變分迭代法求解模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程*

陳 琴,陳豫眉

(西華師范大學(xué),四川 南充 637009)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用十分廣泛,電網(wǎng)絡(luò)、分形理論、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)中的許多現(xiàn)象都可以用分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)模型來描述[1-3]。但對現(xiàn)實系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型時常有諸多不確定因素,使得數(shù)學(xué)模型中的一些參數(shù)無法確定。為了克服這個困難,通過在現(xiàn)實系統(tǒng)中引入模糊理論,用于描述現(xiàn)實中非精確的模糊現(xiàn)象。關(guān)于模糊分?jǐn)?shù)階積(微)分方程解的相關(guān)性質(zhì)及其數(shù)值方法已有大量有效的研究成果。

Ahmad等[4]在Caputo意義下利用Schauder不動點定理研究模糊分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分微分方程解的存在性和唯一性,并利用修正的Adomian分解法求解了該方程的數(shù)值解。Allahviranloo等[5]基于廣義Hukuhara差分下的模糊Caputo導(dǎo)數(shù)研究模糊分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分微分方程,使用Banach不動點定理證明了該方程解的存在性和唯一性。Hamoud[6]利用變分迭代法和Adomian分解法研究模糊Volterra-Fredholm積分方程的數(shù)值解,后利用修正的變分迭代法和修正的Adomian分解法求解了分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分微分方程的數(shù)值解,并利用Schauder不動點定理證明了該方程解的存在性[7]。更多有關(guān)模糊積分微分方程解的相關(guān)性質(zhì)及其數(shù)值解的研究可參見Ezzati、Hoa等人的文章[8-16]。

本文研究如下模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程

cDαu(x,r)=f(x,r)+g(x)u(x,r)+

(1)

(2)

為源項函數(shù),cDαu(x,r)是α階Caputo導(dǎo)數(shù),0<α≤1。

基于Ahmad[4]和Hamoud[6-7]等的研究,本文將利用Schauder不動點定理和Banach不動點定理分別證明模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程解的存在性和唯一性。變分迭代法[17-19]具有計算簡單、精度較高等優(yōu)點,且該方法較少用于模糊分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值求解。本文將利用變分迭代法求解方程(1)與方程(2)的數(shù)值解。

1 預(yù)備知識

定義1[21-22]設(shè)F(R)是R上的所有模糊集的集合,若u∈F(R)滿足下列條件:

(1)u是正規(guī)的模糊集,即存在x0∈R,使得u(x0)=1;

(2)u是凸的,即對任意x1,x2∈R,ξ∈(0,1),有u(ξx1+(1-ξ)x2)≥min{u(x1),u(x2)};

(3)u是上半連續(xù)函數(shù);

(4)u的支集的閉包[u]0∶cl{x∈R|u(x)>0}是緊的。

則稱u是一個一維的模糊數(shù)。所有一維模糊數(shù)的全體稱為一維模糊數(shù)空間,記為E。

定義2[23-25]定義兩個模糊數(shù)w1,w2間的距離D為:

對任意的ε∈R,u,v,w,z∈E,距離D有如下性質(zhì):

(1)(E,D)是完備的度量空間;

(2)D(u,z)≤D(u,v)+D(v,z);

(3)D(u+w,v+w)=D(u,v);

(4)D(u+w,v+z)≤D(u,v)+D(w,z);

(5)D(εu,εv)=|ε|D(u,v);

定義3[25]模糊值函數(shù)f(t)的模糊Riemann-Liouville積分定義如下

其中,Γ是Gamma函數(shù)。

其中,m-1<α≤m,m∈N。

2 變分迭代法

1997年He[17-20]提出的變分迭代法是對一般Lagrange乘子法的改進,該方法可有效、簡便、準(zhǔn)確的求解一類線性和非線性問題?？紤]如下分?jǐn)?shù)階方程:

cDαu+Mu+Nu=f(x)

(3)

其中,cDαu是α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),M為線性微分算子,N為非線性項,f(x)為源項函數(shù)。

He方法的基本特征是構(gòu)造方程(3)的修正泛函,即

(4)

通過變分迭代法求解方程(3)的步驟為:對式(4)分部積分得到Lagrange乘子λ(s),然后利用λ(s)和初始值u0得u(x)的逐次逼近解un(x),n≥0,即有如下變分迭代式:

(5)

下面給出另一種方法求解方程(3)。在方程(3)兩端應(yīng)用算子Jα得

u=R(x)-Jα[Mu]-Jα[Nu]

(6)

其中,函數(shù)R(x)是對源項函數(shù)f(x)積分和給定的初始條件所產(chǎn)生的項。

根據(jù)式(6)可得方程(3)近似解un(x),n≥0的變分迭代式

un+1(x)=R(x)-Jα[Mun(x)]-Jα[Nun(x)],n≥0

(7)

迭代式(5)與式(7)等價。本文將利用變分迭代式(7)求解模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程。

3 理論分析

設(shè)CF[a,b]表示[a,b]上所有連續(xù)模糊值函數(shù)空間。為了便于后續(xù)證明,給出以下假設(shè):

H1g(x),f(x,r):[0,1]→E是連續(xù)有界函數(shù)。

H2 存在常數(shù)L,使得對任意的v1(x,r),v2(x,r)∈CF[0,1]滿足下式:

D(B(v1(x,r)),B(v2(x,r)))≤LD(v1(x,r),v2(x,r))。

H3 對Y={(x,t)∈R×R:0≤t≤x≤1}上所有正連續(xù)函數(shù)的全體,存在數(shù)M,使得

3.1 存在性證明

定義算子T:CF[0,1]→CF[0,1]

(1)首先通過以下三個步驟證明T是全連續(xù)算子。

(8)

當(dāng)n→∞時,由式(8)得

D(Tvn(x,r),Tv(x,r))→0

(9)

由式(9)可知T是連續(xù)算子。

(ii)T將有界集映射到CF[0,1]中的有界集。對任意的v(x,r)∈Bθ,有:

(10)

式(10)表明,對任意的v(x,r)∈Bθ,有Tv(x,r)∈Bγ。

(iii)T是等度連續(xù)算子。對任意的v(x,r)∈Bθ,x1≤x2,x1,x2∈[0,1]有:

D(Tv(x2,r),Tv(x1,r))

∶=P1+P2+P3

(11)

其中,

同理可得

當(dāng)x1→x2時,將P1,P2,P3代入式(11)得

D(Tv(x2,r),Tv(x1,r))→0

因此得T是等度連續(xù)算子。結(jié)合上述(i)～(iii)結(jié)論和Arzela-Ascoli定理可知,T是全連續(xù)算子。

(2)需證明存在一個閉凸有界子集

由式(10)得

(12)

根據(jù)步驟(1)和步驟(2)的證明結(jié)果,由Schauder不動點定理知,至少存在v(x,r)∈CF[0,1],使Tv(x,r)=v(x,r)。存在性證明完成。

3.2 唯一性證明

證明 算子T與定理3.1定義的T相同,對任意的v(x,r),w(x,r)∈CF[0,1],x∈[0,1],有

D(Tv(x,r),Tw(x,r))≤

4 數(shù)值算例

例 考慮如下的模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程:

(13)

其中,

方程(13)等價于求解下列方程組

(14)

和

(15)

(16)

由式(16),得

由式(7)得方程(16)的變分迭代式

…

5 結(jié)論

利用不動點定理證明了模糊分?jǐn)?shù)階Volterra積分微分方程解的存在性和唯一性。 變分迭代法求解該類模糊分?jǐn)?shù)階方程數(shù)值解,通過數(shù)值算例知變分迭代法對求解該類模糊分?jǐn)?shù)階方程可通過較少迭代次數(shù)得到方程的解,也說明變分迭代法求解該方程的有效性。 在接下來的工作中,將研究模糊非線性分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分微分方程的穩(wěn)定性,并利用修正的變分迭代法求解該類方程的數(shù)值解。