基于示波器的陀螺進(jìn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

王 悅,孫子堯,王 波,王新義,劉 洋,王亞平

(銅陵學(xué)院 電氣工程學(xué)院,安徽 銅陵 244000)

引言

進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象應(yīng)用十分廣泛,如陀螺儀、中國自主研發(fā)的單框架力矩陀螺、地球產(chǎn)生的歲差、自行車的拐彎等科技上和生活中常見現(xiàn)象都與進(jìn)動(dòng)相關(guān)[1-5]。從廣義上說剛體能繞某一軸持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)此軸又繞另一交匯軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)就稱為剛體的進(jìn)動(dòng)(precession)。工程上經(jīng)常將繞著固定點(diǎn)高速自轉(zhuǎn)(rotation)的對(duì)稱剛體稱為陀螺。玩具陀螺高速自轉(zhuǎn)時(shí),可以看成對(duì)稱剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng),會(huì)出現(xiàn)如圖1和圖2所示的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象。陀螺進(jìn)動(dòng)的研究多數(shù)是單獨(dú)計(jì)算自轉(zhuǎn)和進(jìn)動(dòng)[6-8],而自傳和進(jìn)動(dòng)往往都是同時(shí)進(jìn)行的,此類方式得到的結(jié)果誤差較大。少量設(shè)計(jì)涉及到自轉(zhuǎn)角速度和進(jìn)動(dòng)角速度關(guān)系的探討以及驗(yàn)證,如文獻(xiàn)[9]。

圖1 進(jìn)動(dòng)一

圖2 進(jìn)動(dòng)二

文獻(xiàn)[9]中利用激光器和光敏電阻設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)探究了自轉(zhuǎn)和進(jìn)動(dòng)角速度關(guān)系,但由于光敏電阻和激光器相互作用需要反應(yīng)時(shí)間,因而有可能會(huì)增大誤差。本文將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)化,利用示波器,結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律以玩具陀螺為研究對(duì)象,探討陀螺進(jìn)動(dòng)時(shí)的基本規(guī)律。

1 理論分析

1.1 進(jìn)動(dòng)一類型

從物理原理上對(duì)陀螺的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生原因做具體分析。圖1中陀螺在直立高速旋轉(zhuǎn)的過程中如果沒有摩擦力,那么就會(huì)一直旋而不倒,因?yàn)橥勇葚Q直狀態(tài)下重力和支持力的合力矩為零。但是由于現(xiàn)實(shí)中存在摩擦力,陀螺在直立旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間后就會(huì)因?yàn)槭艿街亓Χa(chǎn)生傾倒,一旦傾倒,陀螺自轉(zhuǎn)的軸與豎直方向的軸就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)夾角θ,如圖3所示。重力力矩可以表示為:

(1)

圖3 進(jìn)動(dòng)力矩分析

圖4中將角動(dòng)量和角動(dòng)量的變化投影到進(jìn)動(dòng)繞行的圓周上,可以得到幾何關(guān)系

(2)

所以

(3)

圖4 進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量分析

同時(shí)由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知

(4)

所以

mgrsinθ=ω′Jωsinθ

(5)

因而

(6)

1.2 進(jìn)動(dòng)二類型

對(duì)圖2的陀螺可以進(jìn)行類似分析,如圖5所示。當(dāng)陀螺的軸繞著豎直方向的軸在旋轉(zhuǎn)時(shí),因?yàn)橛兄亓α氐拇嬖诰蜁?huì)有一個(gè)與角動(dòng)量垂直的角動(dòng)量變化,同樣可以把角動(dòng)量投影到進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的圓周上進(jìn)行分析,可以得到與(5)式相同的結(jié)果,從而可以得到與(6)式類似的關(guān)系。此關(guān)系說明陀螺自轉(zhuǎn)的角速度為ω,進(jìn)動(dòng)的角速度為ω′,滿足乘積為一定值,此定值與陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J相關(guān)。

圖5 進(jìn)動(dòng)理論分析

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)測量

為驗(yàn)證理論分析的正確性設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)裝置,如圖6所示。為了測出自轉(zhuǎn)和進(jìn)動(dòng)角速度,在陀螺上對(duì)稱貼上3個(gè)小磁片,如圖7所示,當(dāng)陀螺高速旋轉(zhuǎn)并做進(jìn)動(dòng)時(shí),3個(gè)磁片會(huì)隨著陀螺一起旋轉(zhuǎn),就會(huì)產(chǎn)生周期性變化的磁場,當(dāng)周期性變化的磁場經(jīng)過螺線管上方,螺線管內(nèi)部將產(chǎn)生周期性變化的感應(yīng)電流,通過示波器可以實(shí)時(shí)地把電流的變化波形顯示出來。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置

圖7 安裝磁片的陀螺

通過(6)式可以得出

(7)

在(7)式中m為陀螺質(zhì)量m1與三個(gè)磁片3m2之和,r為陀螺質(zhì)心到豎直繩的距離,實(shí)驗(yàn)中測得m1=44.7 g,3m2=1 g,r=3.6 cm,那么通過上述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)測得自轉(zhuǎn)的角速度為ω,進(jìn)動(dòng)的角速度為ω′,代入(7)式就能算出陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值,實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 實(shí)驗(yàn)測量陀螺自轉(zhuǎn)周期、進(jìn)動(dòng)周期、角速度關(guān)系及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖8是通過表1數(shù)據(jù)擬合出的自轉(zhuǎn)角速度與進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量之間的數(shù)量關(guān)系,發(fā)現(xiàn)自轉(zhuǎn)角速度與進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量滿足反比例關(guān)系,所以兩者乘積為一定值。這與前面理論分析相符合。

圖8 自轉(zhuǎn)角速度與進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量數(shù)量關(guān)系

2.2 誤差分析

圖7中r1為陀螺半徑,r2為陀螺質(zhì)心到磁片中心的距離,由平行軸定理可寫出陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算式:

(8)

實(shí)驗(yàn)中測得:r1=2.3 cm,r2=1.8 cm,代入(8)式可得

=1.241 2×10-5

(9)

表1中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平均值為1.249 7×10-5kg·m2,由(9)式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值1.241 2×10-5kg·m2,相對(duì)誤差為

(10)

B類不確定度為

(11)

因此最終可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值為

J=(1.2497±0.02)×10-5kg·m2

3 結(jié)果討論

本文提出了一種利用法拉第電磁感應(yīng)定律加上示波器測試陀螺進(jìn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)方案。首先,通過理論推導(dǎo)得出有摩擦力的情況下,陀螺進(jìn)動(dòng)時(shí)其進(jìn)動(dòng)角速度和自傳角速度的一般規(guī)律。其次,通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)比了陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值和實(shí)驗(yàn)數(shù)值,兩者的相對(duì)誤差為0.68%,說明了理論分析的正確性和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的合理性。本設(shè)計(jì)的物理原理與實(shí)驗(yàn)裝置,可以應(yīng)用到其他類似的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量實(shí)驗(yàn)中。