耦合Kundu-Eckhaus方程的局域波解及其動(dòng)力學(xué)特性

劉 然,郭明敏,宋 妮

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030051)

0 引 言

近年來,非線性方程的局域波研究受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。局域波按照其傳播方式[1],主要包括孤子、呼吸子和怪波。孤子在不受外界阻力影響狀態(tài)下,具有穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的波包和很好的粒子性[2-3]; 呼吸子是一類具有呼吸特點(diǎn)的特殊非線性波,以局域振蕩的方式存在,與背景場之間存在周期性能量交換[4]; 怪波是一類短壽命且具有高能量的局域波,極具瞬時(shí)性和偶然性,其振幅高度至少超過背景場2倍以上[5-6]。一般情況下,數(shù)學(xué)物理問題可通過非線性微分方程來描述,這對揭示局域波的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的作用[7]。

非線性薛定諤(NLS)方程常用于研究局域波,Kundu-Eckhaus(KE)方程[8]是NLS方程的可積推廣,也是分析局域波動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要模型[9]。到目前為止,已經(jīng)有不少學(xué)者對KE方程進(jìn)行了研究。Zhai等[10]運(yùn)用廣義Darboux變換得到三分量耦合NLS方程的怪波解,Qiu等[11]利用Darboux變換構(gòu)造出二分量KE方程的怪波解,Qi等[12]闡述了五次非線性項(xiàng)對超短光脈沖在non-Kerr光纖中傳播的影響,扎其勞[13]利用廣義Darboux變換對KE方程的一階怪波和二階怪波進(jìn)行了研究,邱德勤等[14]進(jìn)一步發(fā)展了KE方程,給出耦合KE方程的N階Darboux變換,得到該方程的高階怪波解,Deng等[15]基于Hirota雙線性法得到了KE方程的N階孤子解。

基于上述工作,本文將研究耦合三分量KE方程

(1)

1 廣義Darboux變換

Φt=VΦ=(2iλ2J+2λQ+iJ(Q2-Qx)-

(2)

其中,

λ為譜參數(shù),Φ=(φ,φ,χ,ψ)T為方程(2)的特征函數(shù)。通過相容性條件Ut-Vx+[U,V]=0可以得到方程(1)。

構(gòu)造Darboux矩陣

T=λI-HΛH-1,

(3)

其中,

I是一個(gè)4×4的單位矩陣,Φ1=(φ1,φ1,χ1,ψ1)T是方程(2)的特征函數(shù)。

假設(shè)Φ1=Φ1(λ1,η)是方程(2)對應(yīng)于譜參數(shù)λ=λ1(1+η2)的一個(gè)特解,η是一個(gè)小擾動(dòng)參數(shù),在η=0處對Φ1進(jìn)行泰勒展開,有

(4)

其中,

當(dāng)v1=v1[0],v2=v2[0],v3=v3[0]和λ=λ1時(shí),方程(1)的廣義Darboux定義如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

其中,

T1[k]=λ1I-H1[k-1]Λ1H1[k-1]-1,

Φ1[N-1]=(φ1[N-1],φ1[N-1],χ1[N-1],ψ1[N-1])T,

2 局域波的動(dòng)力學(xué)特性

假設(shè)方程(1)的種子解為v1[0]=d1eiθ,v2[0]=d2eiθ,v3[0]=d3eiθ,其中

式中:a,d1,d2,d3均為任意實(shí)常數(shù)。當(dāng)λ=λ1(1+η2)時(shí),計(jì)算得出方程(2)的特解如下:

(9)

其中,

(10)

2.1 一階局域波

(11)

(12)

(13)

v1[1],v2[1],v3[1]的具體表達(dá)式較繁瑣,此處省略。在其表達(dá)式中,包含a,d1,d2,d3,α,β等6個(gè)自由參數(shù)。

1) 當(dāng)a=0時(shí),有兩種情況:

圖1 一階怪波與孤子相互作用的演化圖

圖2 a為0一階怪波與呼吸子相互作用的演化圖

2) 當(dāng)a≠0且di≠0(i=1,2,3)時(shí),v1[1],v2[1]和v3[1]的一階局域波如圖3 所示,一階怪波與一列呼吸子相互作用,并且呼吸子的傳播方向與t軸的夾角為銳角。

圖3 a為時(shí)一階怪波與呼吸子相互作用的演化圖

2.2 二階局域波

考慮如下極限式

(14)

根據(jù)方程(6)～(8),得到方程(1)的二階局域波解

(15)

(16)

(17)

v1[2],v2[2],v3[2]的具體表達(dá)式太復(fù)雜,此處省略不寫。表達(dá)式中有8個(gè)自由參數(shù)a,d1,d2,d3,α,β,m1,n1,下面分情況討論二階局域波的動(dòng)力學(xué)行為。

1) 當(dāng)d1=d2=0,d3=1時(shí),分兩種情況討論:

圖4 α=, m1=n1=0時(shí)二階怪波與孤子相互作用的演化圖

圖5 =100時(shí)二階怪波與孤子相互作用的演化圖

2) 當(dāng)di≠0(i=1,2,3)時(shí),v1[2]、v2[2]和v3[2]表現(xiàn)為二階怪波與兩列呼吸子相互作用,且呼吸子呈字母“K”形排列,如圖6 所示。若參數(shù)m1=30,n1=30,比較圖6(a),圖6(b),圖6(c)和圖6(d),圖6(e),圖6(f)發(fā)現(xiàn),受分離函數(shù)Ω(η)的影響,二階怪波分離成3個(gè)一階怪波且呈三角形排列。

圖6 二階怪波與呼吸子和孤子相互作用的演化圖

3 結(jié) 論

本文以三分量耦合KE方程為研究對象,選取一組相同指數(shù)形式的函數(shù)作為方程的種子解,計(jì)算得到Lax對方程的特解,然后運(yùn)用泰勒公式構(gòu)造方程的廣義Darboux變換,得到一階和二階局域波解。通過數(shù)值模擬,對局域波解中的參數(shù)取不同值,分情況研究了3種局域波的相互作用方式,繪制出一階和二階局域波形圖,進(jìn)一步分析了其動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明,在零振幅背景下,怪波與亮孤子相互作用時(shí)不容易被發(fā)現(xiàn),與暗孤子和呼吸子相互作用時(shí)能被清晰觀察。此外,由于分離函數(shù)的作用,二階怪波分離成3個(gè)一階怪波。所得結(jié)果對高階局域波的研究具有一定的理論意義,同時(shí)豐富了耦合KE方程的研究。