HPM視角下的“余弦定理”教學(xué)活動設(shè)計

摘 要：在素質(zhì)教育新課改的大背景下，越來越多的一線教師意識到數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的內(nèi)隱教育價值.在命題教學(xué)實踐中融入數(shù)學(xué)史元素，不僅可以追本溯源，還原命題的探究歷程，還能幫助學(xué)生代入歷史上數(shù)學(xué)家的視角去研究探索，體會命題發(fā)現(xiàn)的過程.余弦定理作為高中數(shù)學(xué)的重要定理之一，在高中數(shù)學(xué)體系占有重要地位.本文結(jié)合國內(nèi)HPM研究成果，將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化融入“余弦定理”課堂教學(xué).

關(guān)鍵詞：HPM；余弦定理；教學(xué)活動設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：教師應(yīng)該有意識地在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過程、感悟數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng).［1］余弦定理作為高中數(shù)學(xué)的重要定理之一，搭建起了三角函數(shù)、平面幾何與向量的“橋梁”，但根據(jù)調(diào)查的教育實踐現(xiàn)狀來看，余弦定理的教學(xué)暴露出不少問題，例如教師重結(jié)果，輕過程，過于注重定理的應(yīng)用，而忽視了學(xué)生對知識的生成過程，導(dǎo)致學(xué)生對定理公式的機械記憶，容易將公式與幾何圖形脫離開來.［2］下面筆者將結(jié)合國內(nèi)HPM的研究結(jié)果，對余弦定理進行教學(xué)活動設(shè)計.

1 HPM理論概述

HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）研究內(nèi)容主要有如何以及為何要將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)、歷史相似性、教育取向的數(shù)學(xué)史研究、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐和數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展.關(guān)于如何將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，F(xiàn)uringhettil提出了數(shù)學(xué)歷史材料準備的路徑模式：瀏覽數(shù)學(xué)史文本資料—選取相關(guān)歷史片段或人物—研究原始史料文獻—準備教學(xué)材料.在國內(nèi)HPM研究領(lǐng)域，汪曉勤等學(xué)者關(guān)于HPM開發(fā)課例提出了設(shè)計模式：選題與準備—研討與設(shè)計—實施與評價—整理與寫作.在國際與國內(nèi)學(xué)者的共同努力下，HPM的教學(xué)研究愈來愈成熟，數(shù)學(xué)史的教育價值也得到普遍認可，逐漸成為一線教師教學(xué)設(shè)計的重要理論支撐.

2 教學(xué)要素分析

2.1 原始史料呈現(xiàn)

余弦定理在數(shù)學(xué)史上有兩種形式，分別是幾何形式和三角形式.幾何形式最早出現(xiàn)于歐幾里得的著作《幾何原本》，其中在第Ⅱ卷里面命題12、命題13給出了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關(guān)系.［3］完整命題如下.

第Ⅱ卷命題12 在鈍角三角形中，一鈍角對邊上的正方形面積大于另兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向?qū)呑鞔咕€，垂足到鈍角（頂點）之間的一段所構(gòu)成.

第Ⅱ卷命題13 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向?qū)呇娱L線作垂線，垂足到原銳角（頂點）之間的一段所構(gòu)成.

這就是余弦定理的雛形，結(jié)合具體圖形（如圖1、圖2所示）來看，第Ⅱ卷命題12實際表述為在鈍角三角形ABC中，c2=a2+b2+2am（a為鈍角外邊）.

第Ⅱ卷命題13實際表述為在銳角三角形ABC中，c2=a2+b2-2am（a為銳角外邊）.

歐幾里得通過“做高法”，巧妙利用勾股定理對上述兩個命題進行了證明.

由于當時數(shù)學(xué)知識和工具的限制，歐幾里得只得到了余弦定理的幾何形式.直到三角學(xué)的產(chǎn)生，斯內(nèi)爾、瓦兒列里、愛默生等一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家才陸續(xù)推導(dǎo)出余弦定理的三角形式，即c2=a2+b2-2abcosC.

2.2 史料整合

蔡宏圣先生提出，數(shù)學(xué)的歷史已經(jīng)無法選擇，但哪些史料進入課堂必須要經(jīng)過選擇.［4］因此在進行教學(xué)活動設(shè)計時需要對原始史料進行整合提煉，甚至重組，不能為了融入數(shù)學(xué)史而硬塞，并且要根據(jù)教學(xué)以及學(xué)生的需要進行一系列調(diào)整，融入數(shù)學(xué)史必須為課堂教學(xué)服務(wù).

一切拋開幾何背景和幾何方法的余弦定理教學(xué)，都不可能符合學(xué)生的認知規(guī)律，都不可能完美無缺.［5］雖然向量法證明余弦定理非常簡便，但是學(xué)生往往會一頭霧水，為什么關(guān)于三角形的定理不用平面幾何方法，而是要直接用向量法證明，所以在教學(xué)中可以適當增加平面幾何證明，然后再過渡到向量證明，這樣不僅符合學(xué)生的認知規(guī)律，而且可以彰顯向量這一數(shù)學(xué)工具的強大之處.

根據(jù)上面分析以及原始史料可以發(fā)現(xiàn)，在鈍角三角形中，m=bcos（π-C）=-bcosC；在銳角三角形中m=bcosC.分別代入上式，可以得到統(tǒng)一形式c2=a2+b2-2abcosC.因此在教學(xué)中可以直接讓學(xué)生推導(dǎo)出余弦定理.數(shù)學(xué)家推出三角形式的歷史過程在實際教學(xué)中可以簡單提及，讓學(xué)生了解即可.

綜上所述，筆者采用“從勾股定理出發(fā)—猜想一般三角形三邊關(guān)系—呈現(xiàn)歐幾里得部分命題—啟發(fā)學(xué)生用平面幾何證明（歐幾里得的勾股定理證明）—引導(dǎo)學(xué)生向量法證明—定理運用”的教學(xué)設(shè)計思路.

3 “余弦定理”教學(xué)活動設(shè)計

3.1觀察類比，提出猜想

師：初中的時候?qū)W習(xí)過勾股定理，即直角三角形的斜邊的平方等于兩直角邊的平方.關(guān)于一般三角形的三邊關(guān)系又是怎么樣的呢？下面請同學(xué)們觀察一些三角形的三邊長度（見表1）.

生（眾）：鈍角三角形中，鈍角對邊的平方大于另兩邊的平方和；銳角三角形中，銳角對邊的平方小于另兩邊的平方和.

【設(shè)計意圖】

開門見山回顧勾股定理，并結(jié)合具體三角形例子，引導(dǎo)學(xué)生猜想出鈍角三角形和銳角三角形三邊關(guān)系，明晰余弦定理的知識本源，并表明其與勾股定理的關(guān)系.

3.2 以史為鑒，探索證法

師：同學(xué)們通過自己的觀察，猜想了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關(guān)系.然而早在兩千多年前，偉大的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得也和同學(xué)們有相同的猜想.

猜想1 在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和.

猜想2 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于兩銳角對邊上的正方形面積之和.

問題1 仔細觀察上面的表述，三角形每條邊上的正方形可以想到什么？

生1：歐幾里得證明勾股定理時用的幾何圖形.

師：沒錯，我們來回顧一下勾股定理的幾何證明.（PPT展示圖3）

問題2 能否通過這個圖形的變形大致證實一下同學(xué)們的猜想？

生2：如圖4所示，以點C為圓心，作半徑為a的圓弧，在圓弧上任取一點B′，則△AB′C為鈍角三角形，并在每條邊上作正方形.

由勾股定理，得SACDE+SBCHI=SABFG，所以只需判斷SABFG和SAB′F′G′即可；銳角三角形的情形同理可得.

幾何畫板軟件展示圖4、圖5動態(tài)過程，當點B′在圓弧上運動時，學(xué)生仔細觀察SABFG與SAB′F′G′的大小變化關(guān)系.

生3：當△AB′C為鈍角三角形時，SABFG＜SAB′F′G′；當△AB′C為銳角三角形時，SABFG＞SAB′F′G′．

師：通過軟件演示，大致可以驗證同學(xué)們的猜想.但是數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)膶W(xué)科，猜想的證明一定需要用數(shù)學(xué)語言進行證明.那么我們接下來思考如何證明.

師（引導(dǎo)）：目前已知直角三角形三邊的關(guān)系，即勾股定理.如果要在一般三角形中進行運用，應(yīng)該要想辦法構(gòu)造直角三角形.

生4：可以通過“作高”分成兩個直角三角形.

師：非常棒！三角形可以作三條高，是否都能證明我們想要的結(jié)論呢？

學(xué)生分成6組行進嘗試證明，最后進行討論.

發(fā)現(xiàn)其中無論是鈍角三角形還是銳角三角形，都只有兩種作高的方法才可以證明出結(jié)論，下面分別展示其中的一種.

如圖6、圖7所示，作邊BC上的高h，設(shè)CD=m.

（1）∠C＞90°，由m2+h2=b2，（a+m）2+h2=c2，得c2=a2+b2+2am＞a2+b2.

（2）∠C＜90°，由m2+h2=b2，（a-m）2+h2=c2，得c2=a2+b2-2am＜a2+b2.

師：同學(xué)們非常棒，運用了兩次勾股定理證明了大家的猜想.其實當年歐幾里得也是用這樣的方法進行證明的，并將它們作為命題記錄在著作《幾何原本》中.

呈現(xiàn)歐幾里得完整命題（PPT展示）.

問題3 鈍角三角形和銳角三角形三邊平方的關(guān)系（如下），能否將二者統(tǒng)一起來？

當∠C＞90°時，c2=a2+b2+2am.

當∠C＜90°時，c2=a2+b2-2am.

師（引導(dǎo)）：兩個式子中都包含m，能否結(jié)合圖形用△ABC的邊或者角去分別表示兩個式子的m？

生5：當∠C＞90°時，m=-bcosC.當∠C＜90°時，m=bcosC.分別代入上式，可得統(tǒng)一形式：c2=a2+b2-2abcosC.

師：非常棒！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了這個統(tǒng)一的形式可以滿足鈍角和銳角三角形的三邊關(guān)系，那直角三角形也滿足這個關(guān)系嗎？

生6：滿足.因為∠C=90°，cosC=0，此時上式變?yōu)閏2=a2+b2，即勾股定理.

師：通過猜想探究，我們得到了一個勾股定理的推廣形式，滿足一般三角形的邊角關(guān)系，這個公式我們稱之為余弦定理.

【設(shè)計意圖】

學(xué)生提出猜想之后，呈現(xiàn)歐幾里得的原始命題（此時應(yīng)用“猜想”，而不是直接告訴學(xué)生“命題”）

引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理的原圖出發(fā)進行思考，幾何畫板軟件動態(tài)演示圖形變換，從數(shù)形結(jié)合上驗證學(xué)生的猜想.“問題串”引導(dǎo)學(xué)生自主探究證明猜想，呈現(xiàn)歐幾里得完整命題，總結(jié)命題，提煉出公式定理的整個過程，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)史上余弦定理的產(chǎn)生歷程，以數(shù)學(xué)家的視角去發(fā)現(xiàn)公式定理，不僅展示了余弦定理的歷史本源，而且有利于學(xué)生對該知識的深化.

3.3 轉(zhuǎn)換視角，推陳出新

剛剛的幾何證明略顯煩瑣，是否存在其他簡便方法？

師（引導(dǎo)）：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量在物理中的應(yīng)用，同學(xué)們研究用向量證明是否具有可行性？

生7：定理中的abcosC和向量的數(shù)量積很相似！感覺應(yīng)該可行.

生8：如圖8所示，設(shè)CB=a，CA=b，AB=c，則c=a-b．

于是c2=c2=a-b2=a2-2a·b+b2=a2+b2-2a·b·cosC.

即c2=a2+b2-2abcosC.

同理可證a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB.

師：向量的證明竟是如此簡潔！看來向量是一種強大的數(shù)學(xué)工具.其實關(guān)于余弦定理的證明遠不止這兩種，比如利用射影定理和直角坐標系，皆可推導(dǎo)出余弦定理.

3.4 課堂小練，鞏固定理

例1 在△ABC中，已知a=5，b=2，c=19，求C．

例2 位于某海域有一小島A，在其正東方向相距30 nmile的B處有一艘游輪觸礁等待救援，此時救助船位于小島A的南偏西30°，已知救助船的航速為20 nmile/h，請問救生船需要多少小時才能到達游輪？

【設(shè)計意圖】

例題由淺入深，包含余弦定理運用的兩種情形：已知三邊求角；已知兩邊一角求邊.方便為學(xué)生總結(jié)歸納提供載體.選用航海背景例題，體現(xiàn)了余弦定理在測量定位方面的廣泛應(yīng)用.

3.5 總結(jié)歸納，深化定理

教師可采用圖表形式幫助學(xué)生歸納總結(jié)（如圖9）.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)課程標準中明確指出，數(shù)學(xué)研究過程要隨數(shù)學(xué)文化的發(fā)展而完善，數(shù)學(xué)文化則是通過數(shù)學(xué)史表現(xiàn)出來.余弦定理擁有豐富的歷史元素，教師在對其進行教學(xué)設(shè)計時，可以將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的視角作為出發(fā)點，通過查閱原始史料，根據(jù)教學(xué)需要選擇適當?shù)氖妨?，設(shè)計符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律的教學(xué)活動，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的內(nèi)隱價值，培養(yǎng)學(xué)生探究猜想命題的能力，幫助學(xué)生厘清余弦定理的本質(zhì)，讓素質(zhì)教育落地生根.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］陳穎穎.基于HPM視角的余弦、正弦定理教學(xué)研究［D］.廣州：廣州大學(xué)，2022．

［3］歐幾里得.歐幾里得幾何原本［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003．

［4］蔡宏圣.數(shù)學(xué)史走進小學(xué)數(shù)學(xué)課堂：案例與剖析［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2016.

［5］汪曉勤.20世紀中葉以前的余弦定理歷史［J］.數(shù)學(xué)通報，2015，54（8）：9-13．