(jié)點的選擇作為解題成敗的重中之重，教師應提供給學生相應的訓練以及思考案例，以促使學生通過放縮法的運用過程，實現(xiàn)解題技巧以及解題能力的提升.

3.3 基于變式訓練的數(shù)列問題解決

高中數(shù)學的數(shù)列內(nèi)容通常只有兩種形式，即等比數(shù)列與等差數(shù)列，不論從何種角度出發(fā)，都是對等比數(shù)列或等差數(shù)列的變式展示，這就需注重核心內(nèi)容的掌握，通過不變的內(nèi)容進行多變題目的解決，依據(jù)基本內(nèi)容的具體變化找出規(guī)律.因此，數(shù)學教師在課堂教學時，需通過變式訓練的運用，引導學生與題目內(nèi)容相結(jié)合加以轉(zhuǎn)化，試著變式解決，以體會到規(guī)律的尋找過程，并了解到數(shù)列的相關內(nèi)容，深化學生對相關數(shù)列知識的學習與應用.

例3成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和為15，并在這三個數(shù)的基礎上，分別加上2、5、13之后，成為等比數(shù)列當中的b₃、b₄、b₅，（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式;（2）數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，求證：數(shù)列{S_n+5/4}為等比數(shù)列.

解析問題（1）可應用等差數(shù)列知識加以解決，也就是將三個數(shù)設為a-d、a、a+d，經(jīng)過已知條件加以解答，可計算得出數(shù)值a是5，然后將其分別代入b₃、b₄、b₅，就能實現(xiàn)數(shù)列問題的直接解決;問題（2）則是實施變式解答，也就是把等差數(shù)列轉(zhuǎn)變成等比數(shù)列加以求解.這種情況下，只有充分掌握等比數(shù)列、等差數(shù)列的實際應用特點，才能更加輕松的解決變式內(nèi)容，從而實現(xiàn)學生自身的數(shù)學思維拓展，并實現(xiàn)數(shù)學知識的有效應用.

綜上所述，高中數(shù)學的數(shù)列問題通常具有較大的難度，且題型多變，這就使許多學生都不易掌握，因此，數(shù)學教師需與學生的實際狀況及數(shù)列性質(zhì)相結(jié)合，通過高效化教學法，引導學生明確數(shù)列題的解答思路，以促使學生充分掌握數(shù)列問題的解答方法與技巧，從而掌握數(shù)列問題命題規(guī)律的同時，實現(xiàn)數(shù)列知識的靈活運用，從而實現(xiàn)高效解題.

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