斜群環(huán)上的Gorenstein AC平坦模

摘 要：為研究在可分?jǐn)U張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環(huán)中的同調(diào)性質(zhì)。在RσG?RσH是斜群環(huán)的可分?jǐn)U張條件下，證明了限制函子和誘導(dǎo)函子保持模的FP∞-內(nèi)射、level和Gorenstein AC-平坦等同調(diào)性質(zhì)。若Gorenstein AC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉，斜群環(huán)RσG和RσH具有相等的弱Gorenstein AC 整體維數(shù)。

關(guān)鍵詞：斜群環(huán)；Gorenstein AC-平坦模；弱Gorenstein AC整體維數(shù)；可分?jǐn)U張

中圖分類號(hào)：O154.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1674-0033（2024）04-0029-05

引用格式：秦嶺.斜群環(huán)上的Gorenstein AC平坦模[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，38（4）：29-33.

Gorenstein AC Flat Modules of Skew Group Rings

Qin Ling

（College of Mathematical Science， Chongqing Normal University， Shapingba" 401331， Chongqing）

Abstract： To investigate the homomorphism of Gorenstein AC-flat modulus in skew group rings under separable extension， it is proved that the restriction functor and induced functor keep the homomorphism of FP∞-injective， level and Gorenstein AC-flat modulus under the condition that RσG?RσH is the separable extension of the skew group rings; if the Gorenstein AC-flat modulus class is closed with respect to the extension， the skew group rings RσG and RσH have equal weak Gorenstein AC global dimensions.

Key words： skew group ring; Gorenstein AC-flat modules; weak Gorenstein AC global dimension; separable extension

Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究，可追溯到20世紀(jì)60年代Auslander等[1]關(guān)于交換局部諾特環(huán)上有限生成模的Gorenstein維數(shù)的研究。20世紀(jì)90年代，Enochs等[2-3]，在任意環(huán)上引入了Gorenstein投射、內(nèi)射及Gorenstein平坦模的概念。在Gorenstein環(huán)上，人們得到了一系列重要成果，如任意模都有Gorenstein投射逼近，Gorenstein 投射模的穩(wěn)定范疇和奇點(diǎn)范疇的三角等價(jià)等。為了將Gorenstein環(huán)上的Gorenstein同調(diào)理論推廣到更一般的環(huán)上，Bravo等[4-5]引入了FP∞-內(nèi)射模，level-模及Gorenstein AC-投射、內(nèi)射和Gorenstein AC-平坦模的概念。

模和環(huán)的同調(diào)性質(zhì)在環(huán)擴(kuò)張下的變化，是同調(diào)理論研究中的基本問題之一。文獻(xiàn)[6-8]對(duì)群環(huán)RG、斜群環(huán)RσG和系數(shù)環(huán)R的同調(diào)性質(zhì)有深入研究。Xiang[9]研究了在斜群環(huán)中可分?jǐn)U張保持Gorenstein-平坦模的同調(diào)性質(zhì)，并且當(dāng)斜群環(huán)RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，斜群環(huán)RσG和RσH具有相等的弱Gorenstein整體維數(shù)。Gubitosi等[10]研究了n-Gorenstein-模、n-cotorsion-模及有限n-presented-模，得到了在斜群環(huán)中可分?jǐn)U張保持n-Gorenstein、n-cotorsion及有限n-presented等同調(diào)性質(zhì)。

受以上研究的啟發(fā)，本文研究可分?jǐn)U張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環(huán)中的同調(diào)性質(zhì)的變化，利用限制函子和誘導(dǎo)函子分別作用于斜群環(huán)RσG和RσH的Gorenstein AC-平坦模，把斜群環(huán)在可分?jǐn)U張下，限制函子和誘導(dǎo)函子保持模的Gorenstein-平坦和斜群環(huán)的弱Gorenstein整體維數(shù)等同調(diào)性質(zhì)推廣到Gorenstein AC-平坦模上。

1" 預(yù)備知識(shí)

定義1" "設(shè)R是交換環(huán)，G是一個(gè)群，且有群作用σ：G×R；記σ（g，r）為g（r）。令RσG=

a#g|a∈R，g∈G，對(duì)任意a#g、b#h ∈RσG，定義（a#g）（b#h）=ag（b）#gh，則RσG是環(huán)。稱RσG為斜群環(huán)，R為斜群環(huán)RσG的系數(shù)環(huán)。以下簡記a#g為ag。

設(shè)H是G的子群，則RσH是RσG的子環(huán)，可將RσG-?？醋鱎σH-模。定義誘導(dǎo)函子（induction functor）為↑=RσG?[σ][R H] -：RσH-Mod→RσG-Mod。定義限制函子（restriction functor）為↓=RσG?[σ][R G] -：RσG-Mod→RσH-Mod。顯然，RσG-模是一個(gè)自由RσH-模。因此，誘導(dǎo)函子和限制函子都是正合的，并且保持模的投射性質(zhì)。

定義2[4]" "設(shè)A是有單位元的結(jié)合環(huán)。

1）稱左A-模M是FP∞-型模，如果存在正合序列：

…→P2→P1→P0→M→0，

其中，Pi是有限生成投射左A-模。

2）稱左A-模N是FP∞-內(nèi)射模，如果對(duì)任意FP∞-型A-模M，有Ext1 A（M，N）=0。

3）稱左A-模L是level-模，如果對(duì)任意FP∞-型右A-模M，有Tor1 A （M，L）=0。

定義3[5]" "稱左A-模M是Gorenstein AC-平坦模，如果存在平坦左A-模的正合復(fù)形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…，

使得M=Ker（F0→F 0 ），并且對(duì)任意FP∞-型右A-模N，復(fù)形N?AF仍然是正合的。

定義4[11]" "設(shè)R是交換環(huán)，S是R的子環(huán)，稱R是S的可分?jǐn)U張，如果自然的滿同態(tài)：

R?SR→R，（a?b ab）是可裂的。

定義5[12]" "設(shè)M是左A-模。定義M的Gorenstein AC-平坦維數(shù)為：

GAC-fd（AM）=inf｛n∈N|存在正合列0→Fn→…→F1→F0→M→0，其中，F(xiàn)i是Gorenstein AC-平坦模｝。

若沒有這樣的n存在，則記GAC-fd（AM）=∞。

相應(yīng)地，定義環(huán)A的弱Gorenstein AC 整體維數(shù)為：

GAC-wgldim（A）=sup｛GAC-fd（AM）|M ∈

A -Mod｝。

2" 可分?jǐn)U張下的FP∞-內(nèi)射和level-模

R均是交換環(huán)，G是有限群，H是G的子群。討論在誘導(dǎo)函子和限制函子作用下，斜群環(huán)RσG

和RσH上模的FP∞-內(nèi)射、level及Gorenstein AC-平坦等性質(zhì)的變化。

引理1" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）若V是FP∞-型RσH-模，則V↑是FP∞-型RσG-模。

2）若M是FP∞-型RσG-模，則M↓是FP∞-型RσH-模。

證明：1）設(shè)V是FP∞-型RσH-模。則有正合序列：

…→P2→P1→P0→V→0，

其中，Pi是有限生成投射左RσH-模。由于誘導(dǎo)函子保持模的有限生成和投射性質(zhì)，并且是正合的，故有正合序列：

…→P2↑ →P1↑ →P0↑ →V↑ →0。

從而，V↑ 是FP∞-型RσH-模。

2）類似地，若M是FP∞-型RσG-模，可證M↓是FP∞-型RσH-模。

對(duì)任意RH-模V，記V的余誘導(dǎo)模（coinduced module）為V?=HomRH（RG，V）。在群環(huán)中，Eckmann-Shapiro引理[13]刻畫了限制模、誘導(dǎo)模和余誘導(dǎo)模之間的關(guān)系。而根據(jù)文獻(xiàn)[14]對(duì)任意RσH-模V，V↑ ?V?。因此在斜群環(huán)上，也可以得到Eckmann-Shapiro引理刻畫限制模和誘導(dǎo)模的關(guān)系。

引理2" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）Extn（V，M↓）?Extn（V↑ ，M）。

2）Extn（M↓，V）?Extn（M，V↑ ）。

證明：1）對(duì)任意RσH-模V，有V的投射分解：

P：…→P2→P1→P0→V→0，

其中，Pi是投射RσH-模。因?yàn)檎T導(dǎo)函子是正合的且保持模的投射性質(zhì)，因此

P↑： …→P2↑→P1 ↑→P0 ↑→V ↑→0，是V↑的投射分解，其中Pi↑是投射RσG-模。

因此

Extn（V，M↓）?Hn（HomRσH（P，M↓））?

Hn（HomRσG（P↑，M）?Extn（V↑，M）。

2）類似1）可證。

引理3[15]" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）V同構(gòu)于V↑ ↓的直和項(xiàng)。

2）當(dāng)RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，M同構(gòu)于M↓↑ 的直和項(xiàng)。

命題1" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群。

1）若V是FP∞-內(nèi)射RσH-模，則V↑ 是FP∞-內(nèi)射RσG-模。

2）若M是FP∞-內(nèi)射RσG-模，則M↓是FP∞-內(nèi)射RσH-模。當(dāng)RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，若M↓是FP∞-內(nèi)射RσH-模，則M是FP∞-內(nèi)射RσG-模。

證明：1）對(duì)任意FP∞-型RσG-模A，由引理1中的2）知，A↓是FP∞-型RσH-模。此外，由引理2中的2）知：

Ext1（A，V↑ ）?Ext1（A↓，V）=0。

從而，V↑ 是FP∞-內(nèi)射RσG-模。

2）設(shè)F是任意FP∞-型RσH-模，由引理1中的1）知，F(xiàn)↑ 是FP∞-型RσG-模。若M是FP∞-內(nèi)射RσG-模，則有

Ext1（F，M↓ ）?Ext1（F↑ ，M）=0。

所以，M↓ 是FP∞-內(nèi)射RσH-模。

反之，因?yàn)镽σG是RσH的可分?jǐn)U張，對(duì)任意FP∞-型RσG-模F ′，根據(jù)引理3和文獻(xiàn)[16]可知，Ext1（F′，M）同構(gòu)于Ext1（F′↓ ↑ ，M）的直和項(xiàng)。另一方面，因?yàn)镕 ′↓是FP∞-型RσH-模，M↓ 是FP∞-內(nèi)射RσH-模，所以

Ext1（F ′↓" ↑ ，M）?Ext1（F ′↓" ，M↓ ）=0。

因此，Ext1（F′，M）=0。從而，M是FP∞-內(nèi)射RσG-模。

關(guān)于FP∞-內(nèi)射模和level-模，由文獻(xiàn)[4]有以下結(jié)論。

引理4" "對(duì)任意環(huán)R，模N是level-模當(dāng)且僅當(dāng)N +是FP∞-內(nèi)射模，其中N +=[Hom]（N，/）。

命題2" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群。

1）若V是level RσH-模，

則V↑ 是level RσG -模。

2）若M是level RσH-模，則M↓是

level RσH-模。當(dāng) RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，反之，若M↓是level RσH-模，則M是level RσG-模。

證明：1）對(duì)任意右FP∞-型RσG-模A，由文獻(xiàn)[16]有

Tor1 [σ][R G]（A，V↑ ）?Tor1 [σ][R G]（A，RσG?[σ][R H]V）?Tor1 [σ][R H]（A?[σ][R G] RσG，V）=0。

故V↑ 是level RσG-模。

2）因?yàn)镸是level RσG-模，M +是FP∞-內(nèi)射RσG-模。由命題1中的2）可知，（M +）↓是FP∞-內(nèi)射RσH-模。另一方面

（M +）↓?RG?[σ][R G][Hom]（M，/）?

Hom[σ][R G]（RσG，[Hom]（M，/））?

[Hom]（RσG?[σ][R G] M，/）?（M↓） +，

因此（M↓） +是FP∞-內(nèi)射RσH-模。從而，由引理4可知，M↓是level RσH-模。

反之，因?yàn)镽σG是RσH的可分?jǐn)U張，M同構(gòu)于M↓↑ 的直和項(xiàng)。而M↓是level RσH-模，由命題2中的1）可知，M↓↑ 是level RσG-模。從而，M是level RσG-模。

可分?jǐn)U張的一些例子：

例1[9]" "設(shè)H是G的子群。如果指數(shù)[G：H]在R中是可逆的，則RσG是RσH的可分?jǐn)U張。

例2" "稱環(huán)R是Azumaya 代數(shù)，如果它在其中心上是可分的。設(shè)C是RσG的中心，如果RσG是Azumaya 代數(shù)且C?R，則由文獻(xiàn)[7]可知RσG是R的可分?jǐn)U張（R=RσH，H={1}）。

3" 可分?jǐn)U張下Gorenstein AC-平坦模的性質(zhì)

引理5" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群。若M是Gorenstein AC-平坦RσG-模，則M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：因?yàn)镸是Gorenstein AC-平坦RσG-模，則存在平坦RσG-模的正合復(fù)形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…

使得M=Ker（F0→F 0），并且對(duì)任意FP∞-內(nèi)射右RσG-模A，復(fù)形A?[σ][R G] F是正合的。根據(jù)限制函子的正合性和文獻(xiàn)[9]可知，

F↓=…→F1↓→F0↓→F 0↓→F 1↓→…

是平坦RσH-模的正合復(fù)形，且M↓=Ker（F0↓→F 0↓）。對(duì)任意FP∞-內(nèi)射右RσH-模A′，有

A′ ?[σ][R H]F↓?A′ ?[σ][R H]（RσG?[σ][R G]F）?

（A′ ?[σ][R H]RσG）?[σ][R G]F?（A′ ↑ ）?[σ][R G] F。

由命題1中的1）可知，A′ ↑是FP∞-內(nèi)射右RσG-模。故A′?[σ][R H]" F↓" 是正合復(fù)形，從而M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

定理1" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群，V是RσH-模。以下條件是等價(jià)的：

1）V是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

2）V↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。

3）V↑↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：1）?2）因?yàn)閂是Gorenstein AC-平坦RσH-模，則有平坦RσH-模的正合復(fù)形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…，

使得V=Ker（F0→F 0），并且對(duì)任意FP∞-內(nèi)射右RσH-模B，復(fù)形B?[σ][R H]" F是正合的。由誘導(dǎo)函子的正合性和文獻(xiàn)[9]可知，

F↑=…→F1↑→F0↑→F 0↑→F 1↑→…是平坦RσG-模的正合復(fù)形，且V↑=Ker（F0↑→F 0↑）。對(duì)任意FP∞-內(nèi)射右RσG-模B′，有

B′?[σ][R G] F↑?B′?[σ][R G] （RσG?[σ][R H] F）?

（B′?[σ][R G] RσG）?[σ][R H] F?（B′↓）?[σ][R H] F。

由命題1中的2）可知，B′↓是FP∞-內(nèi)射右RσH-模，故B′?RσG F↑是正合復(fù)形。從而，V↑ Gorenstein AC-平坦RσG-模。

2）?3）因?yàn)閂↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模，由引理5可知，V↑↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

3）?1）由引理3即得。

推論1" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群。當(dāng)RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，M是Gorenstein AC-平坦RσG-模，當(dāng)且僅當(dāng)M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：必要性：由引理5可知，

充分性：因?yàn)镽σG是RσH的可分?jǐn)U張，可知M同構(gòu)于M↓↑的直和項(xiàng)。由定理1可知，對(duì)Gorenstein AC-平坦RσH-模M↓，M↓↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。從而M是Gorenstein AC-平坦RσG-模。

假設(shè)Gorenstein AC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉。應(yīng)用上述結(jié)果可以比較斜群環(huán)RσG和RσH的弱Gorenstein AC 整體維數(shù)。

定理2" "設(shè)R是交換環(huán)，H是G的子群，則有

1）GAC-wgldim（RσH）≤GAC-wgldim（RσG）。

2）當(dāng)RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，

GAC-wgldim（RσH）=GAC-wgldim（RσG）。

證明：1）如果GAC-wgldim（RσH）=∞，這是顯然的。設(shè)有一個(gè)正整數(shù)n，使得GAC-wgldim（RσG）=n。對(duì)任意RσH-模V，有RσG-模正合序列：

0→Fn→…→F1→F0→V↑→0，

其中，F(xiàn)i是Gorenstein AC-平坦RσG-模。由引理5和限制函子的正合性可知，

0→Fn↓→…→F1↓→F0↓→V↑↓→0是RσH-模的正合序列，其中，F(xiàn)i↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模，所以GAC-fd（V↑↓）≤n。因?yàn)閂同構(gòu)于V↑↓的直和項(xiàng)，所以GAC-fd（V）≤n。因此GAC-wgldim（RσH）≤GAC-wgldim（RσG）

成立。

2）設(shè)有一個(gè)正整數(shù)m，使得GAC-wgldim （RσH）=m。對(duì)任意RσG-模M，有RσH-模正合序列：

0→Fm→…→F1→F0→M↓→0，

其中，F(xiàn)i是Gorenstein AC-平坦RσH-模。由定理1和誘導(dǎo)函子的正合性可知，

0→Fm↑→…→F1↑→F0↑→M↓↑→0是RσG-模正合序列，其中Fi↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。則GAC-fd（M↓↑）≤m。由于RσG是RσH的可分?jǐn)U張，所以M同構(gòu)于M↓↑的直和項(xiàng)，故GAC - fd（M）≤m。

因此，GAC-wgldim（RσG）≤GAC- wgldim（RσH）。

從而，GAC-wgldim（RσH）=GAC- wgldim（RσG）。4" 結(jié)語

本文研究了在可分?jǐn)U張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環(huán)中的同調(diào)性質(zhì)。文獻(xiàn)[9-10]討論了可分?jǐn)U張下Gorenstein-平坦模、n-Gorenstein-模及有限n-presented-模在斜群環(huán)中同調(diào)性質(zhì)的變化。本文在此基礎(chǔ)上，利用限制函子和誘導(dǎo)函子證明了斜群環(huán)在可分?jǐn)U張下保持模的FP∞-內(nèi)射、level及Gorenstein AC-平坦等同調(diào)性質(zhì)，并且如果Gorenstein AC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉，RσG是RσH的可分?jǐn)U張時(shí)，斜群環(huán)RσG和RσH的弱Gorenstein AC整體維數(shù)是相等的。本研究結(jié)果拓展了Gorenstein AC-平坦模在斜群環(huán)中的研究。

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