知識(shí)交匯融合，多解思維拓展

摘 要：數(shù)列與不等式的交匯融合，一直是高考命題中的一個(gè)重要方向，更是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處創(chuàng)設(shè)的高考命題的基本指導(dǎo)思想之一.以一道數(shù)列的模擬題，通過(guò)數(shù)列與不等式恒成立的創(chuàng)設(shè)，巧思維視角解決，妙變式應(yīng)用拓展，剖析數(shù)列與不等式交匯融合的本質(zhì)與應(yīng)用，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與備考.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；不等式；恒成立；待定系數(shù)法

數(shù)列與不等式交匯的問(wèn)題，既有函數(shù)的必備知識(shí)與思想方法，也有數(shù)列特定的必備知識(shí)與思想方法，更有不等式求解、證明的方法和技巧等，由于知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、創(chuàng)新新穎等特點(diǎn)，也是歷年高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一，解答起來(lái)有一定的難度，具有較好的選拔性與區(qū)分度.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

（2024年浙江浙南名校聯(lián)盟高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，且滿足12Sn=4an+1+5n-13，其中Sn為其前n項(xiàng)和，若恒有Sn≤S4（n∈N*），則a1的取值范圍為_(kāi)___.

本題是以數(shù)列為載體，借助數(shù)列中前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的遞推關(guān)系式加以創(chuàng)設(shè)條件，通過(guò)不等式恒成立來(lái)設(shè)置數(shù)列與不等式的綜合交匯應(yīng)用，進(jìn)而全面考查數(shù)列與不等式等相關(guān)知識(shí)與應(yīng)用.

在解決具體問(wèn)題時(shí)，先利用前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，利用相關(guān)的方法與策略，進(jìn)而得以確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式或數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，進(jìn)一步利用不等式Sn≤S4（n∈N*）恒成立加以分析，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的通項(xiàng)問(wèn)題或前n項(xiàng)和問(wèn)題，合理列出與首項(xiàng)a1有關(guān)的不等式（組），通過(guò)相應(yīng)的不等式（組）的求解來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)a1的取值范圍.

2 問(wèn)題破解

方法1：（累乘法+數(shù)列不等式法）

3 變式拓展

基于數(shù)列與不等式的知識(shí)交匯與融合的背景，合理改變題設(shè)場(chǎng)景，可以對(duì)問(wèn)題加以巧妙地變式與拓展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法等方面的進(jìn)一步掌握與提升.

變式 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，且滿足Sn+Sn-1=3n2+2n+4（n≥2），其中Sn為其前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的n∈N*，恒有不等式anlt;an+1成立，則a1的取值范圍為_(kāi)___.

解析：依題，當(dāng)n=2時(shí)，可得a1+a2+a1=3×22+2×2+4=20，則有a2=20-2a1.

當(dāng)n≥3時(shí)，由Sn+Sn-1=3n2+2n+4，可知Sn-1+Sn-2=3（n-1）2+2（n-1）+4=3n2-4n+5.

以上兩式對(duì)應(yīng)相減，可得an+an-1=6n-1，則有an+1+an=6（n+1）-1=6n+5.

以上兩式對(duì)應(yīng)相減，可得an+1-an-1=6（n≥3），所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，相應(yīng)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別都是公差為6的等差數(shù)列.

當(dāng)n=3時(shí)，由an+an-1=6n-1，可得a3=6×3-1-a2=17-（20-2a1）=2a1-3.

4 教學(xué)啟示

4.1 知識(shí)歸納，方法總結(jié)

涉及數(shù)列中前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的遞推關(guān)系式問(wèn)題，可以利用an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2與an=Sn-Sn-1=f（an）-f（an-1）消去Sn或利用Sn=f（Sn-Sn-1）消去an求解.

具體的解題步驟就是升降下標(biāo)作差，運(yùn)用通分、合并同類項(xiàng)、因式分解等，借助配湊法、累加（累乘）法、待定系數(shù)法等方法，將復(fù)雜、不熟悉的數(shù)列類型轉(zhuǎn)化為特殊的等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求解過(guò)程中往往要對(duì)數(shù)列的第一、二項(xiàng)等加以合理檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)差別與錯(cuò)誤.

4.2 能力提升，素養(yǎng)培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，是開(kāi)啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)的金鑰匙，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉.利用數(shù)列與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法等方面的交匯與綜合，巧妙創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)命題，可以有效考查學(xué)生的 “四基”以及數(shù)學(xué)能力等，使學(xué)生知識(shí)眼界開(kāi)闊，拓寬解題思路，懂得數(shù)學(xué)思想與方法的重要性，也是學(xué)生綜合應(yīng)用能力提高的一大體現(xiàn)，從而有效提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).