基于量綱分析法的動能彈侵徹深度計算公式

戴銀所

(陸軍工程大學(xué) 國防工程學(xué)院,江蘇 南京 210007)

動能彈侵徹研究多集中在中低速范圍,相關(guān)實驗研究及經(jīng)驗公式、理論模型和數(shù)值模擬等已初成體系[1,2]。目前各國防護手冊中侵徹深度的計算公式大都擬合自實驗數(shù)據(jù),其形式不同,各自適用范圍和條件也有差別,具有簡便、實用、在其適用范圍內(nèi)準(zhǔn)確性高等優(yōu)點,但也存在適用條件有限、局限性較大的缺點[3-5]。

量綱分析法又稱因次分析法,以量綱齊次方程為理論基礎(chǔ),其優(yōu)點是可以不局限于已知微分方程的物理現(xiàn)象,尤其適合分析機理尚未知、規(guī)律尚未掌握的復(fù)雜現(xiàn)象[6-8]。量綱分析法有助于確定關(guān)鍵控制因素,弄清蘊含在實驗結(jié)果中的本質(zhì)性規(guī)律。雖然量綱分析法在控制因素選擇上具有一定主觀性和假定性,但最終都需要得到盡可能多實驗驗證[9,10]。

本文基于能量守恒和轉(zhuǎn)化定律以及動能原理,采用量綱分析法,依托布氏硬度計算公式,推導(dǎo)動能彈侵徹深度計算公式,并提出侵徹效率和侵徹效率系數(shù)的概念。分別選取動能彈中低速侵徹巖石、金屬和混凝土的文獻數(shù)據(jù),計算侵徹效率系數(shù)和侵徹效率,通過評價侵徹效率與速度之間的相關(guān)性,判定動能彈侵徹深度計算公式的合理性。

1 侵徹深度計算公式推導(dǎo)

根據(jù)各類經(jīng)典理論和大量研究可知,彈體在侵徹過程中,對侵徹破壞效果產(chǎn)生影響的因素有:彈體的速度、質(zhì)量、尺寸、密度、強度、彈性模量,靶體的強度、內(nèi)摩擦角,以及彈靶之間摩擦等[11]。

靶體特征阻力反映靶體材料抵抗侵徹的固有能力,但不同文獻的取值方法不同,一般采用靶體材料的單軸抗壓強度[12],其表示單位面積所受到的力。而動能彈侵徹可以認(rèn)為是以球面點開始受力的一種局部作用[13],所以用材料硬度表征材料抗侵徹的能力更準(zhǔn)確[14,15]。從細(xì)觀尺度上來說,巖石和混凝土是非均質(zhì)材料、各向異性,表面測出的硬度值不能表征材料內(nèi)部的真實硬度,因此沒有硬度指標(biāo)。但它們的硬度與抗壓強度正相關(guān),故可以借助抗壓強度來描述其抗侵徹能力[16,17]。推導(dǎo)過程如下:

①確定函數(shù)表達式。

侵徹破壞效果以侵徹深度h表示,與彈體材料密度ρ、彈性模量E、質(zhì)量m、速度v、彈徑尺寸d,以及靶體的硬度H、容重γ、泊松比μ、內(nèi)摩擦角φ之間關(guān)系可表達為:

f(m,v,d,ρ,E,H,h,γ,μ,φ)=0

(1)

②確定主要影響因素。

動能彈侵徹試驗一般用金屬彈丸模擬動能武器?？紤]到試驗彈丸使用的合金鋼與動能武器材料基本一致,故彈體的材料性能參數(shù)如E、ρ皆認(rèn)為為常數(shù),即相似比為1;φ和μ是無量綱物理量;對于巖石、金屬、混凝土靶體,容重相似比易于實現(xiàn)為1。因此,為了降低運算難度和運算量,認(rèn)為彈體的E、ρ,靶體材料的γ、μ、φ等參數(shù)是常數(shù),確定影響侵徹效果的主要因素是m、v、d、H,從而建立如下關(guān)于侵徹深度的函數(shù)表達式:

f(m,v,d,H,h)=0

(2)

③寫出因次式。

采用量綱分析法建立常數(shù)K的因次式:

K=mavbdcHehg

(3)

式中:a、b、c、e、g都是不為0的整數(shù)。

④解出因次式的一般式。

常用物理量的量綱如表1所示,將其帶入式(3),得:

表1 常用物理量的量綱Table 1 Dimensions of common physical quantities

K=[M]a[L]b[T]-b[L]c[M]e[L]-e[T]-2e[L]g

(4)

量綱合并得:

K=[M]a+e[L]b+c-e+g[T]-b-2e

(5)

由于K為常數(shù),等式為無量綱,所以有:

(6)

由于a、b、c、e、g都是不為0的整數(shù),故可以令a=1,解得e=-1、b=2。即:

2+c+1+g=0

(7)

由此,可以得到兩組最簡單解:

進而可以建立2個一般式,分別是:

(8)

(9)

硬度是描述材料局部抵抗硬物壓入其表面的能力,其中布氏硬度HB采用一定直徑(1～10 mm)淬硬鋼球壓入材料表面測量,這與動能彈彈頭侵徹材料過程基本相似。根據(jù)布氏硬度計算公式可知,當(dāng)鋼球壓入材料深度超過半徑時,硬度計算式為[18]:

(10)

式中:F為侵入壓力,A為受力面積(對于球體來說就是球冠的面積),d為鋼球直徑。

鋼球侵入壓力對材料所做的功等于侵入壓力侵徹深度的積,當(dāng)彈體靜止時侵徹壓力為零,故平均侵徹壓力取F/2。

則侵徹壓力做功:

EF=h×F/2=πd2hHB/4

(11)

為了與式(8)和式(9)中的硬度H一致,上式改寫為:

EF=πd2hH/4

(12)

因此,式(9)分母具有動能彈壓力做功的物理意義。將式(12)代入式(9)得:

(13)

式(13)繼續(xù)變形,得:

(14)

式(9)可以變形為彈體侵徹深度的表達式:

(15)

式中:侵徹效率系數(shù)K包含了彈體材料性能、彈頭性狀、長徑比、侵入角度等因素。

2 文獻實驗數(shù)據(jù)驗算

巖石、金屬、混凝土是3類最常使用的防護材料,本節(jié)利用推導(dǎo)的侵徹深度計算公式對半球形或近半球形彈體的多組文獻試驗數(shù)據(jù)進行侵徹效率計算,并對計算結(jié)果的有效性進行評價。

2.1 侵徹巖石

由于巖石是脆性材料,難以采用布氏硬度試驗方法測量其布氏硬度,一般用堅固性系數(shù)來表示巖石抵抗外力破壞的能力,即普氏硬度系數(shù),其值為巖石標(biāo)準(zhǔn)試樣的單向極限抗壓強度值的十分之一。用該值來描述巖石破碎抗力具有足夠高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性[20,21]。

①第一組:對文獻[22]開展的巖石侵徹深度實驗數(shù)據(jù)進行侵徹效率系數(shù)和侵徹效率計算,已知其彈頭系數(shù)CRH為3,計算結(jié)果如表2所示。由于速度超過900 m/s時彈體出現(xiàn)了嚴(yán)重失穩(wěn),發(fā)生跳彈,故本文僅對速度不超過900 m/s的數(shù)據(jù)進行計算。

表2 文獻[22]侵徹效率計算Table 2 Calculated penetration efficiency of reference [22]

從表2可以看到:速度在332～839 m/s范圍時,侵徹效率系數(shù)在75.43～144.56范圍內(nèi),侵徹效率約為1.35%～2.08%;在相同彈體參數(shù)的情況下,侵徹效率隨速度的增加而逐漸降低。

不區(qū)分彈徑,將表2中所有的速度與侵徹效率進行擬合得:K=-0.001 6v+2.424 3,擬合公式的可決系數(shù)R2=0.913,說明侵徹效率與彈丸速度之間具有很好的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

區(qū)分15 mm、20 mm兩種不同彈徑,分別進行擬合,則結(jié)果為:

(16)

兩種彈徑擬合公式的可決系數(shù)R2分別為0.965 9和0.930 9,都大于不區(qū)分彈徑的可決系數(shù),即表明同一種參數(shù)的彈進行侵徹試驗,侵徹效率與彈丸速度之間的負(fù)相關(guān)性會更好。這兩種不同規(guī)格彈體侵徹效率與速度之間擬合公式的一致性非常好,兩個擬合公式的系數(shù)離散性很小,說明本文推導(dǎo)出的動能彈侵徹深度計算公式具有合理性。

②第二組:對文獻[23]中模型彈在巖石介質(zhì)中成坑效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)進行分析,已知其彈頭系數(shù)CRH為3,計算結(jié)果如表3所示。

表3 文獻[23]侵徹效率計算Table 3 Calculated penetration efficiency of reference [23]

從表3可以看到:速度在315～829 m/s時,計算出侵徹效率系數(shù)在69.18～131.47范圍內(nèi),侵徹效率約為1.19%～2.27%,在相同彈體參數(shù)的情況下,侵徹效率隨速度增加而逐漸降低。

將速度與侵徹效率進行擬合得:K=-0.002 1v+2.749 1,可決系數(shù)R2=0.907 7,說明侵徹效率與彈丸速度之間有很好的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

文獻[22]和[23]采用不同規(guī)格彈丸和靶體進行侵徹巖石試驗,侵徹效率與速度擬合公式的系數(shù)離散性也很小。

2.2 侵徹金屬

金屬材料的硬度與強度一般存在正比例關(guān)系,抗拉強度一般約為布氏硬度的3倍[24],如碳素鋼的抗拉強度為其布氏硬度的3.5～3.6倍。

文獻[25]中試驗靶板使用4340鋼(其布氏硬度在280～320 MPa范圍,本文取300 MPa),彈體外徑為7 mm,彈頭形狀均為半球頭(彈頭系數(shù)CRH為0.5)的實驗數(shù)據(jù)進行分析,結(jié)果如表4所示。靶板使用6061-T651鋁合金(布氏硬度約100 MPa),彈體外徑為7 mm,分別選用彈頭形狀為半球頭(彈頭系數(shù)CRH為0.5)和截卵頭(彈頭系數(shù)CRH為3)的實驗數(shù)據(jù)進行分析,結(jié)果如表5所示。由于速度超過3 200 m/s時彈體在自由飛行過程中出現(xiàn)顯著的彎曲現(xiàn)象,或侵徹過程中出現(xiàn)明顯斷裂,故選取速度在3 000 m/s以內(nèi)的數(shù)據(jù),并剔除擊穿靶體的試樣。

表4 文獻[25]4340鋼靶侵徹效率計算Table 4 Calculated penetration efficiency into 4340 steel target of reference [25]

表5 文獻[25]6061-T651鋁靶侵徹效率計算Table 5 Calculated penetration efficiency into 6061-T651 aluminum target of reference [25]

表4可以看到:侵徹效率系數(shù)在77.32～139.59范圍,侵徹效率約為1.13%～2.03%;在相同彈體參數(shù)情況下,侵徹效率隨速度增加而逐漸增加。針對三種彈徑相同、質(zhì)量不等的彈丸所有試驗數(shù)據(jù)進行擬合得:K=0.000 9v+0.509 3,R2=0.538 4;對彈徑相同、質(zhì)量也相近的第2、3組數(shù)據(jù)進行擬合,得:K=0.001v+0.576 9,R2=0.879 7,相關(guān)性更好。

對三種不同的彈體分別進行擬合,93W彈芯數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果為:K=0.000 6v+0.617 4,R2=0.744 9;3W/1060Al夾心彈數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果為:K=0.000 9v+0.685 4,R2=0.849 1;93W/TC4夾心彈數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果為:K=0.001 1v+0.421 8,R2=0.932。結(jié)果表面同一批試驗中侵徹效率與彈丸速度之間有很好的正相關(guān)關(guān)系。

采用三種不同規(guī)格彈丸侵徹相同靶體時,侵徹效率與速度之間擬合公式的系數(shù)離散性也較小。

從表5可知:侵徹效率系數(shù)在32.92～222.34范圍,侵徹效率約為0.71%～4.77%。當(dāng)著靶速度大于2 000 m/s時,侵徹效率都小于1%。這是因為隨著著靶速度增加,存在最大侵徹效率,這時候除了靶體抗壓強度以外,彈體長徑比、彈體材料強度及機械性能對侵徹效率的影響逐漸突顯[26]。因此本文選用的侵徹巖石、混凝土文獻其彈頭著靶速度基本都在1 000 m/s以內(nèi)。

將速度與侵徹效率進行擬合,半球頭彈芯的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為:K=-0.001 3v+3.692 8,R2=0.857 1;截卵頭彈芯數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果為:K=-0.001 8v+4.914 2,R2=0.705 4。說明侵徹效率與速度之間有較好的負(fù)相關(guān)關(guān)系。這兩組試驗結(jié)果的擬合公式之間具有較好的一致性,擬合公式的系數(shù)離散性較低。

針對2組數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果為:K=-0.001 6v+4.374 3,R2=0.707 3。說明其他參數(shù)都相同時,雖然截卵頭侵徹效率稍大于半球頭的侵徹效率,彈芯采用半球頭和截卵頭對中低速彈丸侵徹效果影響不明顯。

2.3 侵徹混凝土

由于混凝土是非均質(zhì)材料,沒有硬度指標(biāo);但可以通過回彈法測試混凝土的抗壓強度;其實回彈法測試得出的混凝土強度就是混凝土的布氏硬度,低強度時其值一般約為抗壓強度的1.1倍[17,27,28]。

文獻[10]開展了中長桿射彈侵徹混凝土實驗,其彈頭系數(shù)CRH為3;結(jié)合文獻[9]可知:10 mm、20 mm彈試驗時混凝土靶抗壓強度值為16.5 MPa;40 mm彈試驗時混凝土靶抗壓強度值為30.0 MPa。20 mm彈,10 mm、40 mm彈侵徹混凝土的侵徹效率系數(shù)K、侵徹效率計算結(jié)果分別如表6和表7所示。

表6 文獻[10]20 mm彈侵徹混凝土侵徹效率計算Table 6 Calculated penetration efficiency of 20 mm projectile into concrete of reference [10]

表7 文獻[10]10 mm、40 mm彈侵徹混凝土侵徹效率計算Table 7 Calculated penetration efficiency of 10 mm,40 mm projectile into concrete of reference [10]

從表6可以看到:速度在206～657 m/s時,侵徹效率系數(shù)在18.49～31.47范圍內(nèi);侵徹效率約為5.0%～8.49%。侵徹效率隨速度增加而逐漸降低。對該數(shù)據(jù)進行擬合,得:K=-0.007 6+9.304 7,R2=0.774 1,這說明侵徹效率與速度之間有較好的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

從表7可以看到:速度在330～831 m/s范圍時,侵徹效率系數(shù)在12.08～34.99范圍;侵徹效率約為4.49%～13.0%。同一種彈體,的侵徹效率隨速度增加而逐漸降低。

對直徑為10 mm的彈體侵徹混凝土數(shù)據(jù)進行擬合,結(jié)果為:K=-0.005 2v+7.961 6,R2=0.605 8(去除了彈體質(zhì)量為56.5 g的數(shù)據(jù));直徑為40 mm的彈體侵徹混凝土數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為:K=-0.009v+15.226,R2=0.982 5。說明侵徹效率與彈丸速度之間有較好的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

不同彈體(10 mm和20 mm彈體)侵徹同一種靶體時,擬合公式系數(shù)離散性較低,變異系數(shù)為0.19。

3 結(jié)論

①采用量綱分析法,推導(dǎo)出動能彈侵徹深度計算公式,并提出侵徹效率和侵徹效率系數(shù)的概念。

②分別利用中低速半球形和截卵形彈頭動能彈侵徹巖石、高強鋼、鋁合金、混凝土文獻試驗數(shù)據(jù),計算出它們的侵徹效率分別在1.19%～2.27%、1.13%～2.03%、0.71%～4.77%和4.49%～13.0%區(qū)間。

④動能彈侵徹巖石、金屬、混凝土試驗中,除了侵徹4340高強鋼侵徹效率與彈丸速度之間是正相關(guān)關(guān)系,其余都具有負(fù)相關(guān)關(guān)系;同一型號彈進行試驗時,侵徹深度與速度之間的擬合方程,可決系數(shù)最高達到0.98。

④在同一試驗平臺,采用相同靶體材料,使用不同規(guī)格彈丸進行試驗時,侵徹效率與速度之間擬合公式的系數(shù)離散性較小。