基于凸優(yōu)化模型的FIR濾波器組設(shè)計(jì)

丁 遜,周 駿

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

數(shù)字濾波器按照脈沖響應(yīng)時(shí)域特性可分為有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response,FIR)濾波器和無(wú)限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response,IIR)濾波器,其中數(shù)字FIR濾波器[1]的特點(diǎn)是其輸出僅取決于之前和當(dāng)前的輸入值,輸入具有任意幅頻分布的數(shù)字信號(hào)后,能夠保證輸出信號(hào)的相頻特性仍然保持嚴(yán)格線(xiàn)性,因此廣泛應(yīng)用于測(cè)試技術(shù)、控制系統(tǒng)、信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域。FIR濾波器常用的設(shè)計(jì)方法主要有頻率抽樣法、窗函數(shù)法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法[2]:前兩種方法分別從頻域和時(shí)域角度出發(fā),不能精確控制通帶與阻帶邊界頻率,通常通過(guò)提高濾波器的階數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)渡帶變窄,從而導(dǎo)致運(yùn)算量加大;最優(yōu)化設(shè)計(jì)法利用最小誤差逼近作為設(shè)計(jì)思路,即通過(guò)一系列優(yōu)化算法使得實(shí)際設(shè)計(jì)與期望設(shè)計(jì)的濾波器的幅度最大誤差最小化[3]。本文以最小化濾波器輸出的雜波功率為目標(biāo)建立凸優(yōu)化問(wèn)題,類(lèi)似于最小誤差逼近思路。

本文主要針對(duì)帶通濾波器組,在歸一化后的頻率范圍內(nèi)對(duì)雜波區(qū)和可用信號(hào)區(qū)進(jìn)行頻譜規(guī)劃,對(duì)已規(guī)劃的頻譜分別建立滿(mǎn)足約束條件的凸優(yōu)化模型,從而將數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多參數(shù)的優(yōu)化求解問(wèn)題,利用凸優(yōu)化算法來(lái)獲取全局或近似全局最優(yōu)解,即優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器系數(shù)。為了逼近理想帶通濾波器的頻率特性,通過(guò)在信號(hào)頻譜規(guī)劃內(nèi)設(shè)計(jì)多組濾波器近似逼近頻率特性,從而達(dá)到相應(yīng)的濾波效果。該設(shè)計(jì)方法優(yōu)點(diǎn)在于:一是可以根據(jù)先驗(yàn)雜波的頻譜范圍,適應(yīng)性地調(diào)整信號(hào)頻譜規(guī)劃,從而改變?yōu)V波器組的頻率中心,以覆蓋變化的通帶頻率范圍,抑制雜波的同時(shí)仍然保留相應(yīng)的信號(hào)頻率;二是針對(duì)濾波器組設(shè)計(jì)需求,快速批量生成濾波器組中每一個(gè)濾波器的系數(shù),從而快速實(shí)現(xiàn)濾波器組的工程應(yīng)用。

1 FIR濾波器及凸優(yōu)化理論

1.1 FIR濾波器

FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)可以表示為

(1)

其中:h(n)為濾波器系數(shù);N為濾波器階數(shù)。

h(n)值須在設(shè)計(jì)過(guò)程中確定,具有奇、偶對(duì)稱(chēng)兩種情況,加上階數(shù)N取值為奇偶兩種情況,則線(xiàn)性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejw)共有4種情況[4]。本文以階數(shù)N為奇數(shù)分析前兩類(lèi)情況,后兩類(lèi)則分別對(duì)應(yīng)階數(shù)N為偶數(shù)的情況。第一類(lèi)線(xiàn)性相位為

θ(ω)=-τω

(2)

其中:τ表示與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)。

式(1)改寫(xiě)為

(3)

其中:sin[(τ-n)ω]為奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)。

式(3)成立的條件是h(n)關(guān)于(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng),即要求

h(n)=h(N-1-n)

(4)

對(duì)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位,當(dāng)θ(ω)=π/2-τω時(shí),可得到

(5)

其中:cos[(τ-n)ω]為偶對(duì)稱(chēng)函數(shù)。

式(5)成立的條件是h(n)關(guān)于(N-1)/2奇對(duì)稱(chēng),即要求

h(n)=-h(N-1-n)

(6)

由上述分析可以看出:沖激響應(yīng)h(n)關(guān)于(N-1)/2對(duì)稱(chēng)的濾波器沒(méi)有相位失真,這也表明具有線(xiàn)性相位特性的濾波器設(shè)計(jì)具有可實(shí)現(xiàn)方法。

1.2 凸優(yōu)化理論

凸優(yōu)化又稱(chēng)為凸規(guī)劃,其基本的數(shù)學(xué)模型為

(7)

其中:f0,…,fm為凸函數(shù),等式約束為仿射函數(shù)。

在實(shí)際工程優(yōu)化中,可以根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化模型,對(duì)于凸優(yōu)化問(wèn)題的解,任意一個(gè)局部最優(yōu)解同時(shí)也是全局最優(yōu)解。解析表達(dá)式一般無(wú)法推導(dǎo),通常通過(guò)數(shù)值法解決凸優(yōu)化問(wèn)題,其中應(yīng)用較多的是內(nèi)點(diǎn)法,目前已開(kāi)發(fā)出強(qiáng)大的優(yōu)化工具軟件如CVX等[5],以實(shí)現(xiàn)與MATLAB的無(wú)縫銜接。

2 凸優(yōu)化模型

2.1 雜波和信號(hào)頻譜規(guī)劃

(8)

其中:

(9)

(10)

同理可得氣象雜波頻譜Fm,則總的雜波頻譜規(guī)劃范圍Fclut={Fg,Fm},相應(yīng)的可用信號(hào)頻譜規(guī)劃范圍Fsig為

(11)

2.2 濾波器組頻率中心規(guī)劃

(12)

(13)

2.3 凸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

(14)

其中:SLBgf、SLBmf、SLBf為衰減值代表的幅度值;|·| 表示取模操作;

FSLBgc=exp(j2π·Fg·n),n=0,…,N-1

(15)

FSLBmc=exp(j2π·Fm·n),n=0,…,N-1

(16)

(17)

經(jīng)過(guò)濾波器中心頻率處的信號(hào)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足不衰減,同時(shí)根據(jù)具有線(xiàn)性相位FIR濾波器的系數(shù)性質(zhì),本文設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng),建立以下等式約束:

(18)

(19)

濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是最小化雜波輸出功率,為此建立關(guān)于雜波輸出功率最小化的優(yōu)化模型。假設(shè)噪聲強(qiáng)度為Pn,可得雜波聯(lián)合噪聲的協(xié)方差矩陣為

R=Rgc+Rmc+Rn

(20)

其中:Rgc為地物協(xié)方差矩陣;Rmc為氣象協(xié)方差矩陣;Rn為高斯白噪聲協(xié)方差矩陣,分別為

(21)

其中:

(22)

(23)

同理可得Mmc,其中Mn=diag(e),e為1×N維的單位向量,diag(·)以向量e中元素為對(duì)角線(xiàn)元素形成的對(duì)角矩陣。

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(24)

其中:UHU=R;δ為較小的正數(shù),作為收斂門(mén)限,通過(guò)不斷最小化該收斂門(mén)限,來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)。

minimizeδ

subject to |U·h|-δ≤0;|FSLBgchT|-SLBgf≤0 ;

|FSLBmchT|-SLBmf≤0;|FSLBhT|-SLBf≤0 ;

(25)

針對(duì)上述優(yōu)化模型,利用MATALB中的CVX軟件求解凸優(yōu)化問(wèn)題。為了得到凸優(yōu)化的解,在求解過(guò)程中往往要線(xiàn)性調(diào)整濾波器的主瓣寬度:

ML_w=ML_w+0.1/N

(26)

3 優(yōu)化流程設(shè)計(jì)

根據(jù)給定的雜波區(qū),按照最小化雜波輸出功率優(yōu)化設(shè)計(jì)濾波器組,具體流程如圖1所示。首先輸入雜波相關(guān)信息,即頻率中心、譜寬和強(qiáng)度,由此得到雜波區(qū)和可用信號(hào)區(qū)的頻譜規(guī)劃;接著根據(jù)濾波器組數(shù)量對(duì)可用信號(hào)區(qū)完成濾波器組頻率中心規(guī)劃;然后對(duì)每個(gè)確定了頻率中心的濾波器建立凸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,通過(guò)步進(jìn)增加主瓣寬度,在限定的主瓣寬度范圍內(nèi)利用CVX求解,是否有解決定著該頻率中心下的濾波器設(shè)計(jì)能否成功;最后對(duì)設(shè)計(jì)完的每個(gè)濾波器進(jìn)行頻率響應(yīng)的歸一化操作,選取每個(gè)頻點(diǎn)下最大的頻率響應(yīng),得到濾波器組最大輸出的頻率響應(yīng),結(jié)合雜波區(qū),檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的濾波器組能否滿(mǎn)足雜波區(qū)的衰減抑制以及副瓣區(qū)的抑制,不滿(mǎn)足的情況下重新設(shè)計(jì)濾波器組數(shù)量或雜波抑制度以及副瓣衰減。

圖1 濾波器組凸優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

4 仿真結(jié)果及分析

假設(shè)只存在地物雜波,地物雜波歸一化頻譜中心Fgc=0,歸一化譜寬Fgc_delta=0.01,強(qiáng)度Pgc=10,噪聲強(qiáng)度Pn=1,地物衰減設(shè)計(jì)為SLBgc=-60 dB,濾波器副瓣衰減為SLB=-43 dB,歸一化頻率范圍內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)Msam=1 000。設(shè)計(jì)結(jié)果如圖2～4所示,其中圖2(a)為歸一化的地物雜波頻譜在零頻附近采樣點(diǎn)的分布范圍,圖2(b)為地物雜波抑制濾波器組設(shè)計(jì)時(shí)可選的頻率采樣點(diǎn)分布范圍;圖3(a)為6組濾波器設(shè)計(jì)中心頻率在歸一化可選頻率采樣點(diǎn)上的分布情況,圖3(b)為相應(yīng)的6組濾波器頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)曲線(xiàn)的雜波衰減、副瓣抑制以及頻率響應(yīng)覆蓋情況;圖4(a)為在地物雜波衰減60 dB、副瓣抑制43 dB設(shè)計(jì)要求下的8組濾波器頻率響應(yīng)曲線(xiàn),圖4(b)為在地物雜波衰減70 dB、副瓣抑制50 dB設(shè)計(jì)要求下的8組濾波器頻率響應(yīng)曲線(xiàn)?？梢钥闯?本文方法可以根據(jù)濾波器組數(shù)量、雜波區(qū)衰減程度以及副瓣抑制度的改變動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)。

(a)地物雜波區(qū)

(a)頻率中心

(a)地物雜波衰減60 dB、副瓣抑制43 dB

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)頻譜規(guī)劃,以最小化雜波輸出功率為目標(biāo),建立凸優(yōu)化模型,利用CVX工具箱完成FIR濾波器組優(yōu)化設(shè)計(jì)求解。根據(jù)假定的雜波信息以及滿(mǎn)足要求的雜波衰減、副瓣抑制度可控地調(diào)整濾波器組數(shù)量和主瓣寬度,以實(shí)現(xiàn)滿(mǎn)足要求的濾波器設(shè)計(jì),可將優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器系數(shù)以文件配置的方式用于工程中,具有可移植性。