隨鉆測井正演數(shù)值模擬方法

王莎莎

(中國石油大學(xué)勝利學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,山東 東營 257000)

隨鉆測井正演數(shù)值模擬方法

王莎莎

(中國石油大學(xué)勝利學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,山東 東營 257000)

隨鉆測井技術(shù)由于其實(shí)時(shí)測量的優(yōu)越性在油田勘探開發(fā)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用前景,對(duì)隨鉆測井響應(yīng)的正演數(shù)值模擬是進(jìn)行測井資料解釋和地層對(duì)比評(píng)價(jià)的理論基礎(chǔ),對(duì)測井作業(yè)具有很大指導(dǎo)作用。常用的正演數(shù)值計(jì)算方法有:有限元法、有限差分法、蒙特卡羅法、數(shù)值模式匹配法及積分方程法等。

隨鉆測井;有限元法;數(shù)值模式匹配法

目前,我國石油勘探開發(fā)工業(yè)所面臨的情況越來越復(fù)雜,主要開發(fā)那些規(guī)模小、物性差的油藏。這種情況下,隨鉆測井因其具有地質(zhì)導(dǎo)向功能和實(shí)時(shí)測量技術(shù)，成為測井作業(yè)最好的方法之一。隨鉆測井技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)了相應(yīng)數(shù)值模擬方法的開發(fā)，常用的數(shù)值模擬方法可以分為三類:(1)數(shù)值方法,如有限元法;(2)半數(shù)值半解析方法,如數(shù)值模式匹配法;(3)解析方法，如積分方程法。本文分別從方法原理、優(yōu)缺點(diǎn)方面介紹了幾種常用的數(shù)值模擬計(jì)算方法。

1 有限元法

有限元法(FEM)是一種求解微分方程近似解的數(shù)值方法,早在1943年由Courant 提出,最先用于力學(xué)方面的分析,直到20世紀(jì)70年代才被推廣用于電磁場分析。80年代,新型有限元法即矢量有限元法被提出,能更方便地模擬目標(biāo)的幾何邊界和介質(zhì)特性,被廣泛應(yīng)用于微波器件分析、電磁輻射和電磁散射等許多研究領(lǐng)域。

有限元法是以變分原理及加權(quán)余量法為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算的數(shù)值方法,基本原理是:求解時(shí)將整個(gè)問題區(qū)域分解成多個(gè)簡單的子區(qū)域(有限元),在子區(qū)域中的未知量用具有未知系數(shù)的簡單的插值函數(shù)來表示,這樣無限個(gè)自由度的求解問題就轉(zhuǎn)化為有限個(gè)自由度的求解問題,然后可以基于變分原理或Galerkin方法得到一個(gè)大型線性稀疏矩陣,最后求解整個(gè)方程組就能得到原問題的解。有限元法是最早用于測井領(lǐng)域的數(shù)值模擬方法之一。張中慶[1]利用矢量有限元法并采用解釋圖版對(duì)不同地層中的隨鉆測井響應(yīng)進(jìn)行了研究,給出了地層視電導(dǎo)率和介電常數(shù)兩個(gè)參量,并分析了地層參數(shù)對(duì)測井響應(yīng)的影響。

有限元法算法比較簡單,而且對(duì)復(fù)雜的問題模型適用性也比較好,尤其在感應(yīng)測井、電磁波測井在水平井和傾斜井中的情況特別有效。但對(duì)于比較復(fù)雜的地層模型,節(jié)點(diǎn)處未知量較多,就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大、計(jì)算效率比較低的問題,所以選用這種方法前,要先判斷該模型是否適合使用這種方法。

2 有限差分法

有限差分法(FDM)是發(fā)展最早的數(shù)值計(jì)算方法之一,在1966年Yee提出交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分之后開始被廣泛應(yīng)用,并且由于20世紀(jì)90年代時(shí)Berenger提出了完全匹配層吸收邊界條件,其模擬效果明顯改善,從而得到了更廣泛的應(yīng)用。最初,有限差分法在頻率域和時(shí)間域問題中被用得較多,但是近年來由于更適合頻域計(jì)算的有限元法和積分方程法的發(fā)展,有限差分法則主要用于時(shí)間域,即時(shí)間域有限差分法(FDTD),這種方法被廣泛用于電路、天線、雷達(dá)等電磁領(lǐng)域。

有限差分法的基本原理是用有限個(gè)離散點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))構(gòu)成的網(wǎng)格來代替連續(xù)的定解區(qū)域，具體方法是：用在網(wǎng)格上定義的離散變量的函數(shù)來近似連續(xù)定解區(qū)域上連續(xù)變量的函數(shù)；用差商來代替原方程和定解條件中的微商，用無限項(xiàng)和來代替積分，于是原微分方程就近似地變?yōu)榇鷶?shù)方程組，也就是得到一個(gè)有限差分方程組，通過求解這個(gè)方程組就可以得到原問題在節(jié)點(diǎn)上的近似解；然后再利用插值方法就可以得到原問題在整個(gè)離散區(qū)域上的近似解。有限差分法在隨鉆電磁波測井?dāng)?shù)值模擬領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛。楊震、范宜仁、解茜草[2- 4]等分別應(yīng)用有限差分法研究了各向異性地層中不同隨鉆電磁波測井響應(yīng)特性，為測井解釋工作提供了理論基礎(chǔ)。

有限差分方法簡單,編程比較容易實(shí)現(xiàn),差分后形成線性方程組也比較容易求解,而且適用于各種類型的介質(zhì)。但由于有限差分法應(yīng)用于復(fù)雜模型時(shí),網(wǎng)格劃分非常復(fù)雜,計(jì)算量大大增加,而且可能出現(xiàn)不收斂的情況。另外目前有限差分法的精度一般都是2階精度,無法大幅度提高其精度,這對(duì)一些精度要求較高的問題無法適用。

3 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法(隨機(jī)抽樣法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法),最先出現(xiàn)于1777年法國數(shù)學(xué)家布豐用投針實(shí)驗(yàn)求圓周率π的方法,在20世紀(jì)40年代由烏拉姆和 馮·諾伊曼正式提出。事實(shí)上,蒙特卡羅法是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)的一種方法,目前國際上最常用的模擬程序是MNCP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport code)。近年來,計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展推動(dòng)了蒙特卡羅法在計(jì)算物理學(xué)、核物理學(xué)和金融工程學(xué)等領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用。

蒙特卡羅法是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的數(shù)值計(jì)算方法,其基本原理是:在所要求解的問題恰好是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí),通過一種“實(shí)驗(yàn)”方法使這種事件出現(xiàn)的頻率等于這一隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征,這樣就可以得到問題的解。蒙特卡羅法在隨鉆核測井中應(yīng)用非常廣泛。朱頔、張鋒[5- 6]等分別用蒙特卡羅法研究了隨鉆脈沖中子測井、隨鉆能譜測井及隨鉆密度測井的測井響應(yīng)特性。

蒙特卡羅法給出的是概率結(jié)果,不僅能夠給出可能發(fā)生的情況,而且能夠給出各種情況發(fā)生的概率值。這種方法適應(yīng)性非常強(qiáng),對(duì)各種形狀的問題適用性都非常好。另外,這種方法的收斂性是概率意義下的收斂,所以問題復(fù)雜性增加對(duì)其收斂速度的影響不大,而且也能節(jié)省存儲(chǔ)單元,對(duì)計(jì)算機(jī)的要求相對(duì)低一些,應(yīng)用性更強(qiáng)。

4 數(shù)值模式匹配法

數(shù)值模式匹配法(NMM),是最常用的一種半數(shù)值半解析的混合算法。1982年,Pudensi等在研究電磁散射問題時(shí),結(jié)合有限元法與波模的概念提出了這種混合計(jì)算方法。20世紀(jì)80年代中期,Chew等采用徑向的數(shù)值模式匹配法研究了非均勻介質(zhì)的電磁散射問題,并在交流電法測井?dāng)?shù)值模擬中使用了這種算法。

數(shù)值模式匹配法的基本原理是:在一維(例如縱向)形成數(shù)值本征模式解,而在另一維(例如徑向)形成透射矩陣和反射矩陣,利用遞推矩陣法求出解析解,再將數(shù)值解和解析解結(jié)合,就可以得到整個(gè)問題的解。因此,它能夠應(yīng)用于縱向有任意多個(gè)分層而每層又具有任意多個(gè)徑向柱面分層的非均勻介質(zhì)中的電磁場分析,而且是目前高頻隨鉆電磁波測井響應(yīng)模擬中計(jì)算效率最高的方法之一或者說是針對(duì)二維問題計(jì)算效率最高的方法。朱柯斌[7]等用數(shù)值模式匹配法研究了隨鉆測井的測井響應(yīng)特性,并解決了鉆桿內(nèi)信號(hào)傳輸速率低的問題。

數(shù)值模式匹配法得到的解是一維解析解和一維數(shù)值解的結(jié)合,這不僅大大減少了數(shù)值模擬的計(jì)算量,而且提高了求解速度及精度。但是當(dāng)分層較多時(shí),計(jì)算會(huì)大幅增加,而且對(duì)不規(guī)則的復(fù)雜地層模型適用性較低。

5 積分方程法

積分方程法是一種解析方法,由Abel在19世紀(jì)二十年代初提出。Abel在研究質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題時(shí),導(dǎo)出了Abel方程,最早給出了積分方程的模型。自從1968年Harrington 提出矩量法的概念后,積分方程法得到了快速發(fā)展,并被廣泛地應(yīng)用到求解電磁散射和電磁輻射問題中。

積分方程法的主要思想是對(duì)麥克斯韋方程的微分形式進(jìn)行一系列的變換,并借助洛倫茲矢量、標(biāo)量勢以及格林函數(shù),最終得到一個(gè)關(guān)于總電場的第二類 Fredholm 積分方程。即將電磁參數(shù)異常區(qū)域進(jìn)行行剖分離散,得到一個(gè)線性積分方程組,并將其寫成矩陣形式,通過對(duì)矩陣的求解得到異常體內(nèi)各離散單元的場值,這樣不考慮異常體存在時(shí)的背景場和異常體產(chǎn)生的散射場相加即可得到總場。彭笠、張旭等[8-9]采用積分方程法計(jì)算了隨鉆測井中不同地層模型的測井響應(yīng)。

積分方程法是求解問題模型的精確解,對(duì)復(fù)雜地層模型適用性不強(qiáng)，因此多用于驗(yàn)證混合法或數(shù)值法的正確性。

6 結(jié)束語

綜上所述,隨鉆測井正演數(shù)值模擬方法多種多樣,各有優(yōu)缺點(diǎn),求解時(shí)要根據(jù)所要計(jì)算的問題模型,選擇合適的數(shù)值計(jì)算方法,數(shù)值模擬才能更準(zhǔn)確、高效,更好地進(jìn)行測井解釋工作。

[1] 張中慶, 龐兵強(qiáng).隨鉆電磁波測井?dāng)?shù)據(jù)處理新方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版,2014,44(5):1720-1726.

[2] 楊震, 范宜仁, 文藝,等.三維頻率域隨鉆電磁波測井?dāng)?shù)值模擬[J].地球物理學(xué)進(jìn)展,2009,24(5):1833-1838.

[3] 解茜草, 趙志峰.隨鉆電磁波測井響應(yīng)時(shí)域有限差分?jǐn)?shù)值模擬[J].計(jì)量與測試技術(shù),2014,41(8):1-3.

[4] 范宜仁, 李虎, 胡云云,等.傾斜各向異性地層隨鉆電磁波響應(yīng)模擬[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2013,28(5): 994-998.

[5] 朱頔, 孫建孟, 楊錦舟.隨鉆密度測井間隙對(duì)探測器晶體影響的蒙特卡羅模擬[J].測井技術(shù), 2011,35(4): 319-324.

[6] 張鋒, 袁超, 劉軍濤,等.隨鉆脈沖中子-伽馬密度測井響應(yīng)數(shù)值模擬[J].地球科學(xué)——中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)報(bào), 2013,38(5):1116-1120.

[7] 朱柯斌.隨鉆電測井中的寬帶信號(hào)傳輸方法及寬帶測井方法研究[D].成都: 電子科技大學(xué),2013:11-22.

[8] 彭笠.基于積分方程法的電法測井響應(yīng)數(shù)值計(jì)算研究[D].成都: 電子科技大學(xué),2012:8-22.

[9] 張旭.隨鉆電磁波電阻率測量儀器數(shù)值模擬方法研究[D].青島: 中國石油大學(xué)(華東), 2010:7-18.

[責(zé)任編輯] 王 巍

2015-06-03

王莎莎(1986—),女,山東東營人,中國石油大學(xué)勝利學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院助教,主要從事隨鉆測井?dāng)?shù)值模擬方法研究。

10.3969/j.issn.1673-5935.2015.03.008

P631

A

1673-5935(2015)03- 0026- 02