崔濤 朱向東
1 原題呈現(xiàn)
如圖,P為正方形ABCD對角線AC上的一點,連接DP并延長交AB于點E,過點P作MN⊥DE分別交BC,AD于M,N.
(1)如圖1,求證:MN=DE.
(2)如圖2,點F與點C關于直線DE對稱,連接FA并延長交直線DE于點G,連接BG.
①設∠ADE的度數(shù)為x,求∠DGF的度數(shù);
②猜想AF與BG之間的數(shù)量關系,并證明.
2 解題思路分析
核心概念,居于學科知識的中心地位,具有廣泛的適用性和解釋力.在認知結構中,核心概念表現(xiàn)出網絡狀、持久性和可遷移等特點.對核心概念的深度理解,能夠幫助學生把握知識本質,形成學科觀念;推動知識關聯(lián)的高效形成,發(fā)展應用能力;生長和優(yōu)化認知結構,培養(yǎng)核心素養(yǎng).
對于第(2)大問的第②小問,筆者立足核心概念,深挖概念背后的本質屬性,明晰思維路徑,聯(lián)通知識網絡.利用幾何直觀,圖形化核心概念的內涵,給出如下解題方案:
第一種方案是以“軸對稱”為問題分析的起點,構造基本圖.利用圖形關系,與正方形的相關性質形成關聯(lián).通過三角形相似或三角函數(shù),落腳于線段的比,實現(xiàn)目標線段數(shù)量關系的求解.
第二種方案是立足“等腰三角形”,結合先驗知識,添加常用輔助線.聚焦圖形變化,與正方形的相關性質形成關聯(lián).通過幾何直觀,進一步擬定解題策略.通過三角形相似或三角函數(shù),求得目標線段的數(shù)量關系.
3 解題方案實施
結合上面的兩種方案,有如下6種具體思路和解法.
思路1:聚焦軸對稱,構造基本圖.通過幾何直觀,猜想并證明△CAF與△CBG相似.借助相似比,求得目標線段之間的數(shù)量關系.
思路2:以軸對稱為起點,基本圖為根本.通過構造和證明△CBH與△ABG全等,得到與線段AG等長的線段CH.最后,通過線段和差與等腰直角三角形BGH的相關性質,求得目標線段之間的數(shù)量關系.
4 反思
通過思維路徑的明晰和解題方案的實施,不難發(fā)現(xiàn),核心概念作為問題分析的起點、知識融合的關聯(lián)點、素養(yǎng)提升的落腳點,貫穿解題活動的始終.核心概念背后潛藏的知識、方法和思想,反映出學科的主要觀點和思維方式,搭建成學科骨架,內化為認知結構的主干.為了加深數(shù)學理解、追求數(shù)學本質、發(fā)展關鍵能力、養(yǎng)成必備品格,筆者立足“三會”,從核心概念的視角,對積淀核心素養(yǎng)的方法進行了如下幾點思考:
4.1 豐富核心概念的圖形化內涵,發(fā)展幾何直觀
在我國現(xiàn)代漢語詞典中,對“直觀”的解釋是:用感官直接接受,直接觀察.國內學者和教育家則認為:直觀是直接從感覺和具體背后,發(fā)現(xiàn)抽象的實質.新課標對幾何直觀的定義為:運用圖表描述和分析問題的意識和習慣.在教學和解題活動中,將核心概念的內涵圖形化,有利于發(fā)現(xiàn)思維起點,洞察知識關聯(lián)點,把握問題本質,培養(yǎng)數(shù)學眼光.
4.2 厘清核心概念潛藏的內在關聯(lián),提升推理能力
對核心概念的學習,應該更側重于概念背后的知識、方法和思想,側重于思維方式的建立和意識、觀念的形成.在教學和解題活動中,應注重對學生循循善誘,啟發(fā)引導.在探求概念實質的過程中,積累推理經驗,體悟數(shù)學思想.在對問題的發(fā)現(xiàn)、提出、猜想與證明的過程中,深化邏輯思維,提升推理能力.養(yǎng)成講道理、有條理的學科思維品質.
4.3 感悟核心概念的統(tǒng)攝性和解釋力,凝練數(shù)學表達
思維的統(tǒng)攝性,是指在思考和處理復雜的系統(tǒng)性事物時,能夠統(tǒng)籌兼顧各個部分,進行優(yōu)化操作,使繁雜而浩大的思維工程有條不紊地進行.
核心概念在學科知識中的統(tǒng)攝性,體現(xiàn)在其對學科知識的包容性、關聯(lián)性,以及普遍存在性和廣泛遷移性.核心概念統(tǒng)攝學科知識的學習,學科思維的發(fā)展,學科觀念的形成.在教學和解題活動中,應引領學生發(fā)揮好核心概念的普遍解釋力,凝練好數(shù)學語言,多途徑、分層次地對數(shù)學觀點進行精準表達.滲透用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的意識,發(fā)展用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的能力.