基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)

孫 剛,張 威,來(lái) 燃,章 濤

(中國(guó)民航大學(xué)天津市智能信號(hào)與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300300)

0 引 言

機(jī)載陣列雷達(dá)一般處于下視工作狀態(tài),面臨比地基雷達(dá)更為嚴(yán)重的地雜波問(wèn)題,目標(biāo)信號(hào)常常被淹沒(méi)在強(qiáng)雜波背景中,而且由于平臺(tái)運(yùn)動(dòng),不同方位的雜波呈現(xiàn)出空時(shí)耦合特性,目標(biāo)檢測(cè)能力受到嚴(yán)重影響[1]?？諘r(shí)自適應(yīng)處理(STAP)通過(guò)空域和時(shí)域二維聯(lián)合自適應(yīng)濾波,有效濾除機(jī)載雷達(dá)地雜波,實(shí)現(xiàn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)[2]。采用STAP技術(shù)抑制雜波并檢測(cè)出運(yùn)動(dòng)目標(biāo)后,需要對(duì)目標(biāo)的空時(shí)二維參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[3],為后續(xù)目標(biāo)定位、跟蹤和識(shí)別提供有效的參數(shù)信息。傳統(tǒng)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法主要是基于最大似然準(zhǔn)則的二維參數(shù)搜索方法,這種方法的估計(jì)精度與搜索步長(zhǎng)有關(guān),運(yùn)算量較大[4]。

近年來(lái),稀疏恢復(fù)成為信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[5-7]。稀疏恢復(fù)利用信號(hào)的稀疏先驗(yàn),通過(guò)構(gòu)造合適的信號(hào)稀疏模型,可從少量觀測(cè)樣本中高精度恢復(fù)出原始的稀疏信號(hào),為機(jī)載陣列雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)提供新的研究方向[8]。基于稀疏恢復(fù)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法利用目標(biāo)回波的空時(shí)功率譜在角度-多普勒域上的稀疏特性,通過(guò)合適的稀疏恢復(fù)方法對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),進(jìn)而估計(jì)出目標(biāo)的空時(shí)二維參數(shù)。文獻(xiàn)[4]使用基追蹤(BP)算法對(duì)無(wú)雜波回波數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù),實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[8]采用正交匹配追蹤(OMP)方法對(duì)雷達(dá)回波數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù),實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)多普勒頻率的估計(jì)。

目前大多數(shù)基于稀疏恢復(fù)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法將目標(biāo)參數(shù)空間對(duì)應(yīng)的空時(shí)平面離散地劃分為有限個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)構(gòu)建空時(shí)導(dǎo)向矢量字典,當(dāng)目標(biāo)真實(shí)參數(shù)沒(méi)有落在空時(shí)平面網(wǎng)格點(diǎn)上,即存在字典失配時(shí),稀疏恢復(fù)性能下降[9-13]。為此,文獻(xiàn)[10-12]提出基于失配校正模型的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(OGSBI)方法。然而,上述針對(duì)字典失配問(wèn)題的參數(shù)估計(jì)方法所使用的誤差補(bǔ)償模型基于一階泰勒級(jí)數(shù)近似得到,當(dāng)字典網(wǎng)格間隔較大時(shí),模型近似誤差增大。文獻(xiàn)[14]提出利用全變分范數(shù)直接在連續(xù)參數(shù)空間上對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu),解決了稀疏恢復(fù)中的字典失配問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]提出了基于原子范數(shù)最小化(ANM)的稀疏恢復(fù)方法,并將ANM等價(jià)轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃(SDP)問(wèn)題的求解,實(shí)現(xiàn)頻譜稀疏信號(hào)的精確恢復(fù)和頻率的超分辨率估計(jì)。文獻(xiàn)[16-17]通過(guò)將觀測(cè)數(shù)據(jù)矢量化處理以及對(duì)塊Toeplitz矩陣的范德蒙德分解,提出了解決二維頻率估計(jì)問(wèn)題的ANM方法,為字典失配情況下的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)提供了嶄新的思路。本文針對(duì)參數(shù)稀疏恢復(fù)中的字典失配問(wèn)題,利用目標(biāo)回波的空時(shí)功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性,提出了一種基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法。仿真結(jié)果表明,本文方法在字典失配情況下的參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于已有基于字典網(wǎng)格的稀疏恢復(fù)參數(shù)估計(jì)方法。

1 信號(hào)模型

考慮采用均勻線陣的機(jī)載陣列雷達(dá),如圖1所示。陣列天線由M個(gè)陣元組成,陣元間距d=λ/2,λ為雷達(dá)工作波長(zhǎng)。載機(jī)平臺(tái)高度為H,且沿y軸運(yùn)動(dòng),速度為vp,θ、φ分別為散射點(diǎn)P的俯仰角和方位角。雷達(dá)在一個(gè)相干處理間隔(CPI)內(nèi)發(fā)射K個(gè)脈沖,脈沖重復(fù)頻率為fr。假設(shè)待檢測(cè)單元內(nèi)最多存在一個(gè)目標(biāo),則該距離單元對(duì)應(yīng)的空時(shí)快拍數(shù)據(jù)xpri∈MK×1可以寫(xiě)成

圖1 機(jī)載雷達(dá)陣列幾何結(jié)構(gòu)

xpri=xt+xc+xn

(1)

式中:xt為目標(biāo)分量;xc為雜波分量;xn為噪聲分量;表示復(fù)數(shù)空間。xt可表示為

xt=γta(ft)=γtad(fd,t)?as(fs,t)

(2)

式中:γt表示目標(biāo)回波復(fù)幅度;a(ft)∈MK×1,表示目標(biāo)空時(shí)導(dǎo)向矢量;?表示Kronecker積?？沼?qū)蚴噶縜s(fs,t)∈M×1定義為

as(fs,t)=[1,ej2πfs,t,…,ej2π(M-1)fs,t]T

(3)

時(shí)域?qū)蚴噶縜d(fd,t)∈K×1定義為

ad(fd,t)=[1,ej2πfd,t,…,ej2π(K-1)fd,t]T

(4)

式中:fs,t和fd,t分別為目標(biāo)的歸一化空間頻率和歸一化多普勒頻率。

當(dāng)目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),其歸一化空間頻率為

(5)

式中:φt、θt分別為目標(biāo)的方位角和俯仰角。

歸一化多普勒頻率為

(6)

式中:vt為目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的徑向速度。

2 基于固定離散字典模型的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)及字典失配問(wèn)題

2.1 基于固定離散字典模型的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)

基于固定離散字典稀疏恢復(fù)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法將目標(biāo)的空時(shí)二維參數(shù)——方位角和速度空間均勻離散地劃分為Ns×Nd個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),對(duì)應(yīng)的方位角參數(shù)空間和速度參數(shù)空間分別為{φ1,φ2,…,φNs}和{v1,v2,…,vNd},則離散化的空時(shí)導(dǎo)向矢量字典可以表示為

Φ=[a1,a2, …,aNsNd]=Vd(fd)?Vs(fs)

(7)

式中:Vs(fs)、Vd(fd)分別為空域?qū)蚴噶孔值浜蜁r(shí)域?qū)蚴噶孔值?即

Vs(fs)=

(8)

(9)

式(1)中空時(shí)快拍數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)雜波抑制[16]后,包含待估參數(shù)的目標(biāo)觀測(cè)x的稀疏恢復(fù)模型可以表示為

x=Φξ+n

(10)

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξNsNd]T,為稀疏恢復(fù)支撐集向量,其每一個(gè)非零元素對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)參數(shù);n為噪聲分量。根據(jù)稀疏恢復(fù)理論,支撐集向量ξ可以通過(guò)以下最優(yōu)化方法獲得。

(11)

式中:‖·‖0表示0范數(shù);‖·‖2表示2范數(shù);ε表示稀疏恢復(fù)允許誤差。

通過(guò)稀疏恢復(fù)方法獲得支撐集向量ξ后,目標(biāo)的空時(shí)二維參數(shù)可以由ξ中絕對(duì)值最大的非零元素位置所對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量獲得。由于式(11)所示的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式難題(NP-hard),可以通過(guò)其松弛方法求解,如文獻(xiàn)[4]使用BP方法進(jìn)行目標(biāo)參數(shù)稀疏恢復(fù)。

2.2 字典失配問(wèn)題

基于固定離散字典稀疏恢復(fù)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法中,字典由均勻離散化的目標(biāo)參數(shù)空間對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量構(gòu)成。如圖2所示,當(dāng)真實(shí)目標(biāo)沒(méi)有落在離散化的參數(shù)空間網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí),存在字典失配問(wèn)題,嚴(yán)重影響稀疏恢復(fù)性能。網(wǎng)格化方法構(gòu)造的字典不可避免地存在失配問(wèn)題,即目標(biāo)以較小概率位于網(wǎng)格點(diǎn)上。雖然縮小網(wǎng)格劃分間隔可增大目標(biāo)落入網(wǎng)格點(diǎn)的概率,但是過(guò)于密集的字典網(wǎng)格不僅會(huì)導(dǎo)致字典中相鄰原子之間的相關(guān)性過(guò)強(qiáng),稀疏恢復(fù)性能下降,而且字典的維數(shù)也會(huì)過(guò)大,運(yùn)算量大大增加[18]。

圖2 字典失配示意圖

3 基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)

針對(duì)基于固定離散字典稀疏恢復(fù)的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法存在的字典失配問(wèn)題,本文提出一種基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法。

目標(biāo)信號(hào)子空間可以由其空時(shí)導(dǎo)向矢量張成,回波數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣R可以分解為

(12)

連續(xù)目標(biāo)參數(shù)空間對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量的集合可以表示為原子集合A,即

A{a(f)|a(f)∈MK×1,f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=

{ad(fd)?as(fs),fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(13)

(14)

根據(jù)目標(biāo)回波的空時(shí)功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性以及低秩矩陣恢復(fù)理論,目標(biāo)信號(hào)xt可以通過(guò)其原子范數(shù)最小化估計(jì)獲得,即

(15)

(16)

式中:S(T)為K×K的塊Toeplitz矩陣,即

(17)

式中:Ti(1-K≤i≤K-1)為M×M的Toeplitz矩陣,即

(18)

本文算法的具體操作步驟如下:

步驟1 利用子空間投影技術(shù)[20]對(duì)待檢測(cè)單元數(shù)據(jù)進(jìn)行雜波抑制,得到雜波抑制后的數(shù)據(jù)x;

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,通過(guò)如下參數(shù)生成仿真數(shù)據(jù)。

天線陣為陣元數(shù)M=8的均勻線陣,陣元間距d=0.5λ,雷達(dá)工作波長(zhǎng)λ=0.23 m,相干脈沖數(shù)K=8,脈沖重復(fù)頻率fr=2 434.8 Hz,載機(jī)平臺(tái)高度H=8 000 m,載機(jī)速度vp=140 m/s, 180個(gè)雜波單元在0°～180°均勻分布,雜噪比CNR=40 dB,雷達(dá)距離分辨率為37.5 m。勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)處于待檢測(cè)單元內(nèi),位于方位角φt=90.01°處,目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的徑向速度vt=98.99 m/s。實(shí)驗(yàn)對(duì)比了本文方法、文獻(xiàn)[4]中的BP方法、文獻(xiàn)[8]中的OMP方法和文獻(xiàn)[12]中的OGSBI方法。OGSBI方法中最大迭代次數(shù)為2 000,超參數(shù)誤差最大值設(shè)置為1×10-3,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500次。

圖3對(duì)比了本文方法、OGSBI方法、BP方法和OMP方法在不同信噪比下的動(dòng)目標(biāo)空時(shí)二維頻率估計(jì)結(jié)果。其中,圖3a)為信噪比SNR=10 dB時(shí)的估計(jì)結(jié)果,圖3b)為SNR=20 dB時(shí)的估計(jì)結(jié)果。BP方法和OMP方法中網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)選取Ns=Nd=16,此時(shí)存在字典失配問(wèn)題。從圖3可以看出,當(dāng)存在字典失配問(wèn)題時(shí),BP方法和OMP方法會(huì)存在失配造成的估計(jì)誤差,OGSBI方法雖然不存在字典失配問(wèn)題,但其估計(jì)結(jié)果誤差仍相對(duì)較大,而本文方法在字典失配時(shí)仍能高精度估計(jì)參數(shù)。

圖3 動(dòng)目標(biāo)空時(shí)二維頻率估計(jì)結(jié)果比較

為了比較字典失配問(wèn)題在不同字典間隔情況下對(duì)BP方法的參數(shù)估計(jì)性能的影響,BP方法中網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)分別選取為Ns=Nd=256,Ns=Nd=64,Ns=Nd=16,三種網(wǎng)格劃分方式均存在字典失配問(wèn)題,且對(duì)應(yīng)的字典間隔分別為Δφ=0.7°、Δv=1.1 m/s,Δφ=2.8°、Δv=4.4 m/s和Δφ=11.3°、Δv=17.5 m/s。圖4為BP方法在不同字典間隔下的參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比變化曲線圖。其中,圖4a)為方位角估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖,圖4b)為速度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖。可以看出,字典失配問(wèn)題越嚴(yán)重,BP方法的估計(jì)誤差越大,而本文方法則不會(huì)隨字典失配而增加估計(jì)誤差。

圖4 BP方法在不同字典間隔下的參數(shù)估計(jì)性能比較

為比較不同字典間隔情況下各方法的計(jì)算復(fù)雜度,將字典網(wǎng)格依次劃分為16個(gè)、32個(gè)、64個(gè)、128個(gè)、256個(gè),并統(tǒng)計(jì)各方法運(yùn)行一次所需的平均時(shí)間,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次,結(jié)果如表1所示。從表中可以看出,通過(guò)范數(shù)最小化進(jìn)行求解的BP方法運(yùn)行所需時(shí)間隨網(wǎng)格密度的增大而迅速增加;采用最小二乘法進(jìn)行迭代殘差求解的OMP方法運(yùn)行時(shí)間雖同樣隨網(wǎng)格密度增大而增加,但其計(jì)算復(fù)雜度較低,所需運(yùn)行時(shí)間較短;各方法中精度最高的本文方法,計(jì)算復(fù)雜度及運(yùn)行時(shí)間介于二者之間。

表1 不同字典間隔下各參數(shù)估計(jì)方法運(yùn)行時(shí)間比較

圖5為四種方法的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖5a)為目標(biāo)方位角估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖,圖5b)為目標(biāo)速度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖。從仿真結(jié)果來(lái)看,圖5進(jìn)一步體現(xiàn)了本文方法相比OGSBI方法、BP方法和OMP方法在估計(jì)精度上的優(yōu)勢(shì),本文方法雖然在信噪比較低時(shí),方位角和速度估計(jì)均方根誤差較大,但隨著信噪比的增大,估計(jì)性能逐漸變好。當(dāng)信噪比接近10 dB時(shí),估計(jì)性能接近對(duì)應(yīng)的克拉美羅界(CRB)理論曲線,而B(niǎo)P方法和OMP方法由于存在字典失配問(wèn)題,參數(shù)估計(jì)性能并沒(méi)有隨著信噪比的增大而提高,OGSBI方法由于受一階泰勒近似估計(jì)誤差影響,估計(jì)精度有限。

圖5 動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比變化曲線圖

圖6為當(dāng)雷達(dá)相干脈沖數(shù)(K=16)固定,陣元數(shù)分別為8、12和16時(shí),本文方法得到的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖6a)為目標(biāo)方位角估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖,圖6b)為目標(biāo)速度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖。由仿真結(jié)果可知,雷達(dá)陣元數(shù)越多,本文方法得到的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度越高。

圖6 不同陣元數(shù)下的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能比較(K=16)

圖7為雷達(dá)陣元數(shù)(M=8)固定,相干處理脈沖數(shù)分別為8、12和16時(shí),本文方法得到的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖7a)為目標(biāo)方位角估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖,圖7b)為目標(biāo)速度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖。由仿真結(jié)果可知,雷達(dá)相干脈沖數(shù)越多,本文方法得到的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度越高。

圖7 不同脈沖數(shù)下的動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能比較(M=8)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)參數(shù)稀疏恢復(fù)在字典失配情況下的空時(shí)自適應(yīng)處理中動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,提出了一種基于原子范數(shù)的無(wú)網(wǎng)格動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)方法。該方法利用目標(biāo)回波在角度-多普勒域的稀疏特性,根據(jù)低秩矩陣恢復(fù)理論實(shí)現(xiàn)目標(biāo)方位角和速度的稀疏恢復(fù),避免了固定字典網(wǎng)格的稀疏恢復(fù)參數(shù)估計(jì)方法中的字典失配問(wèn)題,有效提高了動(dòng)目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)性能。本文只考慮待檢測(cè)單元內(nèi)最多存在一個(gè)目標(biāo)的情況,針對(duì)多目標(biāo)場(chǎng)景下的參數(shù)估計(jì)方法是下一步研究的重點(diǎn)。