構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化思維品質(zhì)

摘 要：數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，是數(shù)學(xué)建模中一個(gè)重要方面，成為學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的一個(gè)重要場(chǎng)景.結(jié)合數(shù)學(xué)模型的思維改進(jìn)，合理突破常規(guī)，巧妙拓展思維，借助知識(shí)轉(zhuǎn)化，綜合創(chuàng)新應(yīng)用等來優(yōu)化思維品質(zhì)，指導(dǎo)并提升數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；思維；創(chuàng)新；應(yīng)用

根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系的整體框架，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為基本理念［1］，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的作用，以及數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系與應(yīng)用，從而形成并發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，提高實(shí)踐能力.因而，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，合理改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力．

1 突破常規(guī)模型

在實(shí)際破解數(shù)學(xué)問題時(shí)，要敢于超越常規(guī)，使得原有數(shù)學(xué)知識(shí)和所研究的數(shù)學(xué)問題盡可能地聯(lián)系、發(fā)散、拓展，敢于突破固有的思維定式，善于從不同思維角度來思考、分析問題，從而達(dá)到思維的流暢性與創(chuàng)新性．

分析：常規(guī)方法是通過題目條件聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式的幾何意義并加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.而本題是根據(jù)題目條件“點(diǎn)在圓上”進(jìn)行三角換元模型處理，結(jié)合絕對(duì)值關(guān)系式的恒等變換，以及對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的取值與x，y無(wú)關(guān)，進(jìn)而確定相關(guān)的不等式a≥1－3cosθ+4sinθ需要恒成立，再通過三角函數(shù)的輔助角公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用確定其最大值，最終確定參數(shù)的取值范圍．

所以a≥6，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［6，+∞），故選擇答案D．

點(diǎn)評(píng)：與借助點(diǎn)到直線的距離公式的幾何意義來分析與處理的基本方法相比，以上解題過程突破常規(guī)，結(jié)合三角換元知識(shí)，分析與處理起來更加直接、快捷.突破常規(guī)模型，能更進(jìn)一步拓展思維，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密聯(lián)系．

2 拓展思維模型

在解題時(shí)，結(jié)合發(fā)展性思維的訓(xùn)練與應(yīng)用、相關(guān)知識(shí)的理解與遷移，掌握數(shù)學(xué)模型的基本方法，進(jìn)而引導(dǎo)拓展思維，觸類旁通，舉一反三，使得數(shù)學(xué)思維盡可能地得以延伸和發(fā)散．

例2 已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|=3|BF2|，|BF1|=5|BF2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）.

分析：利用橢圓的概念、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí)，合理數(shù)學(xué)模型，借助幾何中所構(gòu)成的三角形的邊與角的關(guān)系，結(jié)合解三角形法以及三角形的特征加以過渡與轉(zhuǎn)化，從而得以破解問題，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步的提升與拓展．

解析：如圖1，由橢圓C的焦點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）可知，c=1.

3 創(chuàng)新應(yīng)用模型

在實(shí)際破解數(shù)學(xué)問題時(shí)，借助數(shù)學(xué)模型，充分把探究性思維與學(xué)習(xí)落到實(shí)處，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的探究學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，通過探究的切入點(diǎn)的尋找以及解題過程中的合理猜想與巧妙分析，使學(xué)生學(xué)會(huì)歸納與推理，鍛煉創(chuàng)新思維與創(chuàng)新應(yīng)用．

例3 如圖2，方格蜘蛛網(wǎng)是由一簇正方形環(huán)繞而成的優(yōu)美圖形，其中每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在其外接正方形的四條邊上，且分各邊長(zhǎng)為3∶4.現(xiàn)用13米長(zhǎng)的鐵絲材料制作一個(gè)這樣的方格蜘蛛網(wǎng)，若最外邊的正方形邊長(zhǎng)為1米，由外到內(nèi)順序制作，則完整的正方形的個(gè)數(shù)最多為（ ）.（可能用到的參考數(shù)據(jù)：lg75≈0.15）分析：根據(jù)題目條件，嚴(yán)格按照等比數(shù)列的定義建立數(shù)學(xué)模型，借助創(chuàng)新應(yīng)用，利用等比數(shù)列的概念來判斷對(duì)應(yīng)的模型為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和來建立相應(yīng)的不等式，巧妙模型，合理轉(zhuǎn)化．

解析：依題意，設(shè)方格蜘蛛網(wǎng)的外層正方形的邊長(zhǎng)為a，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)接小正方形的邊長(zhǎng)為b，則b=37a2+47a2=57a.

根據(jù)等比數(shù)列的定義知，方格蜘蛛網(wǎng)的正方形的周長(zhǎng)由外到內(nèi)組成一個(gè)以4為首項(xiàng)，以57為公比的等比數(shù)列.

設(shè)該等比數(shù)列為{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，則有Sn=41-57n1-57≤13，化簡(jiǎn)得57n≥114.所以n≤lg114lg57=lg14lg75=lg2+lg7lg75=1-lg5+lg7lg75=1+lg75lg75≈1+0.150.15≈7.67，即完整的正方形的個(gè)數(shù)最多為7，故選擇答案C．

點(diǎn)評(píng)：題目借助實(shí)際應(yīng)用問題，設(shè)計(jì)新穎別致，簡(jiǎn)潔明了，目標(biāo)明確，立意深刻，通過創(chuàng)新應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，跳出歷年高考中數(shù)列小題以等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推數(shù)列為載體的固有命題模式，以平面幾何圖形為背景，使得命題條件獨(dú)具特色，增加思維難度，充分體現(xiàn)新課標(biāo)高考“多考思維，少考計(jì)算”的命題理念，意在考查學(xué)生的觀察、歸納、猜想、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

數(shù)學(xué)模型能充分并積極地啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，增強(qiáng)學(xué)生建構(gòu)模型的能力，開啟學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，且借助科學(xué)的方法使數(shù)學(xué)知識(shí)更加系統(tǒng)化、深入化，從而在提高學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)方面展示獨(dú)特的效果.巧妙借助數(shù)學(xué)模型，能夠全面提高學(xué)生的思維品質(zhì)，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.