三維反手性拉脹結(jié)構(gòu)在靜態(tài)壓縮過程中的力學(xué)性能研究

任保沖，張振華

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

在1987 年Lakes 成功制備出泊松比為-0.17 的聚氨酯材料后，近些年隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，越來越多的拉脹結(jié)構(gòu)和負(fù)泊松比材料被發(fā)現(xiàn)并制作出來，這些結(jié)構(gòu)在航空航天等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用[1-2]。拉脹結(jié)構(gòu)在受拉時(shí)會(huì)橫向膨脹，受壓時(shí)橫向收縮，所以又被稱為負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)[3]。由于拉脹結(jié)構(gòu)特殊的變形模式，使得這種結(jié)構(gòu)具有特殊的力學(xué)性能[4]。AWerson[5]分析了手型多胞結(jié)構(gòu)軸向壓縮力學(xué)模型，得出棱數(shù)為4和6的手型結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比的性質(zhì)。郭春霞等[6]對(duì)正弦負(fù)泊松比多孔蜂窩梁進(jìn)行了面內(nèi)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)，并與傳統(tǒng)方孔蜂窩梁進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表面負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)相較于傳統(tǒng)正泊松比結(jié)構(gòu)具有更好的吸能效果。張振華等[7]對(duì)金字塔點(diǎn)陣單胞結(jié)構(gòu)在壓縮載荷下的力學(xué)性能進(jìn)行研究，得出了結(jié)構(gòu)泊松比合影邊之間的規(guī)律。新型結(jié)構(gòu)和材料在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著自己獨(dú)特的作用，朱偉杰等[8]通過仿真計(jì)算的方式分析了水下微穿孔板聲超材料應(yīng)用于新型聲導(dǎo)流罩獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。趙昌方等[9]對(duì)復(fù)合材料負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的拉壓力學(xué)性能進(jìn)行了仿真研究，驗(yàn)證了其負(fù)泊松比特性。劉宇等[10]對(duì)負(fù)泊松比基元蜂窩結(jié)構(gòu)的吸能效果進(jìn)行仿真研究，得出負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)在同等質(zhì)量條件下吸能量相比于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)更高的結(jié)論。

本文選取三維反手性負(fù)泊松比單胞結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象。通過萬能試驗(yàn)機(jī)壓縮并通過攝影記錄、利用游標(biāo)卡尺量取側(cè)向位移的方式來獲取結(jié)構(gòu)的泊松比，得到結(jié)構(gòu)在壓縮載荷下的泊松比變化規(guī)律，并結(jié)合數(shù)值仿真研究反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的變形破壞模式和靜壓載荷下的應(yīng)力分布情況，為三維反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究提供參考。

1 實(shí)驗(yàn)研究

1.1 模型設(shè)計(jì)

采用三維反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)中的單體胞元，如圖1 所示。

圖1 結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of structure

該胞元由3 層板和2 層各16 根方桿組成。其中3 層板結(jié)構(gòu)相同，由4 個(gè)正方形薄板和4 根方桿組成，如圖2 所示。由于四向反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)是周期型結(jié)構(gòu)，所以上下2 層板的厚度為中間板厚度的一半。上層板可以通過下層板平移得到，中層板可以通過下層板繞結(jié)構(gòu)上下兩層板質(zhì)心連線旋轉(zhuǎn)90°之后平移并復(fù)制后得到。結(jié)構(gòu)中每4 個(gè)相鄰的方桿可以通過其中1 根方桿繞與其相連的2 個(gè)正方形薄板的質(zhì)心連線環(huán)形陣列得到，把4 個(gè)相鄰的方桿視為1 個(gè)方桿組，1 層內(nèi)與已經(jīng)得到的方桿組相鄰的的2 個(gè)方桿組可以通過鏡像的方式得到，最后1 個(gè)方桿組可以通過第1 個(gè)方桿組平移得到。第2 層方桿可以通過將第1 層16 根方桿繞結(jié)構(gòu)上下2 層板質(zhì)心連線整體旋轉(zhuǎn)90°之后平移得到。該結(jié)構(gòu)尺寸主要參數(shù)為：正方形薄板邊長A=14 mm，正方形薄板之間的距離L=7 mm，直桿寬度d=3 mm，板厚T=3 mm，方桿高度H=10 mm，方桿端部正方形邊長a=4 mm，斜桿與XY平面夾角α=45°。

圖2 單胞結(jié)構(gòu)圖Fig. 2 Diagram of single-cell structure

本文所采用的三維反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)為立體鏤空結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)構(gòu)造較為復(fù)雜，傳統(tǒng)工藝難以加工，故采用FDM 增材制造技術(shù)，選用聚碳酸酯（PC）作為打印材料，使用Raise3D Pro2 型號(hào)的3D 打印機(jī)制作該模型，模型如圖1 和圖2 所示[11]。聚碳酸酯材料的力學(xué)性能指標(biāo)見表1。

表1 材料PC 的性能參數(shù)Tab. 1 Performance parameters of polycarbonate

1.2 萬能試驗(yàn)機(jī)壓縮實(shí)驗(yàn)

1.2.1 實(shí)驗(yàn)實(shí)施

使用MTS 萬能試驗(yàn)機(jī)對(duì)試樣進(jìn)行壓縮，實(shí)驗(yàn)開始前布置實(shí)驗(yàn)背景為黑色背景，與白色圖像形成反差色，便于后續(xù)分析處理。將試驗(yàn)機(jī)通過數(shù)據(jù)傳輸線與電腦相連接，在電腦客戶端控制上下夾具與模型上下面板接觸，并施加小于50 N 的初始力，此時(shí)將應(yīng)力值和位移值清零。

實(shí)驗(yàn)過程中，將萬能試驗(yàn)機(jī)的加載模式設(shè)置為方向豎直向下大小為1 mm/min 等量加載狀態(tài)，符合靜態(tài)壓縮的實(shí)驗(yàn)要求。每當(dāng)試驗(yàn)機(jī)輸出模型軸向位移增加0.1 mm 時(shí)暫停實(shí)驗(yàn)，使用游標(biāo)卡尺測(cè)量模型中間板X方向尺寸并使用相機(jī)遙控拍照記錄，數(shù)據(jù)記錄結(jié)束后開始試驗(yàn)繼續(xù)加載。如此循環(huán)直至模型發(fā)生破壞，實(shí)驗(yàn)結(jié)束。根據(jù)游標(biāo)卡尺測(cè)量數(shù)據(jù)得到模型的宏觀橫向位移。模型的縱向位移和力可以由實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)直接導(dǎo)出。

泊松比定義公式的物理意義為，當(dāng)模型受到軸向載荷時(shí)，物體的橫向應(yīng)變和軸向應(yīng)變值之比的相反數(shù)即為物體的泊松比。根據(jù)以上數(shù)據(jù)便可得到模型的宏觀泊松比。

1.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在壓縮過程中，第1 層斜桿在與桿件成一定角度的力和力矩的作用下發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，帶動(dòng)上中2 層板結(jié)構(gòu)中的正方形薄板旋轉(zhuǎn)，使連接正方形薄板的水平桿件產(chǎn)生彎曲變形，繼而使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生橫向收縮變形，呈現(xiàn)負(fù)泊松比效應(yīng)。隨著萬能試驗(yàn)機(jī)施加的軸向位移的增大，結(jié)構(gòu)軸向的壓縮變形進(jìn)一步增大，如圖3 所示。

圖3 單胞結(jié)構(gòu)壓縮實(shí)驗(yàn)圖Fig. 3 Picture of single-cell structure compression test

由于實(shí)驗(yàn)操作采用等位移加壓法，所以實(shí)驗(yàn)得到的模型宏觀力位移曲線存在許多均勻分布的鋸齒狀結(jié)構(gòu)。從圖4 可以看出，模型在靜態(tài)壓縮中的變形可以分為3 個(gè)階段：彈性階段、塑性階段和破壞階段。

圖4 宏觀力—位移曲線Fig. 4 Macro force-displacementcurve

彈性階段（AB段）：當(dāng)0≤S<1.45 mm 時(shí)，處于這個(gè)階段下的模型各部分產(chǎn)生了不同程度上的彈性變形，模型展現(xiàn)出的彈性模量大小為95.77 MPa。

塑性階段（BC段）：當(dāng)1.45 mm≤S<2.26 mm時(shí)，模型部分區(qū)域產(chǎn)生塑性變形，力位移曲線斜率變小，力的增大速度明顯減小。采用“最遠(yuǎn)法”確定屈服點(diǎn)B的位置[11-12]，即B點(diǎn)在曲線AC上，且滿足AB和BC線段之和最大的點(diǎn)即為模型屈服點(diǎn)。當(dāng)模型壓縮位移為1.45 mm 時(shí)，支反力大小為1.37 kN，屈服強(qiáng)度為5.36 MPa。當(dāng)模型壓縮位移為2.26 mm 時(shí)，模型最大承載力為1.62 kN，強(qiáng)度極限為6.3 MPa。

破壞階段（CD段）：當(dāng)S≥2.26 mm 時(shí)，部分模型逐漸發(fā)生破壞，力位移曲線呈現(xiàn)出階梯式下跌。當(dāng)S=3.74 mm 時(shí)，中層板連接桿件發(fā)生破壞，結(jié)構(gòu)徹底失去承載能力，此時(shí)，模型被完全破壞，破壞強(qiáng)度為4.88 MPa。

2 仿真分析

2.1 有限元建模

采用Abaqus/ CAE 軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)體建模，并對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行仿真計(jì)算。使用體單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分網(wǎng)格，采用C3D4 四節(jié)點(diǎn)線性四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格化分。部件實(shí)例布種設(shè)置近似全局尺寸為2 mm，共產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)26 894 個(gè)，單元105 802 個(gè)。材料屬性設(shè)置如下：密度1.19E-9 kg/mm3，楊氏模量2.048E9 Pa，泊松比0.3。賦予結(jié)構(gòu)截面設(shè)置為：實(shí)體，均質(zhì)。為和真實(shí)實(shí)驗(yàn)條件保持一致，在結(jié)構(gòu)上方設(shè)置剛性薄板模擬萬能試驗(yàn)機(jī)上部壓頭，并賦予薄板下表面和結(jié)構(gòu)上表面相互作用為有限滑移的表面與表面接觸，接觸面摩擦公式定義為粗糙。為結(jié)構(gòu)底部面板添加固定邊界條件，施加大小為0.016 mm/s 方向沿Z軸負(fù)向的位移于薄板上，分析步類型選擇靜力通用，分析步時(shí)長設(shè)置為1 000 s。仿真模型如圖5 所示。

圖5 單胞結(jié)構(gòu)仿真模型Fig. 5 Single cell structure simulation model

2.2 仿真結(jié)果分析

在仿真輸出數(shù)據(jù)庫中提取上面板支反力和位移數(shù)據(jù)，繪制力位移曲線并和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)構(gòu)力位移曲線進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示，在結(jié)構(gòu)變形的彈性階段由仿真方法和試驗(yàn)方法在同一位移刻度下的支反力相差不大，以位移為-1.0 mm 時(shí)的支反力為例，仿真計(jì)算得出力位移曲線并進(jìn)行線性內(nèi)插得到位移為-0.1 mm 時(shí)作用在薄板上的支反力大小為159.3 N，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)位移為-0.1 mm 時(shí)的支反力為170.6 N，兩者誤差為6.3%，2 種計(jì)算方法之間的誤差隨著位移的增大而不斷增大，這是由于實(shí)驗(yàn)采用等量增壓方式而仿真采取連續(xù)加壓方式造成的。以薄板位移1.29 mm 時(shí)為例，結(jié)構(gòu)的位移仿真計(jì)算圖如圖6 所示?？煽闯觯c圖3 所示的壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)變形模式相一致，2 層斜桿呈彎扭變形，使得中間面板上的方盤旋轉(zhuǎn)從而帶動(dòng)直桿產(chǎn)生歪曲變形，由于方盤和斜桿的相互作用使得結(jié)構(gòu)在水平方向上內(nèi)縮，同時(shí)結(jié)構(gòu)在薄板的壓力作用下在豎直方向上收縮，產(chǎn)生負(fù)泊松比效應(yīng)。從力位移曲線趨勢(shì)和彈性階段的誤差來看，數(shù)值仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合，這說明仿真結(jié)果比較準(zhǔn)確且有效（見圖7）。

圖6 位移U=1.29 mm 時(shí)的位移云圖Fig. 6 Displacement nephogram of displacement U =1.29 mm

圖7 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果Fig. 7 Experimental and simulated results

3 力學(xué)性能分析

3.1 泊松比分析

在Abaaqus 仿真軟件中提取出三維反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)在壓縮過程中變形圖并提取結(jié)構(gòu)橫向位移值。在橫向位移范圍0～3.74 mm 中n種工況下通過仿真計(jì)算方法得出來的結(jié)構(gòu)泊松比數(shù)值可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的縱向位移和橫向位移計(jì)算出縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變通過式（1）得到，結(jié)果見表2。

表2 泊松比計(jì)算結(jié)果Tab. 2 Results of Poisson's ratio calculation

可以得出，該四向反手性結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比性質(zhì)，在縱向位移為0～3.74 mm 過程中， 結(jié)構(gòu)的泊松比數(shù)值在壓縮過程中于-0.5 上下變化，上下浮動(dòng)不超過±0.05，且變化速度較為緩和。

3.2 變形模式分析

根據(jù)數(shù)值仿真與壓縮實(shí)驗(yàn)宏觀應(yīng)力—應(yīng)變曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得圖8 所示結(jié)果。圖8(a)單胞結(jié)構(gòu)位移變形最大值為0.276 mm，出現(xiàn)在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應(yīng)變出現(xiàn)最大值7.98×10-3，其它部位的應(yīng)變較小；應(yīng)力最大值為22.18 MPa，出現(xiàn)在斜桿上與面板相接觸的部分。圖8(b)單胞結(jié)構(gòu)位移變形最大值為2.057 mm，出現(xiàn)在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應(yīng)變出現(xiàn)最大值0.285，其他部位的應(yīng)變較小；應(yīng)力最大值為35.80 MPa，出現(xiàn)在斜桿中間部分。圖8(c)單胞結(jié)構(gòu)位移變形最大值為3.492 mm，出現(xiàn)在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應(yīng)變出現(xiàn)最大值1.132，其他部位的應(yīng)變較??；應(yīng)力最大值為39.25 MPa，出現(xiàn)在斜桿上與面板相接觸的部分。

圖8 仿真壓縮過程應(yīng)變、應(yīng)力、位移云圖Fig. 8 Strain,stress nephograms and displacement for simulated compression

綜上，斜桿的位移、應(yīng)力往往是最大的，中層板連接連接桿中段的變形最明顯，且中層板連接桿的斷裂是制約結(jié)構(gòu)承載能力的主要原因。這說明隨著壓縮載荷的增加，單胞結(jié)構(gòu)更容易在斜桿和連接桿處首先發(fā)生破壞。

圖9 為單胞結(jié)構(gòu)在壓縮試驗(yàn)過程中的最終破壞形式和結(jié)構(gòu)破壞時(shí)的應(yīng)力云圖?？梢钥闯?，在實(shí)驗(yàn)過程中，中層板和中層桿的連接處發(fā)生斷裂而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞從而喪失承載能力，但在仿真計(jì)算中，而是由于中層板連接桿中段發(fā)生了嚴(yán)重的塑性收縮導(dǎo)致了單胞結(jié)構(gòu)的破壞。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)和FEM 增材制造技術(shù)為分層打印和打印精度不高從而導(dǎo)致了一定的結(jié)構(gòu)缺陷有關(guān)。以上結(jié)果表明，在壓縮過程中中層板連接桿在x-y方向的彎矩和壓力的同時(shí)作用下率先發(fā)生破壞，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)喪失承載能力。

圖9 桿件破壞示意圖Fig. 9 Schematic diagram of rod failure

4 結(jié) 語

采用FEM 增材制造的方式，使用Raise3D Pro2 3D 打印機(jī)制作了四向反手性負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)單胞模型，使用萬能試驗(yàn)機(jī)對(duì)模型進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)值仿真方法研究單胞結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，得到了反手性單胞結(jié)構(gòu)在壓縮過程中的泊松比數(shù)值變化規(guī)律，分析了反手性單胞結(jié)構(gòu)的變形模式和破壞模式，得出結(jié)論如下：

1） 該型反手性單胞結(jié)構(gòu)在靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)過程中呈現(xiàn)出明顯的負(fù)泊松比效應(yīng)，泊松比數(shù)值在-0.5 左右變化，且變化幅度不超過0.05。

2） 通過仿真建模的方式重現(xiàn)了該單胞結(jié)構(gòu)的靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)過程，并通過力-位移曲線驗(yàn)證了仿真建模的正確性。根據(jù)仿真計(jì)算的結(jié)果，單胞結(jié)構(gòu)在靜態(tài)壓縮過程中發(fā)生彈塑性變形，變形過程可以分為彈性變形階段、屈服變形階段和破壞階段，其中屈服強(qiáng)度為5.36 MPa，強(qiáng)度極限為6.33 MPa，破壞強(qiáng)度為4.88 MPa。

3） 在軸向壓縮載荷作用下，隨著載荷的增大，軸向位移不斷增大，該單胞結(jié)構(gòu)各部分變形量也在逐漸增大。在變性過程中，位移、應(yīng)變的最大值出現(xiàn)在中間板連接桿中部，而應(yīng)力最大值出現(xiàn)在斜桿與面板的連接處，最終中間板連接桿在壓縮載荷和彎曲力的作用下首先發(fā)生斷裂破壞從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)喪失承載能力。由于分層打印和原材料缺陷，該單胞結(jié)構(gòu)在實(shí)驗(yàn)過程中中間板連接桿首先發(fā)生破壞的位置不是仿真結(jié)果顯示的桿件中間處而是板件與桿件的連接處。