互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分散式自適應(yīng)跟蹤控制

摘 要：為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)對目標(biāo)軌跡的快速準(zhǔn)確跟蹤，針對一類互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種分散式自適應(yīng)跟蹤控制策略。通過使用極限學(xué)習(xí)機(jī)來處理系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)，引入Lyapunov-Krasovskii函數(shù)來處理未知時(shí)滯，結(jié)合反演控制技術(shù)和動態(tài)面控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)分散式自適應(yīng)跟蹤控制；基于Lyapunov穩(wěn)定性理論以證明所設(shè)計(jì)的控制策略可以保證閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差一致且最終有界穩(wěn)定，并借助兩級化學(xué)反應(yīng)釜系統(tǒng)驗(yàn)證所提控制策略的有效性。結(jié)果表明，所提控制策略能夠有效處理系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)與系統(tǒng)時(shí)滯，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)軌跡的快速準(zhǔn)確跟蹤。所提策略能克服未知非線性和未知時(shí)滯對系統(tǒng)的影響，可為處理復(fù)雜非線性時(shí)滯系統(tǒng)提供參考。

關(guān)鍵詞：自動控制理論；互聯(lián)系統(tǒng)；輸入飽和；時(shí)滯；反演控制；分散式跟蹤控制

中圖分類號：

TP273+.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.7535/hbkd.2024yx03004

Decentralized adaptive tracking control for interconnected

nonlinear time delay systems

HAO Ying1， LU Jiyong2， LIU Xin2， WU Xiaojing2

（1.College of Mathematics and Physical， Handan College， Handan， Hebei 056001， China;

2.School of Electrical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：In order to achieve fast and accurate tracking of the target trajectory， a decentralized adaptive tracking control strategy was proposed for a class of interconnected nonlinear time-delay systems. By using the extreme learning machine to deal with the unknown nonlinear function in the system， the Lyapunov-Krasovskii function was introduced to deal with the unknown time delay. The backstepping control technique and the dynamic surface control technique were combined to realize decentralized adaptive tracking control. Based on Lyapunov stability theory， it is demonstrated that the designed control strategy can ensure consistent and ultimately bounded stability of the tracking errors of the closed-loop system， and the effectiveness of the proposed control strategy was verified by the two-stage chemical reactor system. The results show that the proposed control strategy can deal with the nonlinear term and time delay of the system effectively， and realize fast and accurate tracking of the target trajectory.

The provided strategy overcomes the effect of unknown nonlinear and unknown time delay on the system，

which provides an effective method for dealing with complex nonlinear time-delay systems.

Keywords：automatic control theory; interconnected systems; input saturation; timedelay; backstepping control; decentralized tracking control

近年來，關(guān)于非線性系統(tǒng)控制的研究一直是控制理論的研究熱點(diǎn)，如戰(zhàn)斗控制系統(tǒng)，化學(xué)過程控制和衛(wèi)星系統(tǒng)控制[1-3]。由于現(xiàn)代系統(tǒng)的復(fù)雜性、非線性和日益增大的規(guī)模，單體系統(tǒng)已無法滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。因此，由多個子系統(tǒng)耦合而成的互聯(lián)非線性系統(tǒng)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)滯現(xiàn)象、系統(tǒng)動力學(xué)模型不確定是普遍存在，成為導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素。因此，針對互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析的研究具有重要意義。

在復(fù)雜的控制系統(tǒng)中，模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-10]因具有良好的逼近特性引起了學(xué)者們的高度關(guān)注。迄今為止，已經(jīng)有許多優(yōu)秀的研究成果。文獻(xiàn)[11]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)動態(tài)表面控制方法設(shè)計(jì)控制器，確保一類不確定隨機(jī)非線性系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到預(yù)定精度。文獻(xiàn)[12]針對欠驅(qū)動自主水下機(jī)器人三維軌跡跟蹤控制問題，提出RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)積分滑?？刂破饕詫?shí)現(xiàn)對三維軌跡的跟蹤。文獻(xiàn)[13]針對Ｕ模型的非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Super-Twisting控制器，保證了被控系統(tǒng)具有快速的跟蹤性能和輸出有界性。文獻(xiàn)[14]針對一類具有周期擾動和輸入時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)動態(tài)面控制策略，確保了閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號是半全局有界的。文獻(xiàn)[15]針對一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，提出一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)跟蹤控制算法。相較于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，極限學(xué)習(xí)機(jī)具有更優(yōu)越的控制性能[16]。極限學(xué)習(xí)機(jī)是一種單隱層前向網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法，特點(diǎn)是訓(xùn)練速度快，而且可以達(dá)到很高的泛化性能。極限學(xué)習(xí)機(jī)可以隨機(jī)分配隱層節(jié)點(diǎn)的參數(shù)（包括輸入權(quán)值和激活函數(shù)的偏差），并且在訓(xùn)練過程中保持不變。到目前為止，極限學(xué)習(xí)機(jī)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于識別和控制非線性動態(tài)系統(tǒng)當(dāng)中[17-19]。文獻(xiàn)[17]提出了基于在線序列極限學(xué)習(xí)機(jī)的模型預(yù)測控制，該方法的跟蹤精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型預(yù)測控制。文獻(xiàn)[18]基于極限學(xué)習(xí)機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法及其主體結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展，提出了一種新的在線誤差最小化-極限學(xué)習(xí)機(jī)算法，不僅避免了網(wǎng)絡(luò)冗余，而且大大提高了控制性能。針對雙噴射發(fā)動機(jī)的空燃比控制問題，文獻(xiàn)[19]提出了一種具有自適應(yīng)控制器的極限學(xué)習(xí)機(jī)控制框架，其中極限學(xué)習(xí)機(jī)被用來識別基于引擎實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的最優(yōu)控制率。綜上所述，鑒于極限學(xué)習(xí)機(jī)優(yōu)越的逼近性能，本文將借此來估計(jì)系統(tǒng)中的未知非線性項(xiàng)。

受被控制系統(tǒng)空間上大型化、結(jié)構(gòu)上復(fù)雜化等因素的影響，傳統(tǒng)的集中控制使得被控系統(tǒng)間的信息交流變得異常復(fù)雜，這不僅增加了系統(tǒng)的集成度，而且增加了系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用，同時(shí)降低了系統(tǒng)的可靠性。文獻(xiàn)[20]針對一類具有非對稱控制輸入和不匹配互聯(lián)項(xiàng)的非線性互聯(lián)系統(tǒng)，提出一種分散學(xué)習(xí)控制策略，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號一致最終有界。文獻(xiàn)[21]針對具有非對稱輸入和不匹配互聯(lián)項(xiàng)的連續(xù)時(shí)間非線性互聯(lián)系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定問題，設(shè)計(jì)了一種基于自適應(yīng)評判的分散控制律，保證了被控系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[22]提出一種分散自適應(yīng)滑?？刂品桨福朔讼到y(tǒng)存在死區(qū)線性輸入和子系統(tǒng)間具有未知互聯(lián)的問題。文獻(xiàn)[23]提出一種全局分散非光滑跟蹤算法，保證了一類具有附加擾動的強(qiáng)耦合互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定。盡管上述工作已取得了一定的進(jìn)展，但并沒有考慮狀態(tài)時(shí)滯給系統(tǒng)帶來的影響。在許多實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的各部分間進(jìn)行信息傳輸不可避免地會存在時(shí)延，這會給被控制系統(tǒng)帶來不可預(yù)期的不穩(wěn)定性。

基于上述分析，本文針對互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制問題，通過使用極限學(xué)習(xí)機(jī)來估計(jì)系統(tǒng)中的非線性函數(shù)，利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)消除時(shí)滯對互聯(lián)非線性系統(tǒng)的影響，基于反演控制技術(shù)和動態(tài)面控制技術(shù)提出分散式自適應(yīng)跟蹤控制策略，以使閉環(huán)系統(tǒng)中所有的信號最終一致有界。

1 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮第i個互聯(lián)非線性時(shí)滯子系統(tǒng)，其動力學(xué)模型如下：

i，l=xi，l+1+fi，l（i，l）+gi，l（xi，l（t-di，l））+Δi，l（），

i，ni=ui+fi，ni（xi）+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni（），

yi=xi，1，（1）

式中：i=1，2，…，N；l=1，2，…，ni-1；i，l=

［xi，1，xi，2，…，xi，l］T∈Rl；xi=［xi，1，xi，2，…，xi，ni］∈Rni，表示第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)；=［y1，y2，…，yN］T∈RN，表示第i個子系統(tǒng)的輸出；fi，l（）是未知的光滑非線性函數(shù)；gi，l（）是未知的非線性時(shí)變函數(shù)；di，l（t）是未知的時(shí)間延遲，并且i，l≤i，llt;1，l=1，2，…，ni；Δi，l（）代表子系統(tǒng)之間的未知非線性互聯(lián)項(xiàng)；ui是在本文后續(xù)部分要設(shè)計(jì)的實(shí)際控制器。

此外，為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，引入如下的假設(shè)和引理。

假設(shè)1：參考信號yi，r（t）及其導(dǎo)數(shù)y（i）i，r（t）都是已知且有界的，其中i=1，2，…，N。

假設(shè)2：互聯(lián)項(xiàng)Δi滿足如下不等式

‖Δi（）‖≤∑Nj=1

Γi，j（|yj|），（2）

式中i=1，2，…，N。未知的非線性函數(shù)滿足Γi，j

（yj）=yjΓ*i，j（yj）、Γi，j（yj）=yjΓ*i，j（yj）、Γi，j（yj）=yjΓ*i，j（yj），其中Γi，j（yj）、Γ*i，j（yj）、Γi，j（yj）和Γ*i，j（yj）都是已知的光滑函數(shù)。

引理1[24]：設(shè)1∈Rn，1，1∈Rn，2，且g：Rn，1×n，2→R是一個連續(xù)函數(shù)，可以得到|g（1，2）|≤p1（1）+p2（2），其中p1（1）≥0和p2（2）≥0都是連續(xù)函數(shù)。

從假設(shè)2中可以得到時(shí)滯非線性函數(shù)gi，l（）滿足如下不等式：

|gi，l（xi，l（t-di，l））|≤∑lj=1qi，l，j（xi，l（t-di，l）），（3）

式中qi，l，j（xi，l（t-di，l（t）））≥0，是未知的時(shí)滯函數(shù)。

注1：假設(shè)1是自適應(yīng)反演控制方法的常見要求[25]；假設(shè)2是對于未知的互聯(lián)項(xiàng)的一個常見條件[26]。

2 基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的分散式自適應(yīng)跟蹤控制設(shè)計(jì)

針對互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)（1），基于動態(tài)面控制技術(shù)，給出如下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程：

zi，1=yi-yi，r， zi，l=xi，l-ωi，l， χi，l=ωi，l-αi，l-1，（4）

式中：l=2，3，…，ni；αi，l是虛擬控制律，這將在本文后續(xù)進(jìn)行設(shè)計(jì)；ωi，l為相應(yīng)的濾波器信號，其作用主要是用來避免αi，l-1的微分運(yùn)算。因此，基于動態(tài)面控制技術(shù)的遞歸設(shè)計(jì)過程如下。

第1步 根據(jù)式（1）和式（4），可以得到zi，1的導(dǎo)數(shù)如下：

i，1=i-i，r=xi，2+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-

i，r=

zi，2+χi，2+αi，1+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-i，r。

考慮如下李雅普諾夫函數(shù)：

Vi，1=12z2i，1+12χ2i，2+12σi，1

θ～2i，1+Hi，1，（5）

式中：σi，1gt;0是常數(shù)；θi.1=‖Wi，1‖2；θ～i，1=θi，1-i，1，其中

i，1是θi，1的估計(jì)值；Lyapunov-Krasovskii函數(shù)Hi，1為

Hi，1=11-i，1e-τ（t-di，1）∫tt-di，1

eτsq2i，1，1（xi，1（s））ds，

其中τ是正設(shè)計(jì)參數(shù)。

對式（5）求導(dǎo)，可得：

Vi，1=zi，1zi，1+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1+Hi，1=

zi，1（zi，2+χi，2+αi，1+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-yi，r）+

χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1

i，1+Hi，1，（6）

式中：

Hi，1=-τ（1-di，1（t））1-d-i，1e-τ（t-di，1（t））∫tt-di，1（t）eτsq2i，1，1（xi，1（s））ds+

e-τ（t-di，1（t））1-d-i，1

eτtq2i，1，1（t）-（1-di，1（t））eτ（t-di，1（t））q2i，1，1（xi，1（t-di，1（t））），（7）

使用Young′s不等式，可得：

zi，1χi，2≤12z2i，1+12χ2i，2，（8）

zi，1gi，1（xi，1（t-di，1））≤|zi，1|q2i，1，1（xi，1（t-di，1））≤14z2i，1+q2i，1，1（xi，1（t-di，1）），（9）

zi，1Δi，1≤14z2i，1+‖Δi（）‖2。（10）

由于di，1（t）≤d-i，1lt;1，di，1（t）≤di，可得：

-（1-di，1（t））≤-（1-d-i，1），

以及

eτdi，1（t）≤eτdi，

將式（7）—式（10）代入式（6），可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+fi，1+zi，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1-

τ（1-d-i，1）Hi，1+eτdi1-d-i，1q2i，1，1（xi，1（t））+‖Δi（）‖2。 （11）

定義如下函數(shù)：

Ωi，1=eτdi1-d-i，1q2i，1，1（xi，1（t））。

通過在式（11）中同時(shí)加減ki，1z2i，1Ωi，1，可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+Ψi，1+zi，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1-

τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2，（12）

式中：ki，1gt;0，是常數(shù)；Ψi，1=fi，1+ki，1zi，1Ωi，1，是一個未知函數(shù)。

針對式（12）中的未知非線性函數(shù)Ψi，1，利用極限學(xué)習(xí)機(jī)的近似特性，即一定存在最優(yōu)輸出權(quán)重參數(shù)W使得Ψi，1滿足：

Ψi，1=Si，1（xi，1，，d）Wi，1+δi，1（x），（13）

其中δi，1（x）是近似誤差，滿足|δi，1（x）|≤εi，1，εi，1gt;0。定義θi=‖W2i，1‖，i=1，2，…，N。

將式（13）代入式（12）可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+Si，1（x，，d）Wi，1+δi，1（x）+zi，1-

yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-

1σi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2。（14）

使用Young′s不等式，可得：

zi，1Si，1（x，，d）Wi，1≤θ2ai，1z2i，1STi，1Si，1+12ai，1，（15）

zi，1δi，1（x）≤12z2i，1+12ε2i，1。（16）

將式（15）、式（16）代入式（14）可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+32zi，1+θi，12ai，1zi，1STi，1Si，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-

1σi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2+12ai，1+12ε2i，1。（17）

根據(jù)式（17），設(shè)計(jì)虛擬控制律：

αi，1=-ci，1zi，1-32zi，1-i，12ai，1zi，1STi，1Si，1+yi，r-zi，1φi（） ，（18）

式中：ci，1是一個正設(shè)計(jì)常數(shù)；φi（）是一個設(shè)計(jì)函數(shù)，將在本文后續(xù)進(jìn)行定義。

自適應(yīng)參數(shù)更新算法選擇為

i，1=12ai，1σi，1z2i，1STi，1

Si，1-cθi，1 。（19）

一階低通濾波器算法為

li，2ωi，1+ωi，1=αi，1，ωi，2（0）=αi，1（0），（20）

式中：li，2是正常數(shù)；ωi，2是低通濾波器的輸出；αi，2是相應(yīng)的輸入。

通過Young′s不等式，可得：

χi，2χi，2≤-1li，1χ2i，1+12χ2i，2+12L2i，1，（21）

其中|αi，2|≤L2i，1，是有界的。

將式（18）、式（19）和式（21）代入式（17），可得：

Vi，1≤-ci，1z2i，2+zi，1zi，2-（1li，2-1）χ2i，2+cθσi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+

（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2+12ai，1+12ε2i，1+12L2i，1-z2i，1φi（）。

第l步（2≤l≤ni-1） 與第1步相似，根據(jù)式（1）和式（4），可以得到zi，l的導(dǎo)數(shù)如下：

zi，l=i，l-ωi，l=

xi，l+1+fi，1+gi，1（xi（t-di，l））+Δi，l-ωi，l=

zi，l+1+χi，l+1+αi，l+fi，1+gi，1（xi（t-di，l））+Δi，l-ωi，l。

選擇如下李雅普諾夫函數(shù)：

Vi，1=Vi，l-1+12z2i，l+12χ2i，l+1+12σi，1θ～2i，l+Hi，l，

式中：σi，lgt;0，是常數(shù)；θi，l=‖Wi，l‖2，θ～i，l=θi，l-i，l，

i，l是θi，l的估計(jì)值；Lyapunov-Krasovskii函數(shù)Hi，l形式為

Hi，l=∑lj=111-d-i，le-τ（t-di，j）∫tt-di，leτsq2i，l，j（xi，l（s））ds，

其中τ是正設(shè)計(jì)常數(shù)。

對Vi，l求導(dǎo)，可得：

Vi，l=Vi，l-1+zi，lzi，l+χi，l+1χi，l+1-1σi，lθ～i，li，l+Hi，l=

Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+χi，l+1+αi，l+fi，l+gi，l（xi，l（t-di，l））+

Δi，l-ωi，l）+χi，l+1χi，l+1-1σi，lθ～i，li，l+Hi，l，（22）

式中

Hi，l=-τ（t-di，l（t））Hi，l+∑lj=11-di，l（t）1-di，lq2i，l，j（xi，l（t-di，l（t）））。（23）

使用Young′s不等式，可得：

zi，lχi，l+1≤12z2i，l+12χ2i，l+1，（24）

zi，lgi，l（xi，l（t-di，l））≤|zi，l|∑lj=1qi，l，j（xi，l（t-di，l））≤14z2i，l+∑lj=1q2i，l，j（xi，l（t-di，l）），（25）

zi，lΔi，l≤14z2i，l+‖Δi（）‖2，（26）

χi，l+1χi，l+1≤1li，l+1χ2i，l+1+12χ2i，l+1+12L2i，l。（27）

將式（23）—式（27）代入式（22）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+fi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+∑lj=1eτdi，l（t）1-d-i，lq2i，l，j（xi，l（t））+‖Δi（）‖2+12L2i，l。（28）

定義如下函數(shù)：

Ωi，l=∑lj=1eτdl，l（t）1-d-i，lq2i，l，j（xi，l（t））。（29）

通過在式（28）中同時(shí)加減ki，lz2i，lΩi，l，可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+Ψi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+‖Δi（）‖2+12L2i，l，

（30）

式中：ki，l是常數(shù)；Ψi，l=fi，l+ki，lzi，lΩi，l，是一個未知函數(shù)。

利用極限學(xué)習(xí)機(jī)的近似特性估計(jì)式（30）中的未知非線性函數(shù)Ψi，l，即

Ψi，l=Si，l（x，，d）Wi，l+δi，l（x），（31）

式中δi，l（x）是近似誤差，且|δi，l（x）|≤εi，l，εi，lgt;0。

將式（31）代入式（30）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+Si，l（x，，d）Wi，l+δi，l（x）-ωi，l）-1σi，lθ～i，li，l-

（1li，l+1-1）χ2i，l+1-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+‖Δi（）‖2+12L2i，l。（32）

使用Young′s不等式，可得：

zi，lSi，l（x，，d）Wi，l≤θi，l2ai，lz2i，lSTi，lSi，l+12ai，l，（33）

zi，lδi，l（x）≤12z2i，l+12ε2i，l，（34）

將式（33）、式（34）代入式（32）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+54zi，l+αi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+θi，l2ai，lz2i，lSTi，lSi，l+

‖Δi（）‖2+12ai，l+12ε2i，l+12L2i，l。（35）

根據(jù)式（35），設(shè)計(jì)虛擬控制律αi，l如下：

αi，l=-ci，lzi，l-zi，l-1-54zi，l-l4zi，l-i，l

2ai，lzi，lSTi，lSi，l+ωi，l。（36）

自適應(yīng)參數(shù)更新算法選擇為

i，l=12ai，lσi，lz2i，lSTi，lSi，l-cθi，l。（37）

在第（l-1）步中，可得：

Vi，l-1≤-∑l-1j=1ci，jz2i，j+zi，l-1zi，l-∑lj=2（1ιi，j-1）χ2i，j+∑l-1j=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑l-1j=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑l-1j=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑l-1j=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）+l‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。（38）

將式（36）—式（38）代入式（35），可得：

Vi，l≤-∑lj=1ci，jz2i，j+zi，lzi，l+1-∑l+1j=2（1li，j-1）χ2i，j+∑lj=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑lj=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑lj=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑lj=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）+l‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。

第ni步 根據(jù)式（1）和式（4），可以得到zi，ni的導(dǎo)數(shù)如下：

zi，ni=i，ni-ωi，ni=ui+fi，ni+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni-ωi，ni。

考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

Vi，ni=Vi，ni-1+12z2i，ni+12σi，niθ～2i，ni+Hi，ni，

式中：σi，nigt;0，是常數(shù)；θi，ni=‖Wi，ni‖2，θ～i，ni=θi，ni-i，ni，i，ni是θi，ni的估計(jì)值；Lyapunov-Krasovskii函數(shù)Hi，ni形式如下：

Hi，ni=∑nij=111-d-i，nie-τ（t-di，ni）∫tt-di，nieτsq2i，ni，j（xi，ni（s））ds，

其中τ是正設(shè)計(jì)參數(shù)。

對Vi，ni求導(dǎo)，可得：

Vi，ni=Vi，ni-1+zi，nizi，ni-1σi，niθ～i，nii，ni+Hi，ni=

Vi，ni-1+zi，ni（ui+fi，ni+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni+Hi，ni，（39）

式中Hi，ni為

Hi，ni=-τ（1-di，ni）Hi，ni+∑nij=1eτdi，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（x（t））-∑nij=11-di，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t-di，ni））。（40）

使用Young′s不等式，可得：

zi，nigi，ni（xi，ni（t-di，ni））≤|zi，ni|∑nij=1qi，ni，j（xi，ni（t-di，ni））≤ni4z2i，ni+∑nij=1q2i，ni，j（xi，ni（t-di，ni）），（41）

zi，niΔi，ni≤14z2i，ni+‖Δi（）‖2。（42）

將式（40）—式（42）代入式（39）可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+fi，ni+ni4zi，ni+14zi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-

τ（1-di，ni（t））Hi，ni+‖Δi（）‖2+∑nij=1eτdi，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t））。（43）

定義如下函數(shù)

Ωi，ni=∑nij=1eτdni1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t）），

通過在式（43）中同時(shí)加減ki，niz2i，niΩi，ni，可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+14zi，ni+Ψi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-

τ（1-di，ni（t））Hi，ni+（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+‖Δi（）‖2，（44）

式中：ki，ni是常數(shù)；Ψi，ni=fi，ni+ki，nizi，niΩi，ni，是一個未知函數(shù)。

利用極限學(xué)習(xí)機(jī)的近似特性估計(jì)式（44）中的未知非線性函數(shù)Ψi，ni，即

Ψi，ni=Si，ni（x，，d）Wi，ni+δi，ni（x），（45）

式中δi，ni（x）是近似誤差，且|δi，ni（x）|≤εi，ni，εi，nigt;0。

將式（45）代入式（44），可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+14zi，ni+Si，ni（x，，d）Wi，ni+δi，ni（x）-ωi，ni）-

1σi，niθ～i，nii，ni-τ（1-di，ni（t））Hi，ni+（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+‖Δi（）‖2。（46）

使用Young′s不等式，可得：

zi，niSi，ni（x，，d）Wi，ni≤θi，ni2ai，niz2i，niSTi，niSi，ni+12ai，ni，（47）

zi，niδi，ni（x）≤12z2i，ni+12ε2i，ni。（48）

將式（47）、式（48）代入式（46）可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+34zi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-τ（1-di，ni（t））Hi，ni+

（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+θi，ni2ai，niz2i，niSTi，niSi，ni+‖Δi（）‖2+12ai，ni+12ε2i，ni。（49）

根據(jù)式（49），設(shè)計(jì)實(shí)際控制器為

ui=-ci，nizi，ni-zi，ni-1-ni4zi，ni-34zi，ni-i，ni2ai，nizi，niSTi，niSi，ni+ωi，ni，（50）

式中ci，ni是一個正設(shè)計(jì)常數(shù)。

自適應(yīng)參數(shù)更新算法選擇為

i，ni=12ai，niσi，niz2i，niSTi，niSi，ni-cθi，ni。（51）

在第（ni-1）步中，可得：

Vi，ni-1≤-∑ni-1j=1ci，jz2i，j+zi，ni-1zi，ni-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j+∑ni-1j=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑ni-1j=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑ni-1j=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+（ni-1）‖Δi（）‖2+12∑ni-1j=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）。（52）

將式（50）—式（52）代入式（49）可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j+∑nij=1cθσi，j

θ～i，ji，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+ni‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。（53）

根據(jù)假設(shè)2，互聯(lián)項(xiàng)Δi（）可以重寫成如下形式：

‖Δi（）‖2≤（∑Nj=1Γi，j（|yj|））2≤N∑Nj=1（2Γ2i，j（2|zi，1|）+2Γ2i，j（2|yrj|））≤

N∑Nj=18z2i，1（Γj，i（2|zi，1|）+Γj，i（2|zi，1|））2+Bi，（54）

式中Bi≥2N∑Nj=1Γ2j，i（2|yrj|），是正常數(shù)。

為了處理互聯(lián)項(xiàng)，定義如下函數(shù)：

φi（）=8ni∑Nj=1N（Γj，i（2|zi，1|）+Γj，i（2|zi，1|））2。（55）

將式（54）和式（55）代入式（53），可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1

1li，j-1χ2i，j+∑nij=1cθσi，j

θ～i，ji，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+Bini。（56）

使用Young′s不等式，可得：

∑nij=1cθσi，jθ～i，ji，j≤-∑nij=1cθ2σi，jθ～2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j。（57）

將式（57）代入式（56），可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j-∑nij=1cθ2σi，j

θ～2i，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j+Bini。

3 穩(wěn)定性分析

定理1：針對式（1）所示的互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)，在滿足假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，基于極限學(xué)習(xí)機(jī)設(shè)計(jì)的虛擬控制律（見式（18）、式（36））、自適應(yīng)律（見式（19）、式（37）、式（51））和實(shí)際控制器（見式（50）），可以保證系統(tǒng)所有閉環(huán)信號有界，跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)。

證明：對于整個非線性互聯(lián)系統(tǒng)，選擇如下李雅普諾夫函數(shù)

V≤∑Ni=1Vi，ni。

對V求導(dǎo)得：

V≤∑Ni=1

-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j-∑nij=1cθ2σi，jθ～2i，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+ρ，

式中ρ=12∑nij=1（a2i，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j+Bini。

基于以上描述，考慮如下2種情況。

情況1：（|zi，j|≤1/ki，j，j=1，2，…，ni） 從上面表述中可以看出，由于zi，1、yi，r的有界性，可以從式（4）得到xi，1有界。然后，因?yàn)棣取玦，1是有界的，所以αi，1有界。如果αi，1有界，可以從式（20）中得到ωi，2也是有界的?；趜i，2、ωi，2的有界性，可以得到xi，2也是有界的。因?yàn)棣取玦，2有界，那么αi，2也有界。從類似的推導(dǎo)中，最終可以得到αi，j（j=3，4，…，ni-1）和ui也是有界的。因此，通過以上分析可以總結(jié)得出系統(tǒng)所有閉環(huán)信號都是有界的。

情況2：|zi，j|gt;1/ki，j并且Ωi，j≥0，所以∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j≤0 此時(shí)V可以簡寫成V≤-γV+ρ，其中γ=min1≤j≤ni2ci，j，τ-i，j，cθ，2（1li，j-1），τ-i，j=τ（1-d-i，j）。故可以得到Vlt;0，即系統(tǒng)閉環(huán)信號都是有界的。然后，對V兩邊同時(shí)乘以eγt并對不等式的兩邊再進(jìn)行積分可以得到V（t）≤e-γtV（0）+（ρ/γ）（1-e-γt），根據(jù)（1/2）z2i，1≤V（t），可以得到|zi，1|≤2ρ/γ。因此，跟蹤誤差zi，1可以收斂到原點(diǎn)的可調(diào)鄰域內(nèi)。

基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的分散式自適應(yīng)跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

4 仿真驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提控制策略的有效性，針對兩級化學(xué)反應(yīng)釜系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。實(shí)際系統(tǒng)模型描述如下：

1，1=-1-A1，2vol1，1x1，2-1T1，1x1，1-K1，1x1，1+C1，1sin（x1，1+x2，1），

1，2=-B1vol1，2u1-1T1，2x1，2-K1，2x1，2-A1，1vol1，2x1，1（t-d1，2）+C1，2sin（x2，1），

y1=x1，1，

2，1=-1-A2，2vol2，1x2，2-1T2，1x2，1-K2，1x2，1+C2，1sin（x1，1），

2，2=-B2vol2，2u2-1T2，2x2，2-K2，2x2，2-A2，1vol2，2x2，1（t-d2，2）+C2，2sin（x1，1-x2，1），

y2=x2，1，

式中：x1，1、x1，2、x2，1和x2，2為各子系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u1、u2為控制輸入；A1，1、A1，2、A2，1和A2，2為化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的循環(huán)流速；vol1，1、vol1，2、vol2，1和vol2，2為化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的體積；T1，1、T1，2、T2，1和T2，2為化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的反應(yīng)堆停留時(shí)間；K1，1、K1，2、K2，1和K2，2為化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的反應(yīng)常數(shù)；B1和B2為化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的進(jìn)料速度。

時(shí)滯選擇為d1，2=0.2+0.08sin（2t）和d2，2=0.3+0.12sin（2t）。期望軌跡選擇yd，1=yd，2=0.2+0.5sin（0.5t）。a1，1、a1，2、a2，1、a2，2和cθ是自適應(yīng)參數(shù)權(quán)重更新算法中的設(shè)計(jì)參數(shù)；c1，1、c1，2、c2，1和c2，2是虛擬控制律以及實(shí)際控制器中的設(shè)計(jì)參數(shù)；l1，2和l2，2是一階低通濾波器中的設(shè)計(jì)參數(shù)。

具體的系統(tǒng)參數(shù)選擇如表1所示。

仿真中的設(shè)計(jì)參數(shù)選擇如表2所示。

得到的仿真結(jié)果如圖2—圖9所示。圖2和圖6給出了子系統(tǒng)1中輸出信號y1以及子系統(tǒng)2中輸出信號y2跟蹤相應(yīng)參考信號的軌跡，從圖中可以看出y1、y2與參考信號yd，1、yd，2軌跡非常吻合。為了進(jìn)一步展示系統(tǒng)跟蹤性能，圖3和圖7給出了子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2中的跟蹤誤差，從圖中可以看出系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快且超調(diào)量極小等優(yōu)點(diǎn)。綜上所述，所提出的控制策略能夠使化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的輸出信號成功地跟蹤參考信號。圖4和圖8是子系統(tǒng)1的控制輸入u1和子系統(tǒng)2的控制輸入u2，圖5和圖9是子系統(tǒng)1中的自適應(yīng)參數(shù)1，1、1，2和子系統(tǒng)2中的自適應(yīng)參數(shù)2，1、2，2的變化過程：可以看出所有信號都是有界的，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提控制策略的有效性。

5 結(jié) 語

針對一類互聯(lián)非線性時(shí)滯系統(tǒng)，利用極限學(xué)習(xí)機(jī)的近似特性逼近未知非線性函數(shù)，通過Lyapunov- Krasovskii函數(shù)消除了時(shí)滯對互聯(lián)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，結(jié)合反演控制技術(shù)和動態(tài)面控制技術(shù)，提出了分散式自適應(yīng)跟蹤控制策略，保證了閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差一致最終有界穩(wěn)定。仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提控制策略具有明顯的有效性和優(yōu)越性，不僅克服了未知非線性和未知時(shí)滯對系統(tǒng)的影響，而且保證了系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。

未來將進(jìn)一步考慮執(zhí)行器故障情況對系統(tǒng)的影響，提出更適合實(shí)際應(yīng)用的容錯控制方法，以期為工業(yè)自動化、機(jī)器人協(xié)同控制、航空航天等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域提供理論參考。

參考文獻(xiàn)/References：

[1] LI Jichao，ZHAO Danling，JIANG Jiang，et al.Capability oriented equipment contribution analysis in temporal combat networks[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2021，51（2）：696-704.

[2] NIKOLAKOPOULOU A，BRAATZ R D.Polynomial NARX-based nonlinear model predictive control of modular chemical systems[J].Computers amp; Chemical Engineering，2023.DOI： 10.1016/j.compchemeng.2023.108272.

[3] LI Xiaolei，SUN Guanghui，KUANG Zhian，et al.Nonlinear predictive optimization for deploying space tethered satellite via discrete-time fractional-order sliding mode[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2022，58（5）：4517-4526.

[4] ZHANG Jiaming，NIU Ben，WANG Ding，et al.Time-/event-triggered adaptive neural asymptotic tracking control for nonlinear systems with full-state constraints and application to a single-link robot[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2022，33（11）：6690-6700.

[5] SUN Kangkang，GUO Runsheng，QIU Jianbin.Fuzzy adaptive switching control for stochastic systems with finite-time prescribed performance[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2022，52（9）：9922-9930.

[6] 肖會芹，徐春秀，黃浪塵，等.基于雙邊閉環(huán)函數(shù)的T-S模糊模型非線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，37（4）：20-27.

XIAO Huiqin，XU Chunxiu，HUANG Langchen，et al.Network tracking control of T-S fuzzy model nonlinear system based on bilateral closed-loop function[J].Journal of Hunan University of Technology，2023，37（4）：20-27.

[7] 劉德玉，鄒坤霖，賀力克.一類MIMO非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒跟蹤控制[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2022，39（11）：66-72.

LIU Deyu，ZOU Kunlin，HE Like.Adaptive robust tracking control based on neural network for a class of mimo nonlinear systems[J].Computer Applications and Software，2022，39（11）：66-72.

[8] 李永偉，王紅飛.六旋翼植保無人機(jī)模糊自適應(yīng)PID控制[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，38（1）：59-65.

LI Yongwei，WANG Hongfei.Fuzzy adaptive PID control for six rotor EPPO UAV[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2017，38（1）：59-65.

[9] 張春會，趙文豪，田英輝，等.墜物撞擊海底管道損傷的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，44（5）：502-512.

ZHANG Chunhui，ZHAO Wenhao，TIAN Yinghui，et al.Damage predictive model of submarine pipeline impacted by falling object based on BP neural network[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2023，44（5）：502-512.

[10]王素珍，劉建鋒.改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性多模型自適應(yīng)控制[J].電光與控制，2021，28（8）：1-5.

WANG Suzhen，LIU Jianfeng.Multi-model adaptive control of nonlinear systems based on improved BP neural network[J].Electronics Optics amp; Control，2021，28（8）：1-5.

[11]WU Jian，CHEN Xuemiao，ZHAO Qianjin，et al.Adaptive neural dynamic surface control with prespecified tracking accuracy of uncertain stochastic nonstrict-feedback systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2022，52（5）：3408-3421.

[12]馬洪潮，戴曉強(qiáng)，陸震，等.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的AUV自適應(yīng)動態(tài)積分滑模軌跡跟蹤[J].火力與指揮控制，2022，47（12）：65-71.

MA Hongchao，DAI Xiaoqiang，LU Zhen，et al.Adaptive dynamic integral sliding mode trajectory tracking of AUV based on RBF neural network[J].Fire Control amp; Command Control，2022，47（12）：65-71.

[13]張建華，李楊，吳學(xué)禮，等.基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑?？刂蒲芯縖J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（4）：376-381.

ZHANG Jianhua，LI Yang，WU Xueli，et al.Study of super-twisting sliding mode control for U model based nonlinear system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2016，37（4）：376-381.

[14]吳健，孫永波，趙前進(jìn).基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期擾動非線性系統(tǒng)自適應(yīng)漸近跟蹤控制[J].控制與決策，2022，37（4）：922-932.

WU Jian，SUN Yongbo，ZHAO Qianjin.Neural-networks-based adaptive asymptotic tracking control for nonlinear systems with periodic disturbances[J].Control and Decision，2022，37（4）：922-932.

[15]周淑燕，程玉虎，王雪松.具有新型狀態(tài)約束的非線性系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2023，43（8）：1952-1968.

ZHOU Shuyan，CHENG Yuhu，WANG Xuesong.Neuroadaptive control of nonlinear systems with new state constraints[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences，2023，43（8）：1952-1968.

[16]WONG P K，GAO Xianghui，WONG K I，et al.Initial-training-free online sequential extreme learning machine based adaptive engine air-fuel ratio control[J].International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2019，10（9）：2245-2256.

[17]WONG P K，WONG H C，VONG C M，et al.Model predictive engine air-ratio control using online sequential extreme learning machine[J].Neural Computing and Applications，2016，27（1）：79-92.

[18]JIA Chao，LI Xiaoli，WANG Kang，et al.Adaptive control of nonlinear system using online error minimum neural networks[J].ISA Transactions，2016，65：125-132.

[19]WONG K I，WONG P K.Adaptive air-fuel ratio control of dual-injection engines under biofuel blends using extreme learning machine[J].Energy Conversion amp; Management，2018，165：66-75.

[20]WANG Jing，WU Jiacheng，SHEN Hao，et al.A decentralized learning control scheme for constrained nonlinear interconnected systems based on dynamic event-triggered mechanism[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2023，53（8）：4934-4943.

[21]YANG Xiong，ZHOU Yingjiang，DONG Na，et al.Adaptive critics for decentralized stabilization of constrained-input nonlinear interconnected systems[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2022，52（7）：4187-4199.

[22]JIANG Baoping，GAO Cunchen.Decentralized adaptive sliding mode control of large-scale semi-Markovian jump interconnected systems with dead-zone input[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2022，67（3）：1521-1528.

[23]ZHANG Chuanlin，YAN Yunda，YU Haoyong.Global dynamic nonrecursive realization of decentralized nonsmooth exact tracking for large-scale interconnected nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2019，49（9）：3521-3531.

[24]CHOI Y H，YOO S J.Neural-networks-based adaptive quantized feedback tracking of uncertain nonlinear strict-feedback systems with unknown time delays[J].Journal of the Franklin Institute，2020，357（15）：10691-10715.

[25]GAO Yongfeng，SUN Ximing，WEN Changyun，et al.Observer-based adaptive NN control for a class of uncertain nonlinear systems with nonsymmetric input saturation[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2017，28（7）：1520-1530.

[26]ZHANG Liuliu，HUA Changchun，CHENG Guangyu，et al.Decentralized adaptive output feedback fault detection and control for uncertain nonlinear interconnected systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2020，50（3）：935-945.