基于最小二乘法的對(duì)稱分?jǐn)?shù)延遲濾波器設(shè)計(jì)

鄒 正,胡 進(jìn),陳 宇

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

可變分?jǐn)?shù)延遲(Variable Fractional Delay,VFD)濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中應(yīng)用廣泛,例如任意采樣率轉(zhuǎn)換、分?jǐn)?shù)階微分器設(shè)計(jì)、數(shù)字波束形成[1]等?，F(xiàn)有的 VFD有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response,FIR)濾波器算法可分為2類:時(shí)域插值算法和頻域優(yōu)化算法,其中前者基于多項(xiàng)式插值,如 Lagrange、Hermite[2-3]等,計(jì)算簡(jiǎn)單,但其高頻響應(yīng)較差;后者因在大帶寬下仍能保持良好的幅頻響應(yīng)而受到青睞,常用的優(yōu)化準(zhǔn)則包括最大平坦(MF)[4]、加權(quán)最小二乘(WLS)[5-6]和極大極小準(zhǔn)則(MM)[7]等。這些分?jǐn)?shù)延遲濾波器存在的主要問題是應(yīng)用過程中對(duì)于硬件資源的消耗巨大。

本文提出一種基于最小二乘法的對(duì)稱分?jǐn)?shù)延遲濾波器設(shè)計(jì)方法,可以大幅減少資源消耗,進(jìn)而降低硬件實(shí)現(xiàn)難度。

1 系數(shù)對(duì)稱

首先推導(dǎo)FIR VFD濾波器存在的系數(shù)對(duì)稱性性質(zhì),然后利用系數(shù)對(duì)稱性開發(fā)一種新的WLS方法來設(shè)計(jì)VFD FIR濾波器。與現(xiàn)有的WLS方法相比,所提出的基于加權(quán)最小二乘法的對(duì)稱性方法只需要濾波器總階數(shù)的一半抽頭系數(shù)參與運(yùn)算即可完成濾波功能。

設(shè)計(jì)VFD 濾波器的目的是找到一個(gè)可變的傳輸函數(shù)H(z,p),使其在指定的通帶區(qū)域內(nèi)盡可能準(zhǔn)確地接近所需的可變頻率響應(yīng)[8],即

Hd(ω,p)=e-jωp

(1)

式中:ω∈[0,απ]為歸一化角頻率,0<α≤1是指定通帶的一個(gè)具體數(shù)值系數(shù);p∈[-0.5,0.5]為所需的可變分?jǐn)?shù)延遲。

為了通過有限沖擊響應(yīng)實(shí)現(xiàn)Hd(w,p),假設(shè)VFD FIR濾波器的傳遞函數(shù)為[9]

(2)

將系數(shù)hn(p)表示為參數(shù)p的多項(xiàng)式:

(3)

代入式(2),得到可變傳遞函數(shù):

(4)

其可變頻率響應(yīng)為

(5)

目標(biāo)是找到最佳系數(shù)a(n,m),使可變頻率響應(yīng)的加權(quán)平方誤差最小。

(6)

式中:W(ω,p)為一個(gè)非負(fù)的加權(quán)函數(shù);e(ω,p)為實(shí)際可變頻率響應(yīng)與期望可變頻率響應(yīng)之間的復(fù)值誤差,且

e(ω,p)=H(ω,p)-Hd(ω,p)

(7)

在公式處理WLS設(shè)計(jì)問題之前,推導(dǎo)出式(4)中存在的有用的系數(shù)對(duì)稱性,如式(8)～(13)所示。

式(5)可以進(jìn)一步改寫為

對(duì)上式中下劃線部分的索引進(jìn)行置換n′=-n,可得

由于期望的可變頻率響應(yīng)即式(1)滿足

(9)

其中[·]*表示[·]的復(fù)數(shù)共軛。

則最優(yōu)H(ω,p)也應(yīng)該滿足

H(ω,-p)=H*(ω,p)

(10)

如果式(6)中的加權(quán)函數(shù)W(ω,p)對(duì)于p來說是對(duì)稱的,則

將上述劃線部分等價(jià),可以得到

a(-n,m)=(-1)ma(n,m)

(12)

而式(12)對(duì)于n=0也是成立的,即

a(0,m)=(-1)m·a(0,m)

因此,如果n≠0,

(13)

如果n=0,則a(0,m)=0,m為奇數(shù)。

為求得滿足需求的VFD濾波器系數(shù),將式(13)的對(duì)稱系數(shù)代入式(8)中,可以得到

c=[1 cos(ω) cos(2ω) … cos(Nω)]t

s=[sin(ω) sin(2ω) … sin(Nω)]t

Pe=[1p2p4…pM-1]t

Po=[pp3p5…pM]t

(15)

式中:下標(biāo)e、o分別代表偶數(shù)和奇數(shù)。

式(14)可以表示成矩陣形式:

H(ω,p)=ctBePe-jstBoPo

(16)

頻率響應(yīng)誤差式(7)為

只須找到最佳的系數(shù)矩陣Be,就能找到最佳的濾波器系數(shù)a(n,m),而Bo則是通過最小化誤差函數(shù)來實(shí)現(xiàn):

(18)

其中只有區(qū)間p∈[0,0.5]需要進(jìn)行積分。

2 閉合形式的誤差函數(shù)

本節(jié)詳細(xì)推導(dǎo)閉式誤差函數(shù)。首先,在式(18)中展開|e(ω,p)|2。由式(17)可得

其中:

(20)

將式(19)代入式(18),得到

其中:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

為了得到閉合形式的J(Be,Bo),假設(shè)加權(quán)函數(shù)W(ω,p)是可分離的,即

W(ω,p)=W1(ω)W2(p)

(27)

此外,W1(ω)和W2(p)分別被假定為ω、p的分段常數(shù)函數(shù)。將式(20)分別代入式(22)～(26),得到閉式誤差函數(shù):

J5=constant

(28)

其中:

(29)

而且

矩陣A6可以近似為

(30)

而且

因此,可以由閉合形式的誤差函數(shù)式(21)得到

3 最優(yōu)解決方案

為了得到最佳系數(shù)矩陣Be和Bo使式(31)最小化,必須對(duì)J(Be,Bo)求對(duì)于Be和Bo的微分,然后將微分設(shè)為零,即

(32)

矩陣A2、A3、A4和A5是對(duì)稱的,可以得到

(33)

因此可以通過下式確定最佳系數(shù)矩陣:

(34)

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

理想的可變頻率響應(yīng)為Hd(ω,p)=e-jωp,通過使用變量傳遞函數(shù)式(4),令α=0.9計(jì)算出近似可變頻率響應(yīng)的結(jié)果。在近似計(jì)算過程中假設(shè)N=34,M=7,K=10,ω∈[0,απ],以απ/200的步長(zhǎng)均勻采樣,且分?jǐn)?shù)延遲范圍p∈[-0.5,0.5],可以通過以下幾個(gè)參數(shù)評(píng)估VFD濾波器的設(shè)計(jì)精度。可變頻率響應(yīng)的幅度最大絕對(duì)誤差和最大群延遲偏差(單位dB)分別為

εMax=max{20log10|e(ω,p)|,ω∈[0,απ],p∈[-0.5,0.5]}

εpMax=max{|τ(ω,p)-p|,ω∈[0,απ],p∈[-0.5,0.5]}

其中:τ(ω,p)為實(shí)際群延,是頻率ω和理想群延p的函數(shù)。

圖1給出了VFD濾波器在不同頻率和延遲值下的幅度誤差,其中x軸(p∈[-0.5,0.5])為延遲值,單位為采樣周期;y軸(ω∈[0,απ])為歸一化的頻率值;z軸為可變頻率響應(yīng)幅度誤差絕對(duì)值,最大為-107.5 dB。圖2為圖1中粗線標(biāo)識(shí)的最大值的二維平面。

圖1 可變頻率響應(yīng)的幅度誤差

圖2 可變頻率響應(yīng)的幅度誤差值

實(shí)際VFD的延遲值如圖3所示。群延遲誤差如圖4所示,坐標(biāo)值同圖1,表明已經(jīng)獲得了非常平坦的連續(xù)可變VFD響應(yīng),其最大誤差為0.000 377 3。圖5為圖4中粗線標(biāo)識(shí)的最大值的二維平面。表1為可變頻率響應(yīng)的幅度最大絕對(duì)誤差和最大群延遲偏差的坐標(biāo)。

表1 幅度最大絕對(duì)誤差和最大絕對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)表

圖3 VFD延遲值

圖4 VFD群延遲誤差

圖5 VFD群延遲誤差最大值

5 結(jié)束語

利用濾波器的系數(shù)對(duì)稱性可有效設(shè)計(jì)VFD FIR濾波器。與現(xiàn)有的非對(duì)稱系數(shù)WLS方法相比,本文提出的基于對(duì)稱性新型WLS濾波器設(shè)計(jì)方法只需要VFD濾波器系數(shù)50%的存儲(chǔ)量和乘法器運(yùn)算資源,因此可以顯著降低計(jì)算和存儲(chǔ)資源,并降低濾波器的硬件成本。同時(shí),在推導(dǎo)閉合形式的誤差函數(shù)時(shí),由于使用了Taylor級(jí)數(shù),可以完全去除數(shù)值積分,加快了設(shè)計(jì)過程,并保證最終系數(shù)解的最優(yōu)性。