基于優(yōu)化方法的燃料組件簡化梁模型材料參數(shù)等效研究

馮璇, 郭嚴(yán), 李康橋, 梁國鵬, 肖長江,盧夢(mèng)凱, 管官, 梅躍

(1.大連理工大學(xué) a.工程力學(xué)系; b.船舶工程學(xué)院,遼寧 大連 116024;2.中廣核研究院有限公司,廣東 深圳 518031; 3.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院,浙江 寧波 315211)

0 引 言

堆芯燃料組件是核反應(yīng)堆中的重要部件,在運(yùn)行過程中受堆內(nèi)輻照和高溫影響,其材料呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性力學(xué)行為,使得燃料組件產(chǎn)生軸向、彎曲和扭轉(zhuǎn)等宏觀變形,給反應(yīng)堆的安全運(yùn)行造成一定影響。另一方面,整個(gè)堆芯內(nèi)常有上百個(gè)燃料組件,每個(gè)燃料組件內(nèi)部的結(jié)構(gòu)數(shù)量繁多且相互裝配關(guān)系復(fù)雜,若直接采用三維實(shí)體精細(xì)化建模方法對(duì)全堆芯進(jìn)行仿真分析,則計(jì)算規(guī)模大且非線性程度強(qiáng),很難得到收斂解。為此,研究一種快速高效且具有一定精度的計(jì)算仿真模型具有重要意義。

國內(nèi)外許多學(xué)者提出很多燃料組件簡化模型方案[1-9],如單梁模型、二梁模型、三梁模型、四梁模型等,但大多只給出簡化建模方案和驗(yàn)證,并沒有給出具體的材料參數(shù)等效方法或者給出的等效方法較復(fù)雜。其中,JEON等[7]研究的半精細(xì)化四梁模型的材料參數(shù)直接采用相關(guān)金屬材料的屬性,對(duì)梁模型僅進(jìn)行幾何截面的等效。雖然此方法可使全堆芯模型的建模和分析得到一定程度的簡化,但因四梁模型本身內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜,將其直接應(yīng)用到全堆芯建模和分析中仍費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

在全堆芯尺度的計(jì)算中,往往更關(guān)注組件與組件之間的相互作用關(guān)系,因此可考慮將組件簡化為建模更加簡便的單梁模型。然而,直接從實(shí)體模型等效簡化為單梁模型十分困難,故考慮從四梁模型到單梁模型的簡化。

本文以文獻(xiàn)[7]所研究的四梁模型為目標(biāo)等效模型基礎(chǔ),建立更簡化的單梁模型來等效整組件。主要考慮靜力學(xué)等效剛度和動(dòng)力學(xué)方面等效振動(dòng)模態(tài)頻率的方法,基于一定的假設(shè)、簡化和優(yōu)化方法算法,實(shí)現(xiàn)從相對(duì)復(fù)雜的二維半精細(xì)化四梁模型到三維簡化單梁模型的材料參數(shù)等效,最后研究單梁模型之間的關(guān)系,建立單梁小堆芯模型。

1 簡化建模

1.1 二維半精細(xì)化四梁模型

為盡可能地體現(xiàn)各主要零部件之間的相對(duì)關(guān)系,以提高計(jì)算結(jié)果的精確性,二維半精細(xì)化四梁模型建模主要考慮以下零部件:上管座、下管座、結(jié)構(gòu)格架、燃料棒和導(dǎo)向管及其連接部件等。假設(shè)二維半精細(xì)化四梁模型長3 537.7 mm,寬141.5 mm,共建立8層結(jié)構(gòu)格架,每層格架與導(dǎo)向管和燃料棒之間采用間隙單元與彈簧單元進(jìn)行連接,以模擬實(shí)體模型中格架彈簧、剛凸等零部件。模型共包括122個(gè)節(jié)點(diǎn)、226個(gè)單元。二維半精細(xì)化四梁模型的結(jié)構(gòu)及邊界條件見圖1。

圖 1 二維半精細(xì)化四梁模型的結(jié)構(gòu)及邊界條件

圖1中,最外側(cè)2根縱梁為實(shí)體模型中所有燃料棒的等效結(jié)構(gòu),內(nèi)側(cè)2根縱梁為實(shí)體模型中所有導(dǎo)向管的等效結(jié)構(gòu),橫梁為每層結(jié)構(gòu)格架的等效結(jié)構(gòu)。其中,各梁單元幾何截面均采用自定義型幾何截面,通過計(jì)算不同部件三維實(shí)體幾何模型截面面積、慣性矩等參數(shù),賦予對(duì)應(yīng)梁截面幾何屬性。

1.2 三維簡化梁模型

在二維半精細(xì)化四梁模型的基礎(chǔ)上,考慮到全堆芯模型建模的復(fù)雜性,建立盡可能簡化且合理的三維模型。因此,有必要建立等效的單梁模型代表1個(gè)燃料組件。

為了方便建模,在對(duì)二維半精細(xì)化四梁模型到三維簡化單梁模型進(jìn)行材料參數(shù)等效時(shí),暫不考慮組件與組件、組件與圍板之間的碰撞。采用Timoshenko梁單元建立單梁模型,簡化模型的結(jié)構(gòu)和約束條件見圖2,其長度和約束條件與二維半精細(xì)化四梁模型一致,截面采用矩形截面,尺寸與三維實(shí)體組件外圍尺寸一致。

圖 2 三維簡化單梁模型的結(jié)構(gòu)和約束條件

2 優(yōu)化算法

通過優(yōu)化算法,迭代計(jì)算出一致的加載點(diǎn)位移和振動(dòng)頻率特征值,來確定三維簡化單梁模型材料等效參數(shù)。其靜力平衡方程為:

通過以上的例子可以看出，由于不同語言造成的思維方式、文化習(xí)慣等差距的客觀存在，使得若干原語中的某些文化或語言因素?zé)o法被譯語國家讀者容易理解。這使得這些寓言標(biāo)題翻譯面臨困難。然而，譯者拋開了固化的思維，根據(jù)具體實(shí)際采取某些恰當(dāng)?shù)姆g方法如省譯法，增譯法或者另立標(biāo)題法對(duì)原語信息進(jìn)行重新剪裁等處理，消融了不同語言和文化間的障礙，讓原語讀者和譯語讀者獲得相一致的閱讀效果，產(chǎn)生了相近甚至相同的閱讀反應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了翻譯效果的動(dòng)態(tài)對(duì)等。

F=Ku

(1)

式中:F為外力;K為剛度矩陣;u為位移矢量。

振動(dòng)方程為:

Kφ-w2Mφ=0

(2)

式中:w為固有頻率;φ為特征向量;M為質(zhì)量矩陣。

由于通過直接求解法很難找到最優(yōu)解,因此本文將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題:即二維半精細(xì)化四梁模型與三維簡化單梁模型在載荷邊界條件一致的條件下,找到最佳的彈性模量E和密度ρ,使得2個(gè)梁模型有最接近的位移解和1階振動(dòng)頻率特征值,其優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型如下:

(3)

(4)

式中:ut為目標(biāo)位移值;u為位移矢量;K為剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣;f1和f2為目標(biāo)函數(shù)。

為求解該優(yōu)化問題,首先輸入未知彈性模量參數(shù)的初始假設(shè)值,通過有限元法求解式(1),獲得加載點(diǎn)撓度值,評(píng)估目標(biāo)函數(shù)是否最小化;不斷更新迭代,直到目標(biāo)函數(shù)小于公差,輸出彈性模量值;給定初始密度假設(shè),并輸入上一步輸出的彈性模量值,通過有限元法求解式(2),獲得振動(dòng)頻率特征值,評(píng)估目標(biāo)函數(shù)是否最小化。如果目標(biāo)函數(shù)最小化,那么輸出計(jì)算結(jié)果;如果沒有最小化,那么采用內(nèi)點(diǎn)法更新優(yōu)化變量。重復(fù)上述過程,直到目標(biāo)函數(shù)小于公差,輸出密度值。具體求解路線見圖3。

圖 3 求解路線

3 算例分析

3.1 三維簡化單梁模型剛度等效

在已建立的二維半精細(xì)化四梁模型和三維簡化單梁模型的對(duì)應(yīng)位置處施加相同載荷,并按照實(shí)體模型的材料參數(shù)對(duì)二維半精細(xì)化四梁模型的對(duì)應(yīng)部件賦予參數(shù)。提交計(jì)算二維半精細(xì)化四梁模型的位移,輸出加載點(diǎn)位移數(shù)值作為優(yōu)化參數(shù)。給定三維模型一個(gè)初始的剛度值,通過自編的優(yōu)化程序不斷迭代計(jì)算,直到求解出三維簡化單梁模型剛度的最優(yōu)解,并寫入模型輸入文件。將該輸入文件提交計(jì)算,計(jì)算結(jié)果見圖4。

(a)二維半精細(xì)化四梁模型

由圖4可知,三維簡化單梁模型使用等效出的彈性模量值進(jìn)行計(jì)算,在加入相同的載荷邊界條件后,2個(gè)模型的幾何變形和位移數(shù)值基本一致,即三維簡化單梁模型等效的剛度可取。

3.2 三維簡化單梁模型密度等效

按照實(shí)體模型的材料參數(shù),對(duì)二維半精細(xì)化四梁模型的對(duì)應(yīng)部件賦予參數(shù)。將第3.1節(jié)得到的剛度值結(jié)果賦予三維簡化單梁模型,并給定三維簡化單梁模型一個(gè)初始密度值。通過自編的優(yōu)化程序不斷更新三維簡化單梁密度值并迭代計(jì)算,直到使三維簡化單梁模型與二維半精細(xì)化四梁模型有效質(zhì)量較大的模態(tài)特征值差別最小。

模態(tài)有效質(zhì)量是按照模態(tài)質(zhì)量歸一化后求得的模態(tài)參與因子的平方和,系統(tǒng)第i階模態(tài)的模態(tài)有效質(zhì)量[10]

(5)

式中:Li為模態(tài)參與因子。Li=φTMr,φ為結(jié)構(gòu)模態(tài)特征值向量,M為質(zhì)量矩陣,r為位移變換向量。

一般來說,結(jié)構(gòu)模態(tài)越低階,模態(tài)的有效質(zhì)量越大。計(jì)算本文目標(biāo)模型的1階模態(tài),其有效質(zhì)量可達(dá)88.64%。因此,本文主要優(yōu)化密度,使得2個(gè)模型的1階模態(tài)特征值之差最小。在迭代計(jì)算得到最小1階模態(tài)特征值之差時(shí),輸出三維簡化單梁模型的密度最優(yōu)解,并寫入模型輸入文件。將此輸入文件提交計(jì)算,計(jì)算結(jié)果見圖5。

圖 5 1階模態(tài)特征值云圖

由圖5可知,在相同邊界條件下,三維簡化單梁模型使用等效出的密度值進(jìn)行計(jì)算,得到的1階模態(tài)特征值與二維半精細(xì)化四梁模型的1階模態(tài)特征值基本一致,即三維簡化單梁模型等效的密度可取。

3.3 誤差分析

定義相對(duì)誤差

(6)

式中:λ3D為三維簡化單梁模型使用優(yōu)化得到的剛度和密度計(jì)算得到的加載點(diǎn)位移或1階模態(tài)特征值結(jié)果;λ2D為二維半精細(xì)化四梁模型計(jì)算得到的加載點(diǎn)位移或1階模態(tài)特征值結(jié)果。

代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算,得到二維半精細(xì)化四梁模型和三維簡化單梁模型加載點(diǎn)位移誤差(見圖6)及1階模態(tài)特征值誤差(見表1),二維半精細(xì)化四梁模型和三維簡化單梁模型位移隨高度變化見圖7。

圖 6 加載點(diǎn)位移誤差

表 1 1階模態(tài)特征值及誤差

圖 7 位移隨高度變化比較

由圖6、7和表1可知,三維簡化單梁模型使用優(yōu)化得到的剛度和密度計(jì)算得到的最終加載點(diǎn)位移和1階模態(tài)特征值結(jié)果與二維半精細(xì)化四梁模型的等效目標(biāo)結(jié)果誤差均不超過1%。對(duì)于分析燃料組件的某些力學(xué)行為,三維簡化單梁模型即可實(shí)現(xiàn),大大降低建模的復(fù)雜性和計(jì)算量,對(duì)于全堆芯的建模及計(jì)算具有重要意義。

4 小堆芯有限元模型建立

在完成單組件簡化梁模型等效分析的基礎(chǔ)上,考慮到在實(shí)際運(yùn)行中相鄰燃料組件或燃料組件與堆芯圍板的碰撞現(xiàn)象[11-12],本文進(jìn)行單梁模型梁與梁之間聯(lián)系的研究。燃料組件結(jié)構(gòu)格架部分存在結(jié)構(gòu)彈簧且組件之間的格架存在一定的小間隙,因此在建立小堆芯模型時(shí)考慮彈簧單元和間隙單元,見圖8。圖中,K和C分別為格架外剛度和阻尼;N為格架質(zhì)點(diǎn),為方便建模,本文取距格架外圍1/4格架寬度建點(diǎn);g表示間隙。

圖 8 格架碰撞模型

按照本文方法進(jìn)行3×3小規(guī)模燃料組件堆芯等效梁有限元建模,每根梁代表1個(gè)燃料組件,見圖9。

圖 9 3×3小規(guī)模堆芯模型示意

建模完成后,對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件設(shè)置并在格架節(jié)點(diǎn)處施加x方向載荷,得到x方向的位移計(jì)算結(jié)果,見圖10。由圖10可知,對(duì)小規(guī)模燃料組件堆芯簡化梁模型中的1個(gè)節(jié)點(diǎn)施加載荷后,載荷可以通過間隙單元和彈簧單元進(jìn)行傳遞。結(jié)合單梁模型算例,本文方法在調(diào)整剛度等參數(shù)后,可以有效模擬全堆芯燃料組件,為全堆芯建模分析及簡化模型等效參數(shù)設(shè)置提供新的思路。

圖 10 小規(guī)模堆芯模型加載后x方向位移云圖,mm

5 結(jié) 論

采用有限元軟件對(duì)二維半精細(xì)化四梁模型和等效的三維簡化單梁模型,進(jìn)行靜力及模態(tài)分析對(duì)比,并開展小堆芯模型建立和試算,得出以下結(jié)論:

(1) 提出的優(yōu)化方法能較準(zhǔn)確地等效出燃料組件三維簡化單梁模型的剛度、密度等材料參數(shù)。

(2) 對(duì)于全堆芯模型的建立和分析,采用單梁模型及碰撞連接模型建模更簡單,能實(shí)現(xiàn)載荷傳導(dǎo)和完成合理分析,為復(fù)雜模型的等效分析提供參考。