巧構(gòu)造，妙解三角函數(shù)題

構(gòu)造法是解答數(shù)學(xué)問題的重要方法.運用構(gòu)造法解題，往往需要充分挖掘題設(shè)中隱藏的信息，將所學(xué)知識融會貫通起來，靈活運用發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，才能順利構(gòu)造出滿足題意的數(shù)學(xué)模型.那么，如何構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，巧妙運用構(gòu)造法解答三角函數(shù)問題？下面我來和大家一起探討.

一、構(gòu)造方程

對于同角的三角函數(shù)問題，通?？筛鶕?jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系 sin2 θ + cos 2 θ = 1 以及 tan θ = sin θ cos θ 構(gòu)造出方程（組）.通過解方程（組）來求得該角的三角函數(shù)值.

例1

解法1

解法2

解法1是根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2 θ + cos 2 θ = 1，得到 sin θ cos θ 的值，構(gòu)造出一個以 sin α 與 cos α 為根的一元二次方程，通過解一元二次方程求得答案.解法 2 是把 sin α 與 cos α 的和式轉(zhuǎn)化為差式，構(gòu)造出一個關(guān)于 sin α 和 cos α 的二元一次方程組，通過解方程組獲解.

二、構(gòu)造函數(shù)

對于一些三角函數(shù)求值或取值范圍問題，我們通常需根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特性，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為新三角函數(shù)、新函數(shù)的單調(diào)性和最值問題來求解.一般地，可根據(jù)解題需求構(gòu)造出同構(gòu)式，也可構(gòu)造與已知關(guān)系式、目標(biāo)式結(jié)構(gòu)一致的函數(shù)式.

例2

解

觀察兩個已知關(guān)系式，并將其變形，可得x3+sin x=2a=（-2y）3+sin（-2y）.該式兩邊的式子為同構(gòu)式，據(jù)此便可構(gòu)造出函數(shù)f（t）=t3+sin t，則f（x）=f（-2y）.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可確定x=-2y，進(jìn)而求得cos（x+2y）的值.

三、構(gòu)造向量

有些三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式與向量的數(shù)量積、模的公式等一致，此時便可根據(jù)題意構(gòu)造出向量，利用向量的基本定理、運算法則、共線定理等來解題.這樣可以大大減少計算量，提高解題的效率.

例3.

證明：

解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的向量.在構(gòu)造向量時，需注意：（1）尋找角之間的差異、函數(shù)名之間的差異、式子結(jié)構(gòu)之間的差異；（2）發(fā)現(xiàn)題目中的隱含關(guān)系，如 5A + A 2 = 3A， 5A - A 2 = 2A ；（3）利用和差化積公式進(jìn)行恒等變形.令 a=（cosA，sin A） ，b =（cos 3A，sin 3A） ， c =（cos 5A，sin 5A） ，即可根據(jù)向量的數(shù)量積求得 a?b 、 b ?c 、a?c ，進(jìn)而通過三角恒等變換和向量運算求得 （a+ b + c） 2 .

四、構(gòu)造數(shù)列

有些三角函數(shù)式中含有兩式的和或積，此時我們可將其看作等差中項或等比中項，據(jù)此構(gòu)造出等差、等比數(shù)列，便可直接根據(jù)等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)等來解題.

例4

解：

由已知條件聯(lián)想到等比中項，從而構(gòu)造出等比數(shù)列 cos α 、2 15 13 、sin α ，便可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立關(guān)于 cos α 、sin α 、q的方程組.通過解方程求得問題的答案.

五、構(gòu)造幾何圖形

在解答三角函數(shù)問題時，我們通?？筛鶕?jù)函數(shù)式畫出函數(shù)的圖象，通過研究函數(shù)的圖象上點的位置來求得問題的答案.也可以挖掘出代數(shù)式的幾何意義，根據(jù)已知條件構(gòu)造出符合題目要求的幾何圖形，通過分析圖形中點、直線、曲線的位置關(guān)系得到問題的答案.

例5

證明

由1 3 （sin A + sin 3A + sin 5A）= a 3 ，1 3 （cosA + cos 3A + cos 5A）= b 3 聯(lián)想到三角形重心的坐標(biāo)公式，于是構(gòu)造 ΔA1B1C1，令 A1（cosA，sin A） 、B1（cos 3A，sin 3A） 、C1（cos 5A， sin 5A） ，根據(jù)圓心角等于圓周角的 2 倍，得出∠B1A1C1 = ∠B1C1A1 ，即可確定重心P的位置，再根據(jù)直線的斜率公式即可證明結(jié)論.

總之，在解答三角函數(shù)問題時，同學(xué)們要通過猜想、抽象、概括、歸納、類比等方式，構(gòu)造出與之相關(guān)的方程、函數(shù)、向量、數(shù)列、幾何圖形等，輕松獲得問題的答案.