帶肋拱形抗爆門(mén)的振動(dòng)基頻等效計(jì)算方法

田志敏,王思達(dá),董尚委,曹興偉

(軍事科學(xué)院國(guó)防工程研究院,北京 100850)

0 引言

帶肋拱形抗爆門(mén)具有優(yōu)良的抗高強(qiáng)爆炸沖擊波性能,通過(guò)選用高強(qiáng)金屬材料并合理優(yōu)化帶肋拱的結(jié)構(gòu)構(gòu)造與設(shè)計(jì)參數(shù),這種帶肋拱形抗爆門(mén)可以抵抗峰值達(dá)數(shù)十兆帕的核爆炸沖擊波荷載作用,在防爆安全領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用前景。但另一方面,在高強(qiáng)爆炸沖擊波作用下,抗爆門(mén)的沖擊振動(dòng)十分強(qiáng)烈,門(mén)的振動(dòng)加速度峰值可達(dá)千個(gè)g以上。因此, 即使能經(jīng)受住爆炸沖擊波作用不產(chǎn)生結(jié)構(gòu)破壞,抗爆門(mén)的沖擊振動(dòng)也可導(dǎo)致門(mén)的驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)失靈[1-2];因此,需要深入研究抗爆門(mén)的振動(dòng)特性,提出其振動(dòng)理論分析方法及振動(dòng)的控制措施[3-4]。

帶肋拱形抗爆門(mén)一方面由于在拱形門(mén)內(nèi)表增設(shè)了加強(qiáng)肋,其振動(dòng)分析比等截面拱形抗爆門(mén)的振動(dòng)分析更為復(fù)雜,另一方面抗爆門(mén)支撐在門(mén)框上,因支撐條件不同,抗爆門(mén)在爆炸沖擊波作用下的受力狀態(tài)及振動(dòng)特性也不同。對(duì)于頂、底和兩側(cè)邊采用不同支撐方式的拱形抗爆門(mén)的振動(dòng)分析,由于問(wèn)題較為復(fù)雜,目前主要采用有限元方法數(shù)值求解[5-6],但有限元分析對(duì)設(shè)計(jì)人員的計(jì)算技能要求較高。因此,工程設(shè)計(jì)部門(mén)都希望提出更為實(shí)用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

帶肋拱形抗爆門(mén)振動(dòng)特性的簡(jiǎn)化分析方法以往缺乏研究,主要是針對(duì)無(wú)肋的等截面拱結(jié)構(gòu)的基頻計(jì)算問(wèn)題[7-10],但帶肋拱由于肋的加強(qiáng)改變了結(jié)構(gòu)的剛度、承載性能及質(zhì)量分布等特性,它的基頻不能直接按無(wú)肋的等截面拱結(jié)構(gòu)基頻計(jì)算方法計(jì)算。為滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)需要,根據(jù)兩側(cè)支撐帶肋拱形抗爆門(mén)的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)特性,將帶肋拱形抗爆門(mén)等效為等截面拱形抗爆門(mén),研究提出了帶肋拱形抗爆門(mén)的等效等截面拱參數(shù)和反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)基頻計(jì)算方法,同時(shí)討論了影響基頻的主要因素及等效計(jì)算方法的適應(yīng)條件。

1 帶肋拱形抗爆門(mén)的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)模型

左、右兩側(cè)邊支撐的帶肋拱形抗爆門(mén)的具體構(gòu)造如圖1所示,抗爆門(mén)的有限元網(wǎng)格模型如圖2(a)所示。有限元計(jì)算表明,拱形抗爆門(mén)的基頻振動(dòng)主要呈現(xiàn)反對(duì)稱(chēng)形式如圖2(b)所示,計(jì)算參數(shù)如表1和表2所示。在水平向沖擊波荷載作用下,主要呈現(xiàn)沿沖擊波傳播方向的撓曲振動(dòng)反應(yīng);可將該門(mén)先等效為等截面拱形抗爆門(mén),然后按過(guò)門(mén)半高處橫截面的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)模型分析。

圖1 立轉(zhuǎn)式帶肋拱形抗爆門(mén)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of a vertical rotating blast resistance arched door with strengthening ribs

圖2 帶肋拱形抗爆門(mén)有限元計(jì)算結(jié)果Fig. 2 Finite element calculation results of a blast resistance arched door with strengthening ribs

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

表2 幾何參數(shù)及邊界條件Table 2 Geometric parameters and boundary conditions

1.1 帶肋拱形抗爆門(mén)的等效等截面拱參數(shù)計(jì)算

設(shè)帶肋拱的拱板內(nèi)、外徑分別為R2、R3,肋板內(nèi)徑為R1,拱的圓心角為θ,拱板和肋板厚度分別為t1和t2。設(shè)等效等截面拱的外徑R3、圓心角θ和高度H與帶肋拱相同,如圖3所示,假設(shè)帶肋拱形抗爆門(mén)和等效等截面拱形抗爆門(mén)具有相同的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)特性,則可分別推導(dǎo)出等效等截面拱形抗爆門(mén)的內(nèi)徑Re和質(zhì)量密度m的計(jì)算公式為:

圖3 等效等截面拱形抗爆門(mén)示意圖Fig. 3 Schematic diagram of equivalent cross section for constant section blast resistance arched door

(1)

式中:t3為等效等截面拱形抗爆門(mén)拱板厚度;yc為抗爆門(mén)沿頂?shù)追较驇Ю吖鞍褰M合截面的形心距;a為肋板寬度;n為肋板數(shù)量;ρ為材料密度。

1.2 等效等截面拱的反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)基頻計(jì)算

將帶肋拱形抗爆門(mén)等效為等截面拱形抗爆門(mén)后,可按過(guò)門(mén)半高處橫截面的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)模型分析門(mén)的自振頻率[11-13]。圓拱發(fā)生面內(nèi)屈曲后,微元ds=Rdφ在徑向荷載pr和切向荷載ps以及內(nèi)力N、Q、M的作用下處于平衡狀態(tài)如圖4所示。由切向力、徑向力和彎矩的平衡條件得出:

圖4 圓拱微元受力圖Fig. 4 Force diagram of circular arch element圖5 變形幾何關(guān)系示意圖Fig. 5 Schematic diagram of deformation geometric relation

(2)

拱微元mn在平面內(nèi)撓曲變形后至新的位置m′n′,如圖5所示。設(shè)m點(diǎn)的徑向和切向位移分別為v和w。由圖可知:由位移v引起的轉(zhuǎn)角為dv/ds;由位移w引起的轉(zhuǎn)角近似取為w/R,所以在v和w共同影響下截面的轉(zhuǎn)角為:

(3)

可得微元ds的曲率改變量即單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)角增量為:

(4)

微元ds由于切向位移w引起的伸長(zhǎng)為dw;由于徑向位移引起的伸長(zhǎng)為(R-v)dφ-Rdφ,即-vdφ,故微元ds單位伸長(zhǎng)為:

(5)

彎矩M和軸力N與撓曲率K和伸長(zhǎng)率ε的關(guān)系為:

(6)

式中:EJ和EF分別為拱截面在拱平面內(nèi)的抗彎剛度和抗拉(壓)剛度。將式(4)、式(5)、式(6)代入式(2)可得圓弧拱的平面撓曲的彈性平衡微分方程:

(7)

根據(jù)能量守恒原理,在拱的自振過(guò)程中最大變形能等于最大動(dòng)能,即:

Umax=Tmax

(8)

計(jì)算變形能時(shí)只考慮彎曲變形,忽略軸向變形和剪切變形[14-16],則:

(9)

振動(dòng)是簡(jiǎn)諧的,設(shè)

(10)

將式(10)代入式(9),根據(jù)瑞萊法原理,由Umax=Tmax可得頻率公式為[8-10]:

(11)

對(duì)于采用兩側(cè)嵌固支撐方式的帶肋拱形抗爆門(mén),在滿(mǎn)足拱端位移為0、徑向速度為0的邊界條件及拱軸不變形條件時(shí),可求得反對(duì)稱(chēng)基頻計(jì)算公式為[17-18]:

(12)

式中:Ω為頻率系數(shù),如圖6所示;α為拱弧全長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的半圓心角(α=0.5θ);l為圓拱計(jì)算跨度;E為圓拱材料受壓彈性模量;J為單位寬圓拱截面慣性矩;m為單位長(zhǎng)度圓拱質(zhì)量。

圖6 頻率系數(shù)圖Fig. 6 Diagram of frequency coefficient

等效等截面拱形抗爆門(mén)外徑為R3,內(nèi)徑為Re。其單位寬圓拱截面慣性矩J,單位寬圓拱體積V,單位寬圓拱弧長(zhǎng)S,單位長(zhǎng)度圓拱質(zhì)量m計(jì)算公式為:

(13)

式中:b為圓拱截面寬度;ρ為拱形抗爆門(mén)所用材料密度。

式(1)、式(12)、式(13)適用于采用兩側(cè)嵌固支撐方式的帶肋拱形抗爆門(mén)[19-20]的反對(duì)稱(chēng)基頻計(jì)算。

2 基頻的主要影響因素及計(jì)算結(jié)果討論

2.1 肋板與拱板厚度比對(duì)基頻的影響

帶肋拱形抗爆門(mén)等效為等截面拱形抗爆門(mén)后,振動(dòng)基頻可由式(12)算出,將式(13)代入式(12)可得:

(14)

式(14)表明,頻率系數(shù)Ω僅與拱弧全長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的半圓心角有關(guān),而彈性模量E和材料密度ρ為定值,因此振動(dòng)基頻ω與t3/l2呈正比,即:

(15)

若拱板厚度t1不變,肋板與拱板厚度比t2/t1增加,則t2增加;使得t3增加、l減小,則t3/l2增加,ω變大;振動(dòng)基頻隨肋板與拱板厚度比變化的關(guān)系曲線(xiàn)如圖7所示。

圖7 振動(dòng)基頻與t2/t1關(guān)系Fig. 7 Relationship between the eigen-frequency and t2/t1

采用等效等截面拱基頻計(jì)算方法得出的具有不同肋板與拱板厚度比t2/t1的帶肋拱形抗爆門(mén)的反對(duì)稱(chēng)基頻計(jì)算結(jié)果及其與有限元方法得出結(jié)果的比較如表3所示。由表可知,對(duì)于一般的帶肋拱形抗爆門(mén)(0.5≤t2/t1≤2.5),在滿(mǎn)足厚跨比0.03

表3 不同肋板與拱板厚度比算例結(jié)果Table 3 Example results for the door of different thickness ratios between ribs and arch plates

2.2 肋板數(shù)量對(duì)基頻的影響

由式(1)、式(12)、式(13)可知,肋板數(shù)量n增加,則等效等截面拱形抗爆門(mén)拱板厚度t3增加;ω與t3/l2的函數(shù)關(guān)系可簡(jiǎn)化為:

(16)

因?yàn)閠3

圖8 振動(dòng)基頻與n的關(guān)系Fig. 8 Relationship between the eigen-frequency and n表4 不同肋板數(shù)量算例結(jié)果Table 4 Example results for the door of different quantities of ribs序號(hào)工況振動(dòng)基頻模擬值/Hz振動(dòng)基頻理論值/Hz誤差/%1n=52782626.02n=62912727.03n=73022817.54n=83112897.5

具有不同的肋板數(shù)量的帶肋拱形抗爆門(mén)的反對(duì)稱(chēng)基頻計(jì)算結(jié)果及其與有限元計(jì)算結(jié)果的比較如表4所示。由表可知,一方面,隨著肋板數(shù)量增加,帶肋拱形抗爆門(mén)的反對(duì)稱(chēng)基頻增大;另一方面,等效等截面拱基頻計(jì)算方法與有限元計(jì)算方法得出的基頻計(jì)算結(jié)果基本一致,二者得出的計(jì)算結(jié)果誤差也在8.0%以?xún)?nèi)。

2.3 拱的矢跨比對(duì)基頻的影響

矢跨比f(wàn)/l增加,則抗爆門(mén)對(duì)應(yīng)圓心角θ增加。由式(16)得:矢跨比f(wàn)/l增加,θ增加,ω減小;振動(dòng)基頻與矢跨比變化的關(guān)系曲線(xiàn)如圖9所示。

圖9 振動(dòng)基頻與f/l關(guān)系圖9 Relationship between the eigen-frequency and f/l表5 不同矢跨比算例結(jié)果Table 5 Example results for the door of different sagittal height-to-span ratio序號(hào)工況振動(dòng)基頻模擬值/Hz振動(dòng)基頻理論值/Hz誤差/%1f/l=0.136196464.12f/l=0.164804672.73f/l=0.183693515.04f/l=0.212912727.0

具有不同矢跨比的帶肋拱形抗爆門(mén)的反對(duì)稱(chēng)基頻計(jì)算結(jié)果及其與有限元計(jì)算結(jié)果的比較如表5所示,由表可知,隨著矢跨比增大,帶肋拱形抗爆門(mén)的反對(duì)稱(chēng)基頻減小,本文給出的計(jì)算方法與有限元方法得出的基頻計(jì)算結(jié)果基本一致,二者計(jì)算結(jié)果的誤差在7.0%以?xún)?nèi)。

3 結(jié)論

通過(guò)本文對(duì)帶肋拱形抗爆門(mén)的振動(dòng)基頻計(jì)算方法研究和計(jì)算結(jié)果,可以得出如下結(jié)論:

1)兩側(cè)邊支撐的帶肋拱形抗爆門(mén)的基頻振動(dòng)主要呈現(xiàn)反對(duì)稱(chēng)形式,當(dāng)滿(mǎn)足0.5≤t2/t1≤2.5和0.03

2)肋板與拱板厚度比、肋板數(shù)量和拱的矢跨比是影響帶肋拱形抗爆門(mén)反對(duì)稱(chēng)基頻的主要因素,基頻隨著肋板與拱板厚度比和肋板數(shù)量增加而增大;基頻隨著矢跨比增大而減小。