如何利用圖形的平移解決規(guī)律探索題

郭祖濤

摘要：在初中數(shù)學(xué)日常思維訓(xùn)練中，經(jīng)常會(huì)遇到規(guī)律探索題.這類題雖然趣味性強(qiáng)，但學(xué)生的實(shí)際解決水平比較弱，導(dǎo)致大部分學(xué)生在見到此類問題時(shí)往往避之不及.針對該問題，教師一方面要認(rèn)識到規(guī)律探索題是中考命題熱點(diǎn)題型，另一方面積極探索解決此類問題的方法，幫助學(xué)生不斷提高探究能力.本文中結(jié)合實(shí)例探究如何利用圖形的平移解決規(guī)律探索類問題.

關(guān)鍵詞：圖形的平移；規(guī)律探索題；趣味；方法

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，規(guī)律探索題在日常檢測與中考中出現(xiàn)的幾率非常大，且難度較大，往往是學(xué)生提高學(xué)業(yè)水平的“攔路虎”［1］.基于此，本文中從例題分析出發(fā)，嘗試總結(jié)出利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法.

1 規(guī)律探索題的素養(yǎng)體現(xiàn)

規(guī)律探索題之所以是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，是因?yàn)橐?guī)律的探索尤為注重對規(guī)律性特征的把握，而這又依賴于從情境式的問題中尋找隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，整個(gè)過程可以看成是對規(guī)律性結(jié)構(gòu)的重建與加工.因此，規(guī)律探索題主要體現(xiàn)了以下素養(yǎng)：

首先，數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).將圖形的平移抽象成點(diǎn)的變化，通過點(diǎn)的變化進(jìn)行邏輯推理，并得到其他點(diǎn)的坐標(biāo)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).

其次，直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).通過圖形可直觀地觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并總結(jié)出點(diǎn)的變化規(guī)律，從而運(yùn)用邏輯推理得到其他點(diǎn)的坐標(biāo)，這是直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn).

最后，邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)的變化，而其變化規(guī)律既要通過邏輯推理得到，同時(shí)應(yīng)用其規(guī)律推理其他點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，又是數(shù)學(xué)運(yùn)算的體現(xiàn).所以，應(yīng)用圖形的平移解決規(guī)律探索題時(shí)，體現(xiàn)了邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2 例題分析及解法評析

下面結(jié)合例題分析嘗試總結(jié)利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法.

例1 已知A1，A2，A3，A4，A5，……的坐標(biāo)分別為（1，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1），（2，-1），……，如圖1進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2 013的坐標(biāo)是（ ）.

A.（504，-503）

B.（504，504）

C.（-504，504）

D.（-504，-504）

解析：根據(jù)觀察不難發(fā)現(xiàn)，凡是角標(biāo)數(shù)字為4的倍數(shù)的點(diǎn)全部位于第三象限.

因?yàn)? 013÷4=503……1，所以

A2 013在第四象限，故

A2 012在第三象限.

由2 012÷4=503，可知

A2 012是第三象限第503個(gè)點(diǎn).

所以A2012的坐標(biāo)應(yīng)是（-503，-503）.故

A2013的坐標(biāo)應(yīng)是 （504，-503）.

故選答案：A.

解法評析：本題主要考查學(xué)生觀察規(guī)律、總結(jié)規(guī)律和應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力.規(guī)律的觀察重在用數(shù)學(xué)眼光看待問題，規(guī)律的總結(jié)重在用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，規(guī)律的應(yīng)用重在用數(shù)學(xué)方法解決問題，這是學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn).在解決這類問題時(shí)，抓住角標(biāo)的變化規(guī)律，就可以抓住點(diǎn)的變化規(guī)律［2］.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（-1，0）做如下的連續(xù)平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，按此規(guī)律平移下去，則點(diǎn)A102的坐標(biāo)是（ ）.

A.（100，101）

B.（101，100）

C.（102，101）

D.（103，102）

分析：根據(jù)題意可知，點(diǎn)A平移時(shí)所在象限每4次為一個(gè)周期.由102÷4=25……2，可知點(diǎn)A102的坐標(biāo)與點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)規(guī)律相同，分別求出A2，A6，A10的坐標(biāo)，找出規(guī)律后即可求解.

解析：根據(jù)將點(diǎn)A（-1，0）作如下的連續(xù)平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，得到其中的規(guī)律就是點(diǎn)A平移時(shí)所在象限每4次為一個(gè)周期.

因?yàn)?02÷4=25……2，所以

點(diǎn)A102的坐標(biāo)與點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)規(guī)律相同.

因?yàn)锳2，A6，A10的坐標(biāo)分別是（2，1），（6，5），（10，9），以此類推，

點(diǎn)A4n+2的坐標(biāo)是（4n+2，4n+1），所以

A102的坐標(biāo)是（102，101）.

故選答案：C.

解法評析：本題與例1的解法類似，都是找出點(diǎn)的下標(biāo)的規(guī)律，據(jù)此找出點(diǎn)A的平移規(guī)律或平移周期，最后根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算即可.

例3 有一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的動(dòng)點(diǎn)，按照如圖3所示的箭頭移動(dòng)，每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，依次得到點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，P6，……，它們的坐標(biāo)分別是（0，1），（1，1），（1，0），（1，-1），（2，-1），（2，0），……，按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)P60的坐標(biāo)是.

分析：根據(jù)圖形分別求出n=3，6，9時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可知點(diǎn)P3n（n，0），將n=20代入可得.

解：因?yàn)镻3（1，0），P6（2，0），P9（3，0），……，所以

P3n（n，0）.

當(dāng)n=20時(shí)，P60（20，0）.

故填答案：（20，0）.

解法評析：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，仔細(xì)觀察圖形，分別求出n=3，6，9時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

3 方法總結(jié)

通過上面幾道例題的分析和解法評析不難發(fā)現(xiàn)，利用圖形的平移解決規(guī)律探索題，既有趣又探究意義十足，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方法.下面對利用圖形的平移解決規(guī)律探索題的方法作如下總結(jié)：

首先，利用圖形的平移解決規(guī)律探索題一定會(huì)應(yīng)用圖形的平移知識，其中主要涉及點(diǎn)的平移規(guī)律［3］.所以，在教學(xué)中需幫助學(xué)生不斷鞏固和強(qiáng)化圖形平移中點(diǎn)的平移規(guī)律.筆者建議，教師可通過例題變式或舉一反三的形式，讓學(xué)生接觸各種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，如例1、例2的“旋轉(zhuǎn)式”或例3的“S式”等.這樣一來，學(xué)生就會(huì)不斷積累相應(yīng)的分析與解題經(jīng)驗(yàn)，更有利于問題的解決.

其次，奠定知識基礎(chǔ)后，接著通過圖形觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).通常點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)藏著一定規(guī)律，這個(gè)規(guī)律不僅呈現(xiàn)出周期變化，而且往往與點(diǎn)的角標(biāo)規(guī)律有關(guān).所以，結(jié)合序號分析點(diǎn)的角標(biāo)的變化規(guī)律對解決這類問題非常關(guān)鍵.但是，有時(shí)候角標(biāo)的規(guī)律可能比較難分析，這就需要教師補(bǔ)充規(guī)律探索中的數(shù)字式規(guī)律，從而幫助學(xué)生彌補(bǔ)這一不足.

最后，在找到點(diǎn)的角標(biāo)規(guī)律后，將題中要求的點(diǎn)的角標(biāo)與該規(guī)律聯(lián)系起來，并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算即可求解.這種計(jì)算往往比較簡單，但仍需學(xué)生多加注意.

綜上所述，盡管規(guī)律探究題的難度不小，且其中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程需用心分析，但并非意味著學(xué)生遇到此類問題時(shí)可“繞道而行”，相反應(yīng)“迎難而上”.因此，作為一線初中數(shù)學(xué)教師要善于從題中總結(jié)出解題方法，幫助學(xué)生解決疑難問題［4］.只有這樣，學(xué)生的探究能力和問題解決能力才會(huì)得到提高.

參考文獻(xiàn)：

［1］明廷軍. 關(guān)注圖形平移過程 掌握圖形變化規(guī)律——微課教學(xué)的實(shí)踐探索［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版）， 2020（18）：48-50.

［2］賀洪秋. 精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)問題 促進(jìn)目標(biāo)有效達(dá)成——以《圖形的平移》教學(xué)為例［J］. 數(shù)學(xué)大世界（中旬）， 2021（8）：55-56.

［3］安德枝. 借助圖形運(yùn)動(dòng) 培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識 ——以《運(yùn)用平移解決問題》教學(xué)為例［J］. 湖北教育（教育教學(xué)）， 2020（8）：73-74.

［4］林海. 利用平移變換的思想解決幾何綜合題的策略與方法［J］. 求知導(dǎo)刊， 2020（43）：65-66.

作者單位：安徽省宿州市碭山縣晨光中學(xué)