談談解答橢圓中三角形面積的最值問題的路徑

橢圓中三角形面積的最值問題比較常見，且較為復雜.在解答橢圓中三角形面積的最值問題時，通常可將三角形的一條邊所在的直線視為與橢圓相交的直線，那么此時直線與橢圓有兩個交點.先將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去x或y，構造出一元二次方程；再利用韋達定理和根的判別式來建立關系式，進而根據(jù)弦長公式求得三角形的邊長，利用點到直線的距離公式求得高線長；然后根據(jù)三角形的面積公式求得三角形面積的表達式.有時可通過拼接、分割三角形，來求得三角形面積的表達式.接著利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)求解.下面由一道題談一談解答橢圓中三角形面積最值問題的路徑.

題目：已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A、B關于直線y=mx+對稱，求ΔAOB面積的最大值.

一、利用基本不等式

基本不等式：若a、bgt;0，則a+b≥2，當且僅當a=b時等號成立.在求得三角形面積的表達式后，往往需將該式進行恒等變形，通過湊系數(shù)、添項、去項等方式將目標式配湊為兩式的和或積，并使其中之一為定值，這樣就可以直接運用基本不等式求得三角形面積的最值.

解：

該目標式較為復雜，將其化簡后，該式中含有兩式的積（m2+2）（3m2-2），而其和為定值，可直接根據(jù)基本不等式的變形式ab≤2求得最值.

二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)

橢圓的方程為二次方程.在解答橢圓中三角形面積的最值問題時，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到二次式，則所求的三角形面積也含有二次式，就可以將該二次式看作二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求三角形面積的最值.

解：因為A、B關于直線y=mx+對稱，所以設直

，直線AB的方程為y=-tx+b，

聯(lián)立橢圓的方程和直線的方程可得??（ì?）y2（tx）1（b），（，）

消去y可得：（+t2）x2+2btx+b2-1=0，

則Δ=-2b2+2+4t2gt;0，解得t∈（-，0）?（0，），

則x1+x2=-2bt，x1x2=b2-1

+t2+t2，

則|AB|=1+k2x1-x2=1+t2 t2+，

且O點到直線AB的距離為d=，

則三角形的面積S=|AB|?d=-2（t2-）2+2，

所以當t2=時，SΔAOB取最大值為.

將三角形面積的表達式化為含有二次函數(shù)式的式子，再將其配方為2（t2-）2+2，便可根據(jù)二次函數(shù)的有界性判定當t2=時，SΔAOB取最大值.

總的來說，在求解橢圓中三角形面積的最值問題時，要先觀察題目中三角形的特點和位置，利用圓錐曲線知識和平面幾何知識求得三角形的底和高，并化簡三角形面積的表達式；再根據(jù)式子的結構特征，選用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.