求數(shù)列和的幾種途徑

數(shù)列求和問題比較常見.解答這類問題，往往需根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選用不同的途徑進行求和.常用的途徑有倒序相加、裂項相消、并項求和、錯位相減等.熟悉并掌握這些技巧，有利于提高解題的效率.

一、倒序相加

倒序相加法是求數(shù)列和常用的方法.若一個數(shù)列中，與首尾項等距的兩項之和等于首尾項之和，即 a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 =…，則可采用倒序相加法來求和.首先列出數(shù)列前 n 項的正序和式 S = a1 + a2 + a3 +…+ an - 2 + an - 1 + an ，與倒序和式 S = an + an - 1 + an - 2 +…+ a3 + a2 + a1 ；然后將兩式的對應項相加，即 2S = （a1 + an） + （a2 + an - 1） + （a3 + an - 2） +…，可得 2S = n（a1 +an），即可得到數(shù)列的前n項和S.

例1

解

解答本題，需先根據(jù)函數(shù)的對稱性，得出f1+x+f1-x=；然后將數(shù)列的正序和式與倒序和式相加，通過倒序相加快速求得數(shù)列的前2023項和.

二、錯位相減

錯位相減法主要用于求數(shù)列an bn（an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列）的前n項和.運用錯位相減法求數(shù)列的和，需先根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的前n項和式；然后將該式中的每一項乘以等比數(shù)列的公比，得到第二個和式；再用第一個和式減去第二個和式，即可通過化簡求得數(shù)列的前n項和.在作差時，要將兩個式子錯開一位，把q的次數(shù)相同的項對齊、作差，以便合并同類項.

例2.已知數(shù)列an的前n項和Sn=2an-1（n∈N?）.

（1）求數(shù)列an的通項公式；

（2）設(shè)bn=n+1n-1an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.

解：

數(shù)列 {bn} 的通項公式為 bn = n2 ?2n - 2n ，可將其看作數(shù)列 {n } 2 2n 的前 n 項和與 {2 } n 的前 n 項和之差.而數(shù)列{n } 2 2n 的通項公式是等比數(shù)列{2 } n 的通項公式與等差數(shù)列 {n} 的通項公式的平方的乘積，可用錯位相減法求和.首先列出 Tn 表達式；然后將其乘以公比 2 ，得到另一個表達式；再將兩式錯位相減，即可解題.

例3

解

我們首先要根據(jù)題意找出各個正方形的面積之間的規(guī)律，求得an的表達式；然后根據(jù)數(shù)列的特點用錯位相減法求解，即將數(shù)列的前n項和乘以公比，得到另一個和式，并將兩個和式錯位相減.

三、裂項相消

用裂項相消法求數(shù)列的和，需分兩步：裂項和消項.首先根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，將其分裂為相鄰兩項之差的形式；然后消項，即在相加的過程中，將互為相反數(shù)的項相互抵消，化簡剩余的項即可解題.

例4.已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=2n+1-2n∈N?，

（1）求數(shù)列an的通項公式；

（2）若bn=an-1a（n）n+1-1，求數(shù)列bn的前n項

和Tn.

解：

數(shù)列 {bn} 的通項公式可裂為 1 2n - 1 - 1 2n + 1 - 1 ，即可運用裂項相消法求和，消去絕對值相等的項，就能求得數(shù)列的和.

例5.已知數(shù)列an的通項公式為an=，求數(shù)列an的前n項和Sn.

解：

運用裂項相消法解題的關(guān)鍵是將數(shù)列的通項公式進行合理的裂項，常見的裂項方式有 1 n + n + 1 = n + 1 - n、 1 n（n + k） = 1 k ? è ? ? 1 n - 1 n + k 、 1 4n2 - 1 = 1 2 （ 1 2n - 1 - ） 1 2n + 1 .

數(shù)列求和的技巧很多，常用的還有分組求和、并項求和等.每種技巧的特點和適用情形均有所不同.同學們需根據(jù)解題的需求和通項公式的特點合理選擇.