不定積分中的課程思政元素賞析

嚴(yán)亞強(qiáng), 顧振華

(蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006)

0 引 言

不定積分是微積分課程中的一個基礎(chǔ)性章節(jié),主要探討計算原函數(shù)的基本技能,理論上的討論很少,被認(rèn)為較為平淡乏味的部分.但如果在不定積分的章節(jié)中放入一些課程思政的“鹽”,是可以讓學(xué)生體味這一部分的深刻的思想性的,并達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.從中國知網(wǎng)的論文庫中發(fā)現(xiàn)了一些課程思政元素,也發(fā)現(xiàn)了不少不定積分或課程思政相關(guān)的教學(xué)研究成果[1-3],結(jié)合多年教學(xué)和教材編寫的實(shí)踐,整理出用課程思政的觀念進(jìn)行不定積分教學(xué)的體會和建議,供參考.

1 精益求精的工匠精神

工匠精神,狹義地說是精益求精的工作作風(fēng);廣義地說,就是追求真理、追求至善、追求完美的道德品質(zhì)和人文精神.

1.1 工匠的求真精神

但仔細(xì)觀察后可以發(fā)現(xiàn),原函數(shù)的定義范圍變成x≠0了,因此還需將最后一步推進(jìn)到

同理

但這個函數(shù)在x=0處變的不連續(xù)了,這時可以化為

1.2 工匠的至善精神

結(jié)果都是對的,但哪種結(jié)果在形式上最可取呢?由公式tan2x+1=sec2x可見,tanx比其他函數(shù)更“親近”于secx,容易相互替換,因此第三種形式最為可取.

在解決任何數(shù)學(xué)問題時,要像機(jī)械修理師那樣,有意識地區(qū)分材料和工具.例如,在極限、求導(dǎo)和積分的計算中,常用極限、求導(dǎo)公式和基本積分公式是釘子、是材料,極限、求導(dǎo)的法則和積分性質(zhì)是錘子、是工具;數(shù)學(xué)中大量復(fù)雜艱深的問題就像一臺臺機(jī)器,透過材料和工具的不斷組裝,形成很多板塊上的組件,作為高級別的材料.例如,不定積分

就是學(xué)習(xí)工匠需要熟悉的材料,記住了就容易得心應(yīng)手地做更復(fù)雜的不定積分.

1.3 工匠對完美的追求

所謂“美”,就是完美,就是對對稱、簡潔、完整等特性的追求.例如求解不定積分

傳統(tǒng)地在分母上展開是十分煩瑣的,一般都會尋求簡潔的計算方法,如果寫成

就十分有美感了.

數(shù)學(xué)之美還體現(xiàn)在方法之美和創(chuàng)新的奇異之美,這可以從后面的很多實(shí)例中看到.

2 堅(jiān)忍不拔的創(chuàng)新精神

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總是要與困難打交道的,堅(jiān)忍不拔的精神是必要的科學(xué)態(tài)度.但科學(xué)事業(yè)的核心是創(chuàng)新精神,沒有創(chuàng)新就不會有數(shù)學(xué)上的任何成就.

2.1 追求真善美是創(chuàng)新的動力

追求真善美是人類進(jìn)步的共同價值觀.這里所說的創(chuàng)新精神是科學(xué)素養(yǎng),是比工匠精神更高的一種境界.

2.1.1 基于批判性思維的求真

例如,在學(xué)完不定積分的第二類換元法時,和學(xué)生研討不定積分的換元定理時,即

定理1[4]設(shè)x=Ψ(t)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),并且Ψ′(t)≠0.又設(shè)f[Ψ(t)]Ψ′(t)具有原函數(shù),則有換元公式

其中Ψ-1(x)是x=Ψ(t)的反函數(shù).

就要問:這個定理中,Ψ′(t)≠0的條件是必要的嗎?應(yīng)用的時候需要檢驗(yàn)嗎?

學(xué)生通過一階段的解題實(shí)踐,自然都會表示,Ψ′(t)≠0這個條件從來沒有檢驗(yàn)過,考察定理的證明:設(shè)f[Ψ(t)]Ψ′(t)的原函數(shù)為Φ(t),則

應(yīng)該思考:如果定理換一個證明方法,能否把Ψ′(t)≠0這個條件省去呢?

2.1.2 基于發(fā)散性思維的求善和求美

問題在于,能否取一個函數(shù)h(x),使得h′(x)f(x)-h(x)f′(x)=g(x),而這是一個一階線性微分方程的問題.

由此發(fā)現(xiàn)高次根式積分的一些規(guī)律,這就是數(shù)學(xué)之善與美!馬克思說:勞動創(chuàng)造了美,的確精辟!

2.2 不定積分中是創(chuàng)造性思維的能源庫

由于不定積分是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算,這種運(yùn)算的性質(zhì)很少,只有線性性質(zhì)可用,所以在計算時需要調(diào)動一切積極力量,包括直覺思維(一種結(jié)果先于演繹的思維)、猜想、試驗(yàn)等.

創(chuàng)造性是數(shù)學(xué)的本質(zhì),龐加萊用組合和選擇描述創(chuàng)造的過程,克魯捷茨基用思維靈活性理解數(shù)學(xué)創(chuàng)造力本質(zhì),也有數(shù)學(xué)家用發(fā)散性思維結(jié)果來刻畫數(shù)學(xué)創(chuàng)造力,甚至用杰出數(shù)學(xué)家的思維特征來定義數(shù)學(xué)創(chuàng)造力.

霍蘭茲(Hollands)提出數(shù)學(xué)創(chuàng)造性表現(xiàn)的五個方面(靈活性、精致化、流暢性、獨(dú)創(chuàng)性、敏感性),上面的這個例子已經(jīng)體現(xiàn)得淋漓盡致!因此,不定積分的習(xí)題和問題充滿著創(chuàng)造性思維的亮點(diǎn),不定積分這一章就是創(chuàng)造性思維的一個能量庫!馬克思主義的實(shí)踐觀的實(shí)質(zhì)就是創(chuàng)新精神,我們應(yīng)該在科學(xué)知識的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)研究和探索的習(xí)慣,提升發(fā)散性思維的本領(lǐng),為人類進(jìn)步多作貢獻(xiàn).

3 和諧共存的合作精神

和諧共存的合作精神是道德品質(zhì)和人文精神的重要標(biāo)志,也是立德樹人的終極目標(biāo).在不定積分的教學(xué)中,可以感悟到很多這方面的存在.

3.1 多題協(xié)同探究實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中概括了七種數(shù)學(xué)精神,其中第一條是應(yīng)用化精神(包括對數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用),第二條是“充滿在整個數(shù)學(xué)中的擴(kuò)張化、一般化精神”[6],這一條實(shí)際上就是指“數(shù)學(xué)抽象”,這也是我國2017年發(fā)布的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之核心.在不定積分中,將多個題目聯(lián)合在一起,探究共性,可以獲得很多規(guī)律.例如,探究不定積分

通常,不定積分都會有“有理函數(shù)的積分”這一節(jié),它強(qiáng)調(diào)的是一個一般性結(jié)論“任何有理函數(shù)都是‘積得出’的”,而這個結(jié)論是基于對積分

的“積得出”的肯定.

3.2 團(tuán)結(jié)互助的生態(tài)文明

在不定積分中,你可以看到一個活生生的“和諧社會”.

3.2.1 積分可以結(jié)伴互助

2I1+3J1=x+C, 2I1-3J1=ln|2sinx+3cosx|+C.

3.2.2 積分可以互相啟發(fā),互相分擔(dān)

又如,用不定積分的裂項(xiàng)法可知,

這多像媽媽把一件家務(wù)事分配給幾個孩子去做一樣!

3.2.3 積分可以相互幫扶,“敬老愛幼”

例如,不定積分的分部積分公式

中的兩個積分多么像兩個團(tuán)結(jié)友愛的同學(xué),一個人解決不了問題時,另一個幫助解決!

否則很難解出.

3.2.4 積分可以協(xié)力化解危機(jī)

后面那個積分對前面的說“兄弟別急,站在那兒別動,我用分部積分法讓咱倆一起逃離險情!”果然:

4 結(jié) 論

數(shù)學(xué)教育中的德育價值主要體現(xiàn)在道德品質(zhì)、科學(xué)素養(yǎng)、人文精神三個方面.而工匠精神、創(chuàng)新精神、合作精神分別是這三個方面的核心,不定積分的數(shù)學(xué)文化背景不很豐富,但依然不失為課程思政的良好載體.我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的文化和精神,引導(dǎo)學(xué)生感悟真善美的無處不在.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.