陸麗萍
史寧中教授認(rèn)為,數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵在于發(fā)展思維,尤其是高層次的思維,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思維思考世界的素養(yǎng).高階思維不是教師“教”出來的,而是學(xué)生自己“學(xué)”出來的.只有把“灌輸”“填鴨”式的教學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的“學(xué)”,通過自我建構(gòu),深度學(xué)習(xí)才會發(fā)生,高階思維才能形成.
以課堂教學(xué)為主線,以學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為核心,注重學(xué)習(xí)建構(gòu)理論的精煉,建立一個完整的單元式教學(xué)架構(gòu),并探索如何讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考,讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點去理解知識,發(fā)展高階思維.注重數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題意識,構(gòu)建互動生成的學(xué)本課堂,把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生,讓師生、生生的互動貫穿課堂.伴隨著這種“互動”,學(xué)生的問題意識會愈來愈強(qiáng)烈,創(chuàng)新意識也會得到進(jìn)一步培養(yǎng),進(jìn)而核心素養(yǎng)也會得到發(fā)展.
筆者在蘇科版數(shù)學(xué)教材“函數(shù)”單元起始課的教學(xué)中,對學(xué)程重構(gòu)有一些收獲與思考,在此總結(jié)出來,希望對初中數(shù)學(xué)同行能夠起到拋磚引玉的作用.
1 以“問”為先,發(fā)展高階思維的深度
1.1 創(chuàng)設(shè)情境
教師到學(xué)校之前,先到加油站加油.
情境1:在加油站拍攝的畫面如圖1,
在加油機(jī)給汽車加油的過程中,涉及幾個量?哪些量保持不變?哪些量是變化的?
情境2:加完油,在汽車行駛的過程中,哪些量保持不變?哪些量是變化的?
情境3:汽車油箱中原有油40 L,行駛過程中每小時耗油5 L,若行駛的時間為x h,油箱中剩余的油量為Q L.行駛過程中哪些量是變化的?哪些量沒有變化?
在以上三個情境中出現(xiàn)的量,有些量保持不變,有些量發(fā)生變化,為了區(qū)別這兩種量,我們把它們分別叫做常量和變量.
在某一變化過程中,數(shù)值保持不變的量叫做常量.
在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.
找一找:
(1)在圓的周長公式C=πd中,常量是,變量是.
(2)若彈性測力儀原來的長度為10 cm,每1 kg的重物使彈簧伸長0.5 cm,則含重物質(zhì)量m(單位:kg)的彈簧測力儀的長度為l(單位:cm),常量是,變量是.
師:判斷一個量是常量還是變量,需要看兩個方面.①看它是否存在于一個變化過程中;②看它在這個過程中的取值情況.
說一說:你能舉出生活中某些變化的例子嗎?并指出其中的常量和變量.
1.2 探索活動一:感受新知
探究1:生活中存在許多常量和變量,例如,水庫蓄水的問題.
已知水庫(如圖2)的水位與蓄水量情況如表1所示:
表1中有哪些量?它們是常量還是變量?水位高低與水庫的蓄水量有什么關(guān)系?
這些數(shù)據(jù)已讓我們更清楚地感受到這兩個量的變化.根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以判斷當(dāng)水位高度一定時蓄水量確定嗎?
對于給定的每一個水位,蓄水量都有幾個值與它對應(yīng)?
對于給定的每一個水位,蓄水量都有唯一的值與它對應(yīng).
因此,工作人員可以根據(jù)測得的水位,及時報告水庫蓄水量.
探究2:老師看到水庫里小魚游來游去,想到一個搭小魚的游戲.
如圖3,搭一條小魚需要幾根火柴棒?搭兩條呢?搭三條呢?你有什么發(fā)現(xiàn)?
你能說出我們搭小魚過程中的常量和變量嗎?
火柴的根數(shù)s與小魚的條數(shù)n這兩個變量間有什么關(guān)系?
這兩個變量有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢?
請同學(xué)們用剛才分析問題的方法思考一下!
按這樣的方式,如果想搭4條小魚,需要多少根火柴棒?你有什么發(fā)現(xiàn)?
在搭小魚的過程中,當(dāng)小魚條數(shù)確定時,所需火柴的根數(shù)確定嗎?
設(shè)小魚條數(shù)為n,火柴根數(shù)為s.
n=1時,s=8;n=2時,s=14;n=3時,s=20;小魚條數(shù)為n時,s=8+6(n-1).
給定小魚的條數(shù),所需火柴根數(shù)對應(yīng)幾個值?小魚條數(shù)每取一個值時,所需火柴的根數(shù)就有唯一的值與它對應(yīng).
探究3:波紋問題.如圖4,在平靜的水面上擲一枚石子,會形成波紋.
變化中的波紋可看作是一個不斷向外擴(kuò)展的圓.
這個過程中,變量有哪些?請你嘗試描述變化中圓的面積與其半徑大小之間的關(guān)系.
如果圓的半徑是10 cm,那么圓的面積確定嗎?唯一確定嗎?圓的面積隨半徑的變化而變化,當(dāng)半徑確定時,圓的面積也隨之確定.當(dāng)半徑每取一個值時,圓的面積就有唯一的值與它對應(yīng).
2 以“學(xué)”為本,重構(gòu)高階思維的學(xué)程體系
2.1 歸納變化過程中的共同特征,抽象出函數(shù)概念
小組交流:
回顧上述幾個生活實例,盡管它們反映的實際問題不一樣,但是具有一些共同點,你能找出來嗎?這些變化過程有哪些共同之處?(和小組同伴交流,共同完成.)
上述三個實際問題的共同點:
都有兩個變量,可用x,y來表示;
其中一個變量隨另一個的變化而變化;當(dāng)x取定一個值時,y都有唯一確定的值與之對應(yīng).
當(dāng)一個變化過程中兩個變量具有上述基本特征時,我們就說它們之間具有函數(shù)關(guān)系.
抽象得到函數(shù)的概念:
一般地,如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱x是自變量,y是x的函數(shù).
回頭看前面的實例,現(xiàn)在可以用函數(shù)的思想來理解其中兩個變量間的關(guān)系了嗎?
在水庫蓄水過程中,蓄水量是水位的函數(shù);
在搭小魚的過程中,所用火柴根數(shù)是小魚條數(shù)的函數(shù);
在波紋逐漸變化的過程中,圓的面積是半徑的函數(shù).
2.2 探索活動
活動二:鞏固新知
同學(xué)們的思維真活躍,說明大家對函數(shù)已有了一定的認(rèn)識,讓我們在熟悉的問題中進(jìn)一步加深對函數(shù)的理解.
探究4:觀察圖5中的程序,當(dāng)x=1時,對應(yīng)y的值是?當(dāng)x=2時,y的值是?當(dāng)x=-1時,y的值是?這個變化過程中,有幾個變量?是哪幾個變量?
輸入一個實數(shù)x,便可輸出一個相應(yīng)的實數(shù)y,請問y是x的函數(shù)嗎?
如何判斷呢?要看是不是兩個變量,一個變量隨著另一個變量的變化而變化,當(dāng)一個變量確定時,另一個變量也隨之確定.
看來同學(xué)們都在認(rèn)真地思考,努力地學(xué)習(xí).相信下面的問題也難不倒你們.
探究5:既然同學(xué)們這么深刻地理解了函數(shù),讓我們從函數(shù)的角度去看看中國古代的一種計時工具——“沙漏”(如圖6).(教者展示實物.)
“沙漏”是我國古代一種計時工具,它根據(jù)一個容器里的細(xì)沙漏到另一個容器中的數(shù)量來計算時間.在變化過程中,有哪幾個變量?請說出這個變化過程中的自變量.
該變化過程中有兩個變量:漏到另一容器中細(xì)沙的數(shù)量和經(jīng)過的時間.
其中自變量是漏到另一容器中細(xì)沙的數(shù)量.
設(shè)計意圖:強(qiáng)化變量和函數(shù)的概念,讓學(xué)生體會許多問題中的變量之間都存在著函數(shù)關(guān)系.
3 以“創(chuàng)”為準(zhǔn),實施高階思維的育人策略
小組活動:如圖6,用10 m長的繩子圍成長方形.在這個背景下,你能設(shè)計出存在函數(shù)關(guān)系的問題嗎?
上述每個問題中的兩個變量都是互相聯(lián)系的,當(dāng)其中一個變量取定一個值時,另外一個變量都有唯一確定的值與之對應(yīng).
小結(jié)提升:學(xué)習(xí)了本節(jié)課,你對函數(shù)有怎樣的認(rèn)識?你還有哪些疑惑?
我們生活在變化的世界里,函數(shù)揭示了變量之間的關(guān)系.
希望同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)好函數(shù)的知識,進(jìn)而用函數(shù)的思想認(rèn)識事物運(yùn)動變化的過程.世間萬物皆相通,事件前后皆因果.希望同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.學(xué)好函數(shù),用好函數(shù).將使我們一生受益.