楊徐夢
《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》指出:學生經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移應(yīng)用等學習過程,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學的學習除了基本概念、原理、法則、性質(zhì)等內(nèi)容的掌握,更要會用所學知識解決數(shù)學問題.這就要培養(yǎng)學生的知識遷移應(yīng)用能力.“將軍飲馬”模型在數(shù)學中的應(yīng)用,就是利用“兩點之間,線段最短”這一簡單的原理解決生活和學習中的許多數(shù)學問題.模型的遷移應(yīng)用可以把復(fù)雜的問題簡單化,抽象的問題具體化.通過建立聯(lián)系,形成規(guī)律,從而準確地解決數(shù)學問題.
1 “將軍飲馬”情境再現(xiàn)
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個非常有趣的數(shù)學問題.這首詩中將軍騎馬觀望烽火之后從山腳下的A點(如圖1)出發(fā),騎馬到河邊飲馬后再到B點宿營,要怎樣走才能使所走的總路程最短.
2 “將軍飲馬”模型
如圖2,把宿營地和山腳出發(fā)點看作兩個點A,B,把河流看作直線a,即在直線a同側(cè)有兩個定點A,B,在直線a上找一點C,使AC+BC的值最小.如果點A,B在直線a的異側(cè),利用公理“兩點之間線段最短”就可以解決.下面利用兩個模型進行探究學習.
模型一:“異側(cè)兩定一動”模型.
已知:定點A,B在定直線l的兩側(cè).
要求:在直線l上找一點P,使PA+PB的值最小.
分析:連接AB,交直線l于點P,點P即為所求點.線段AB的長度即為PA+PB的最小值.
理由:“兩點之間線段最短”,可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來證明.如圖3,在直線l上任取一點P′(點P′與點P不重合),連接AP′,BP′.
因為在△ABP′中,AP′+BP′>AB,即AP′+BP′>AP+BP,所以當P為直線AB與直線l的交點時,PA+PB的值最小.
模型二:“同側(cè)兩定一動”模型.
已知:定點A和定點B在定直線a的同側(cè).
要求:在直線a上找一點P,使PA+PB的值最?。ɑ颉鰽BP的周長最?。?
分析:此問題的關(guān)鍵是要把“同側(cè)兩定”轉(zhuǎn)化成“異側(cè)兩定”,這樣就可以利用模型一來解決.而要實現(xiàn)等距離遷移,就不難想到利用對稱來解決.所以可以作點B關(guān)于直線a的對稱點B′,如圖4,連接AB′,交直線a于點P,則點P就是所要找的點.
理由:因為PB′=PB,所以可得
PA+PB=PA+PB′=AB′.
3 “將軍飲馬”模型的遷移應(yīng)用
3.1 在方案設(shè)計題中的遷移應(yīng)用
例1 在河流CD的同側(cè)有兩個村莊A,B,A村莊到河流的距離AC=10 km,B村莊到河流的距離BD=30 km,且CD=30 km.現(xiàn)在打算在河邊建一個自來水廠,向A和B兩個村莊供水,鋪設(shè)水管的費用為3萬元/km,要使鋪設(shè)水管的費用最省,請你在河流CD上選擇水廠的位置M,并求出鋪設(shè)水管的總費用?
分析:A,B兩定點在直線CD的同側(cè),M是一個動點,所以此題屬于“同側(cè)兩定一動”模型.
解:如圖5所示,作點B關(guān)于直線CD的對稱點B′,連接AB′,交CD于點M,則AM+BM=AM+B′M=AB′,此時水廠建在點M時,費用最小.
對于“將軍飲馬”模型類問題,利用軸對稱變換,通過化曲為直,把折線路徑轉(zhuǎn)化為兩點間距離,根據(jù)“兩點之間,線段最短”求出線段之和或三角形周長最小值,可利用兩邊之和大于第三邊作簡單證明.此類問題的解題步驟為:(1)選擇模型;(2)作對稱;(3)定交點;(4)連路徑.