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    “僅用無(wú)刻度直尺作圖”課堂實(shí)踐例展與分析

    2024-01-05 13:50:58李志明

    李志明

    摘要:無(wú)刻度直尺作圖一直是中考命題的熱點(diǎn),也是初中生數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐中的一大薄弱點(diǎn).從學(xué)生的作圖情況來(lái)看,利用無(wú)刻度直尺作圖仍存在著諸多問(wèn)題,如錯(cuò)誤地直接取中點(diǎn)、錯(cuò)畫(huà)垂直或平行等.本文中通過(guò)一節(jié)課堂教學(xué)片段,呈現(xiàn)如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)僅用無(wú)刻度直尺作圖的方法.

    關(guān)鍵詞:無(wú)刻度直尺;作圖;實(shí)例

    無(wú)刻度直尺作圖是尺規(guī)作圖中的一種,有些省市的中考命題者對(duì)此十分青睞.然而,這一內(nèi)容恰巧是學(xué)生的薄弱項(xiàng),表現(xiàn)出了諸多不足,導(dǎo)致利用無(wú)刻度直尺作圖題的得分率整體偏低.為此,本文中首先呈現(xiàn)例題及其錯(cuò)誤畫(huà)法,并在分析之后簡(jiǎn)要說(shuō)明無(wú)刻度直尺的工具屬性,最后通過(guò)呈現(xiàn)課堂教學(xué)片段的方式,和學(xué)生探究無(wú)刻度直尺作圖的方法.

    1 例題及其錯(cuò)誤畫(huà)法呈現(xiàn)

    例題呈現(xiàn)如下:

    如圖1所示,四邊形AOCB是⊙O內(nèi)一菱形,且A,B,C都在圓上,請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作出線段OA的中點(diǎn).

    本題圖形簡(jiǎn)單,條件不多,要求也比較明

    確,難度較小,筆者預(yù)

    估學(xué)生完成的質(zhì)量較高.但從學(xué)生的作圖來(lái)看,存在很多錯(cuò)誤之處,下面展示幾種錯(cuò)誤畫(huà)法(如圖2):

    2 錯(cuò)解分析

    圖2中的四種錯(cuò)解具有代表性.下面對(duì)這四種錯(cuò)解進(jìn)行分析.

    圖2(1)雖關(guān)注到了可用無(wú)刻度直尺連接菱形AOCB的對(duì)角線構(gòu)造出點(diǎn)D,但之后直接取OA的中點(diǎn)并連接DE,這正是錯(cuò)誤之處.因?yàn)閮H用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),無(wú)法直接且準(zhǔn)確地取一條線段的中點(diǎn),所以違背了無(wú)刻度直尺的工具屬性.

    圖2(2)的畫(huà)法雖然簡(jiǎn)單,但同樣違背了無(wú)刻度直尺的工具屬性.體現(xiàn)在兩個(gè)方面:首先,直接取BC的中點(diǎn);其次,直接取OA的中點(diǎn).

    圖2(3)連接BO并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DA,作∠BDA的角平分線DE,與OA交于點(diǎn)F,與⊙O相交于點(diǎn)E.這種作法雖部分尊重了無(wú)刻度直尺的工具屬性,如“連接OB并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D”“連接DA”,但僅用無(wú)刻度直尺難以直接、準(zhǔn)確地畫(huà)出一個(gè)角的角平分線.

    圖2(4)延長(zhǎng)CO與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DA,連接BD,與OA相交于點(diǎn)E.這種作法雖然準(zhǔn)確找到了OA的中點(diǎn)E,每一步操作也符合無(wú)刻度直尺的工具屬性,但存在多余的線段,應(yīng)將DA刪除.

    3 僅用無(wú)刻度直尺作圖的工具屬性說(shuō)明

    從上述四種錯(cuò)解分析中可以看出,違反無(wú)刻度直尺的工具屬性最常見(jiàn).那么,無(wú)刻度直尺的工具屬性有哪些呢?

    首先,用無(wú)刻度直尺可連接點(diǎn),如圖2(1)中連接CA,OB和圖2(4)中連接BD的操作步驟都利用了這一點(diǎn).

    其次,用無(wú)刻度直尺可將線段延長(zhǎng),如圖2(3)中“連接BO并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D”和圖2(4)中“延長(zhǎng)CO與⊙O相交于點(diǎn)D”的操作步驟都利用了這一點(diǎn).

    也就是說(shuō),在僅用無(wú)刻度直尺作圖的情況下,只能進(jìn)行連接點(diǎn)、延長(zhǎng)等操作,不能直接利用無(wú)刻度直尺取線段中點(diǎn)、作角平分線、作平行線、作垂線等[1.

    4 僅用無(wú)刻度直尺作圖課堂實(shí)踐

    雖然當(dāng)前的尺規(guī)作圖題無(wú)需寫(xiě)出作圖步驟及證明過(guò)程,但這類題處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科特有的邏輯思維[2.那么,該如何引導(dǎo)學(xué)生去解決這類問(wèn)題?下面,展示教學(xué)片段:

    師:請(qǐng)同學(xué)們?nèi)〕鲆粡埌准?,將之折疊再折疊使之成為一把“無(wú)刻度直尺”.

    學(xué)生折紙.

    設(shè)計(jì)意圖:長(zhǎng)期以來(lái),有刻度的直尺作圖給學(xué)生留下了極其深刻的印象.用白紙折出“無(wú)刻度直尺”,幫助學(xué)生脫離有刻度直尺的束縛,是正確利用無(wú)刻度直尺作圖的關(guān)鍵.

    師:請(qǐng)問(wèn)這樣的“直尺”有刻度嗎?

    生:沒(méi)有.

    師:利用它能否畫(huà)出一條直線或線段呢?請(qǐng)和同桌交流.

    學(xué)生交流并分享.

    生1:可以畫(huà)出直線,也可以畫(huà)出線段,還可以畫(huà)出射線.

    師:請(qǐng)用你的“無(wú)刻度直尺”給所畫(huà)線段找出中點(diǎn),可以嗎?

    學(xué)生尋找并討論.

    教師巡視并收集錯(cuò)解,在白板上展示.

    師:請(qǐng)看白板上展示的兩種作法,你認(rèn)為它們正確嗎?

    學(xué)生觀察并思考.

    生2:我認(rèn)為圖3的作法不正確.因?yàn)閮H用無(wú)刻度直尺“找”不到它的中點(diǎn).線段是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的,你怎么知道點(diǎn)O正好就是線段AB的中點(diǎn)呢?所以,我認(rèn)為這種畫(huà)法不正確.

    生3:我覺(jué)得圖4的作法也有問(wèn)題.因?yàn)橛脽o(wú)刻度直尺畫(huà)中間直線時(shí),如何知道該直線恰好與線段AB互相垂直呢?

    設(shè)計(jì)意圖:收集錯(cuò)解并向?qū)W生展示,有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題.借助錯(cuò)解讓學(xué)生反思,更有利于學(xué)生形成批判性思維,甚至創(chuàng)造性思維.

    師:分析得非常有道理.那么僅用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),到底能做什么呢?

    生4:我認(rèn)為可以連接點(diǎn).

    生5:我認(rèn)為可以把線段向兩端延長(zhǎng).

    …………

    師:非常好.那么對(duì)于圖1,應(yīng)如何利用無(wú)刻度直尺作圖呢?請(qǐng)思考.

    生:(思考)

    生6:首先可以把能連接的點(diǎn)用無(wú)刻度直尺連接起來(lái),還可以延長(zhǎng)線段.如圖2(1)中連接OB,CA,如圖2(3)中連接OB后延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D.

    生7:線段延長(zhǎng)后會(huì)產(chǎn)生新的點(diǎn),這些新的點(diǎn)又可以連接.如圖2(4),延長(zhǎng)CO,與⊙O交于點(diǎn)D,這個(gè)點(diǎn)D就是新產(chǎn)生的點(diǎn),可以將這個(gè)點(diǎn)與其他點(diǎn)連接起來(lái).

    生8:我認(rèn)為還有非常重要的一點(diǎn),就是把多余的線段去掉,如圖2(4)中應(yīng)該去掉線段AD.

    師:大家說(shuō)得非常好,生8補(bǔ)充得更好.所以,圖1中OA的中點(diǎn)可如圖5所示作圖.

    綜上所述,在僅用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),一定要摒棄習(xí)慣思維對(duì)學(xué)生的影響,在明確無(wú)刻度直尺的工具屬性后,才能正確作圖.否則,極易出現(xiàn)文中展示的幾種錯(cuò)誤.

    參考文獻(xiàn):

    [1]張潔.造境·串問(wèn)·靈動(dòng):從中考題談情境教學(xué)——以“直尺作圖”為演示案例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2020(22):16-17,15.

    [2]呂科利,鄭旭常.淺析“無(wú)刻度直尺”作圖的作法探討與應(yīng)用[J].理科考試研究,2018,25(8):21-24.

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