兼顧傳輸功率和衰減因素的同軸線半徑比優(yōu)化方法

摘要：針對傳統(tǒng)的通用型同軸線產(chǎn)品設(shè)計(jì)、制造基礎(chǔ)理論缺陷和目前微波采油現(xiàn)場利用地下石油管構(gòu)建超長、功率容量大及能量損耗小的井筒同軸線工程需求，進(jìn)行通用型同軸線結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論和設(shè)計(jì)方法研究；突破經(jīng)典的單因素優(yōu)化方法約束，基于同軸線上傳輸功率、能量損耗與衰減系數(shù)三者之間固有的物理關(guān)系，構(gòu)造兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)雙重因素影響的目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型；提出同軸線半徑比優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。結(jié)果表明：通用型同軸線的外、內(nèi)導(dǎo)體半徑比最優(yōu)值為2.11，特性阻抗標(biāo)稱值為45 Ω；同軸線傳輸特性對其導(dǎo)體半徑比的變化很敏感，應(yīng)用經(jīng)典的單因素優(yōu)化結(jié)果不能滿足使用要求，只有兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)雙重因素影響才能使通用型同軸線具有通用性功能，本文的理論結(jié)果與同軸線單模傳輸公式相結(jié)合，構(gòu)成了完整的通用型同軸線結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論體系。

關(guān)鍵詞：同軸線； 導(dǎo)體半徑比； 最大傳輸功率； 最小衰減系數(shù)； 優(yōu)化方法

中圖分類號：TN 61"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引用格式：劉濤，王莉利.兼顧傳輸功率和衰減因素的同軸線半徑比優(yōu)化方法［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，48（4）：160-165.

LIU Tao， WANG Lili. Optimization method of" coaxial line radius ratio considering both" transmission power and" attenuation factors［J］. Journal of China University of Petroleum （Edition of Natural Science），2024，48（4）：160-165.

Optimization method of" coaxial line radius ratio considering

both" transmission power and" attenuation factors

LIU Tao1， WANG Lili2

（1.College of Information Science and Engineering， China University of Petroleum （Beijing）， Beijing 102249， China；

2.School of Computer amp; Information Technology， Northeast Petroleum University， Daqing 163318， China）

Abstract： Aiming at the deficiencies in the design and manufacturing theories of traditional general-purpose coaxial line products and the engineering demand for ultra-long， high-capacity， and low-energy-loss coaxial line systems constructed within underground petroleum tubing for microwave oil recovery operations， the research on the optimization theory and design method of general-purpose coaxial line structure was carried out. The constraints of the classical single-factor optimization method were broken through. Based on the inherent physical relationship among the transmission power， the energy loss and the attenuation coefficient on the coaxial line， a mathematical model was constructed of the objective function that takes into account the influence of the dual factors of the maximum transmission power and the minimum attenuation coefficient. Then the coaxial line radius ratio optimization design method was proposed. The results show that the optimal value of the outer and inner conductor radius ratio of the general-purpose coaxial line is 2.11， and the nominal value of the characteristic impedance is 45 Ω. The transmission characteristics of the coaxial line is highly sensitive to the variations in the ratio of its conductor radius. The results of the application of classical single-factor optimization cannot meet the use of requirements， only simultaneously considering the dual-factor impacts of the maximum transmission power and the minimum attenuation coefficient can make the universal coaxial line function universally. The theoretical findings of the work and the coaxial line single-mode transmission formula are combined to form a complete design theoretical system of general-purpose coaxial line structure optimization.

Keywords： coaxial line; conductor radius ratio; the maximum transmission power; the minimum attenuation coefficient; optimization method

同軸線是一種重要的電磁能量傳輸裝置，在電子信息工程領(lǐng)域常作為微波電路饋線或諧振器件使用［1-3］。近年來，隨著微波采油、隨鉆測井等“綠色、低成本”開采石油技術(shù)的研究和推廣，在石油工程領(lǐng)域同軸線又被用作沿井筒從地面向地下超長距傳輸微波能的傳輸線［4-12］。因?yàn)榈叵戮才c地面上通信環(huán)境具有明顯區(qū)別，再加上同軸線自身超長（大約千米）引起的強(qiáng)度約束，所以石油工程領(lǐng)域應(yīng)用的同軸線主要是利用井中金屬套管、油管或鉆桿（即常用的石油管）重新設(shè)計(jì)構(gòu)建的，稱為井筒同軸線。如何結(jié)合石油工程實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)和構(gòu)建性能優(yōu)良的井筒同軸線是世界石油勘探開發(fā)領(lǐng)域剛起步研究的新課題［13-18］。通常情況下在設(shè)計(jì)同軸線時(shí)要重點(diǎn)考慮使用要求和工作模式［1-3］。通過應(yīng)用同軸線單模傳輸條件（即只傳輸橫電磁波），可以確定同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑a與外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b（簡稱外導(dǎo)體半徑）兩者相加的合計(jì)值，但是要分別確定a、b及新型同軸線產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，還需要知道半徑b與a的比值。在保證同軸線只傳輸橫電磁波前提下，研究了b與a的最優(yōu)比值問題，國內(nèi)外公開的經(jīng)典研究結(jié)果［1-3］ 是：①從獲得最小的同軸線能量損耗即從衰減系數(shù)最小考慮，得到b與a的最優(yōu)比為3.59，根據(jù)此值計(jì)算得到填充空氣的同軸線特性阻抗為76.7 Ω；②從同軸線傳輸功率最大化考慮，得到b與a最優(yōu)比為1.65，根據(jù)此值計(jì)算得到填充空氣的同軸線特性阻抗為30 Ω；③從保證同軸線耐壓性能最好考慮，得到b與a最優(yōu)比為2.718，根據(jù)此值計(jì)算得到填充空氣的同軸線特性阻抗為60 Ω。Pozar等通過研究認(rèn)為［1-3，5-8，19-20］：同軸線的傳輸特性參數(shù)對其外、內(nèi)導(dǎo)體半徑比值很敏感，獲得同軸線最大傳輸功率（包括耐壓能力）和獲得最小衰減系數(shù)的優(yōu)化條件要求相差甚遠(yuǎn)，在同軸線尺寸選擇上不能一致；單一追求同軸線某個(gè)傳輸特性參數(shù)最優(yōu)的方法基本是偏離實(shí)際的，同軸線導(dǎo)體半徑比值的優(yōu)化條件只能通過兼顧多個(gè)影響因素獲得。建議用特性阻抗75和50 Ω為兩個(gè)標(biāo)稱值，并依此來確定b與a的比值。認(rèn)為特性阻抗50 Ω的同軸線兼顧了能量損耗、耐壓能力和傳輸功率的應(yīng)用需求［1-3］，指定這是一種通用型同軸線；認(rèn)為特性阻抗75 Ω的同軸線是衰減系數(shù)最小的同軸線，它主要適用于遠(yuǎn)距離傳輸。目前市場上的同軸線商品絕大多數(shù)是按照特性阻抗50和75 Ω標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)的，產(chǎn)品標(biāo)稱值（50或75 Ω）至今無理論支撐，是純粹的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)［1-3，19-20］，反映出同軸線理論基礎(chǔ)存在瑕疵。這種經(jīng)驗(yàn)性處理方法也許對電氣行業(yè)的個(gè)別應(yīng)用場合可用，但是對超長（千米以上）以及對傳輸功率和衰減要求同等重要的井筒同軸線而言，僅憑經(jīng)驗(yàn)標(biāo)稱值完成設(shè)計(jì)和制造工作是不妥的，因此亟待研究兼顧同軸線最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)的最優(yōu)化理論設(shè)計(jì)方法。有鑒于此，筆者突破經(jīng)典同軸線理論分析方法，擬基于同軸線上傳輸功率、損耗能量與衰減系數(shù)三者之間固有的物理關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)兼顧傳輸功率和衰減系數(shù)雙重因素影響的復(fù)合型目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型；再基于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果提出兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件的同軸線導(dǎo)體半徑比最優(yōu)值及其精確計(jì)算方法。

1 同軸線結(jié)構(gòu)最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)微波傳輸線基礎(chǔ)理論知道，同軸線的衰減系數(shù)αc不僅可以表達(dá)為同軸線單位長度電阻R0與其特性阻抗Z0的函數(shù)，而且可以表達(dá)成同軸線上傳輸功率與能量損耗之比的函數(shù)，即有

αc=PL2P .（1）

式中，P為同軸線上傳輸功率，W；PL為傳輸過程中的能量損耗，W。

式（1）明確了同軸線上傳輸功率、能量損耗和同軸線系統(tǒng)衰減系數(shù)三者之間確定的函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系是客觀存在的。

根據(jù)式（1）可以得到兩個(gè)（不多于兩個(gè)）兼顧傳輸功率和衰減系數(shù)雙重因素影響的復(fù)合函數(shù)形式，即有

PL=2αcP，（2）

Pαc=PL2α2c .（3）

基于式（2）的函數(shù)關(guān)系可以知道，在同軸線上兼顧傳輸功率和衰減系數(shù)兩者對其工作狀態(tài)的影響與單獨(dú)考慮能量損耗對同軸線工作狀態(tài)的影響具有同樣效果。將同軸線上傳輸功率和衰減系數(shù)的表達(dá)式代入式（2），進(jìn)一步分析、整理可得：

PL=2αcP=ε0πRsbE2

brμ0（1+x）x2 ，（4）

其中

x=ba .

式中，Rs為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體表面電阻，Ω；μ0為空氣磁導(dǎo)率，H/m；ε0為空氣介電常數(shù)，F(xiàn)/m；Ebr為同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面電場的極限擊穿場強(qiáng)，V/m；x為同軸線的半徑比。

若PL取最小值，則有

dPLdx=d（2αcP）dx=0.（5）

由式（4）和（5）可知，在式（2）所示的傳輸功率和衰減系數(shù)兩者兼顧的條件下，只有當(dāng)同軸線外、內(nèi)導(dǎo)體半徑比趨于無窮大時(shí)，同軸線的能量損耗最小，同軸線工作狀態(tài)處于最優(yōu)狀態(tài)。顯而易見，這種條件在實(shí)際工程中沒有任何一種同軸線能夠滿足，不具有可行性。因此式（2）這種兼顧方式的數(shù)學(xué)方程式不能使用。僅有式（3）對本文研究工作是有用的。

根據(jù)關(guān)系式（3）可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)ξ，即有

ξ=f（P，αc）=Pαc ，（6）

ξ=g（P，αc）=PL2α2c .（7）

基于式（6）及式（7）分析，函數(shù)ξ是一個(gè)與同軸線傳輸功率P和衰減系數(shù)αc二元因素有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，它的變化規(guī)律反映了兼顧傳輸功率和衰減系數(shù)二元因素共同影響的結(jié)果。因此取式（6）或式（7）為兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件的同軸線結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)式（6）或式（7）的物理意義可以解釋為任意衰減系數(shù)條件下的同軸線上與其匹配的傳輸功率。分析式（6）或式（7）可知，當(dāng)同軸線系統(tǒng)中衰減系數(shù)趨于減小或傳輸功率趨于增大時(shí)，函數(shù)ξ將趨于增大，ξ取極大值時(shí)是同軸線的最優(yōu)化工作狀態(tài)，與此狀態(tài)對應(yīng)的同軸線結(jié)構(gòu)是最優(yōu)化的同軸線結(jié)構(gòu)。目標(biāo)函數(shù)式（6）或式（7）是兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件下設(shè)計(jì)和制造通用型同軸線（如井筒同軸線）的理論基礎(chǔ)。

2 半徑比最優(yōu)值及其計(jì)算方法

基于電磁波傳輸原理進(jìn)行分析，在圖1所示同軸線結(jié)構(gòu)示意圖及選定坐標(biāo)系中，可知同軸線僅傳輸橫電磁波時(shí)，沿線傳輸功率P的表達(dá)式為

P=12μ0ε0Iz（z）Iz（z）2πl(wèi)nba .（8）

在同軸線傳輸功率過程中損耗能量為

PL=12RsIz（z）Iz（z）12πa+12πb.（9）

式中，Iz（z）為同軸線中的電流，它是z坐標(biāo)的函數(shù)；Iz（z）為Iz（z）的共軛復(fù)數(shù)。

當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體之間填充空氣且電壓幅值為Vm時(shí)，同軸線中的電壓波Vz（z）為

Vz（z）=Vmexp（-jβz）.（10）

式中，β為相移常數(shù)，rad/m。

與電壓波相對應(yīng)的電場矢量Et為

Et=arV（z）rlnba.（11）

相對應(yīng)的磁場矢量Ht為

Ht=ε0μ0az×Et=aφε0μ0Vmrln（b/a）exp（-jβz）.（12）

如果內(nèi)導(dǎo)體上的電流密度矢量為Js，則可得

Hs=ar×

Htr=a=azε0μ0Vmrln（b/a）exp（-jβz）.（13）

由式（13）可得同軸線的軸向電流幅值Im為

Im=ε0μ0Vmaln（b/a）∫2π0adφ=2πVmln（b/a）ε0μ0 .（14）

對比式（12）和式（14）可得同軸線中的電流波Iz（z）為

Iz（z）=Imexp（-jβz）=2πVmln（b/a）ε0μ0exp（-jβz）.（15）

聯(lián)立式（1）、（8）和（9）可得同軸線的衰減系數(shù)αc為

αc=PL2P=R02Z0 ，（16）

其中

R0=Rs（12πa+12πb），

Z0=12πμ0ε0lnba .

由于Vm可以通過同軸線中橫電磁波的電場強(qiáng)度幅值Em進(jìn)行計(jì)算，所以有Vm=∫baEmdr，根據(jù)電磁場理論可知

Em=E0r .（17）

式中，E0為與電場激勵方式相關(guān)的常數(shù)。

Vm=∫baEmdr=E0lnba .（18）

聯(lián)立式（8）、（15）和（18），計(jì)算可得

P=πE20lnbaμ0ε0 .（19）

當(dāng)同軸線中的最大電場強(qiáng)度達(dá)到擊穿場強(qiáng)Ebr時(shí)，傳輸功率達(dá)到極限值；又由同軸線的電場分布可知，r=a處電場最強(qiáng)，所以其擊穿場強(qiáng)為

Ebr=E0rr=a .（20）

由此得

E0=aEbr.（21）

將式（21）代入式（19）得

Pbr=πa2E2brln

baμ0ε0 .（22）

綜上推導(dǎo)結(jié)果，可得目標(biāo)函數(shù)ξ的表達(dá)式為

ξ=Pαc=aEbrlnba2

Rs12πa+12πb.（23）

進(jìn)一步整理式（23），可得目標(biāo)函數(shù)ξ與同軸線導(dǎo)體半徑比x的關(guān)系：

ξ=2πb3E2brRs·（lnx）2（1+x）x2 .（24）

從式（23）、（24）可知，當(dāng)傳輸功率趨近最大值、衰減系數(shù)趨近最小值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)ξ趨近最大值；要使ξ取最大值，則ξ應(yīng)滿足條件：

dξdx=0.（25）

可得lnx·（2+3x）-2（1+x）=0，即有x=ba≈2.11；因此本文中得到同軸線兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件下的最優(yōu)半徑比優(yōu)化結(jié)果baopt近似為2.11。

與baopt相對應(yīng)的同軸線特性阻抗為

Z0opt=μ0/ε02πl(wèi)n

baopt=0.75μ0/ε02π .（26）

由式（26）可知，當(dāng)同軸線中填充空氣時(shí)，兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件下的同軸線特性阻抗為Z0opt=45 Ω。

根據(jù)同軸線結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化確定的一般原則，在確保同軸線中只傳輸橫電磁波的前提下，力求其具有最大功率容量和能量衰減最小。因此將本文求得的baopt近似為2.11與同軸線單模傳輸約束條件 ［1-3］聯(lián)立，則可以保證按照使用要求完成同軸線結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 優(yōu)化結(jié)果的實(shí)用性對比分析

把本文中半徑比最優(yōu)值代入同軸線傳輸功率等經(jīng)典公式進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與單因素優(yōu)化理論的經(jīng)典結(jié)果、電氣行業(yè)的產(chǎn)品標(biāo)稱值做了對比，相互間的對比結(jié)果見表1。由表1可見：①兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)的同軸線優(yōu)化理論結(jié)果與電氣行業(yè)推薦的通用型（兼顧功率容量和衰減系數(shù)情況）同軸線經(jīng)驗(yàn)標(biāo)稱值相近，表明本文優(yōu)化理論結(jié)果符合行業(yè)實(shí)際，完善了兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件的通用型同軸線產(chǎn)品標(biāo)稱值的理論基礎(chǔ)，使以前使用的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了基本的理論支撐；嚴(yán)格證明通用型同軸線的特性阻抗最優(yōu)值應(yīng)該是45 Ω，現(xiàn)行的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)稱值50 Ω只能是近似可用的，其相對誤差為10%；②應(yīng)用本文兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)的同軸線優(yōu)化結(jié)果與經(jīng)典的單因素優(yōu)化求得最大傳輸功率的理論值對比可知，僅需要比單獨(dú)追求最大傳輸功率降低8.9%，便可以得到衰減系數(shù)減小22%的結(jié)果，收益效果明顯；③兼顧兩者的影響之后，衰減系數(shù)僅需比單獨(dú)追求最優(yōu)化時(shí)增加16%，便可使同軸線的傳輸功率增大約70%；另外，明顯可見本文通過“兼顧”得到的優(yōu)化結(jié)果對經(jīng)典的單因素優(yōu)化耐壓能力的結(jié)果幾乎無負(fù)面影響。

因此在設(shè)計(jì)、制造和應(yīng)用同軸線的相關(guān)工程中，特別像石油開發(fā)領(lǐng)域的同軸線超長（超過千米）、其功率容量和衰減特性影響同等重要的應(yīng)用場合，應(yīng)該高度重視“兼顧”措施的作用。

圖2為空氣填充的同軸線電氣性能參數(shù)隨半徑比變化。由圖2可知：同軸線的電氣性能參數(shù)對內(nèi)外導(dǎo)體半徑比值的變化很敏感，單獨(dú)優(yōu)化某個(gè)因素的結(jié)果都不能理想地滿足使用需求，只有兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)才能實(shí)現(xiàn)同軸線最佳使用功能，使之具有期望的通用性實(shí)用價(jià)值。同軸線上獲得最小衰減系數(shù)的經(jīng)典理論結(jié)果baopt≈3.59，與同軸線其他電氣參數(shù)的單因素優(yōu)化結(jié)果偏離較大，在該最優(yōu)比值附近，同軸線傳輸功率、耐壓能力等性能指標(biāo)均明顯變差；因此從理論上講，經(jīng)典的最小衰減系數(shù)是犧牲同軸線其他傳輸特性最優(yōu)化的結(jié)果，這是一個(gè)無實(shí)用價(jià)值的結(jié)果，因此在需要強(qiáng)調(diào)同軸線衰減系數(shù)指標(biāo)的實(shí)際工程中，建議應(yīng)用本文的結(jié)果。除在最優(yōu)半徑比2.11處可以獲得同軸線傳輸功率和衰減系數(shù)的最優(yōu)值之外，在同軸線導(dǎo)體半徑比1.88≤b/a≤2.54的較寬范圍內(nèi)，通過兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)兩方面因素的影響，能夠保證同軸線的功率容量和衰減系數(shù)指標(biāo)都好于經(jīng)典的單因素優(yōu)化結(jié)果。

4 結(jié) 論

（1）應(yīng)用最優(yōu)化方法確定了目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化結(jié)果，提出兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)條件下的同軸線導(dǎo)體半徑比最優(yōu)值為2.11，優(yōu)化結(jié)果與同軸線的單模傳輸條件結(jié)合，構(gòu)成了滿足同軸線結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的完整理論體系。

（2）本文的理論結(jié)果與電氣行業(yè)推薦的通用型（兼顧功率容量和衰減系數(shù)情況）同軸線經(jīng)驗(yàn)標(biāo)稱值相近，優(yōu)化結(jié)果符合行業(yè)生產(chǎn)實(shí)際，從理論上證明通用型同軸線的特性阻抗最優(yōu)值為45 Ω，現(xiàn)行的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)稱值50 Ω只能是近似可行的。

（3）同軸線的傳輸特性參數(shù)對導(dǎo)體半徑比的變化很敏感，只有兼顧最大傳輸功率和最小衰減系數(shù)影響才能實(shí)現(xiàn)同軸線結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，使之具有通用性使用價(jià)值；采用“兼顧”的優(yōu)化措施，能夠保證同軸線的傳輸功率和衰減系數(shù)指標(biāo)都好于經(jīng)典的單因素優(yōu)化結(jié)果，在設(shè)計(jì)、制造和應(yīng)用同軸線的相關(guān)工程中，尤其是石油開發(fā)領(lǐng)域的同軸線超長（超過千米）、功率容量和衰減特性影響都需要強(qiáng)調(diào)的應(yīng)用場合，應(yīng)該重視“兼顧”措施的作用。

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（編輯 沈玉英）

收稿日期：2024-01-12

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目（62301610）

第一作者：劉濤（1984-），女，講師，博士，研究方向?yàn)楦吖β饰⒉夹g(shù)。E-mail：liutao@cup.edu.cn。

通信作者：王莉利（1979-），女，副教授，博士，研究方向?yàn)榛谌斯ぶ悄芗夹g(shù)的數(shù)據(jù)處理。E-mail：lily@nepu.edu.cn。

文章編號：1673-5005（2024）04-0160-06"" doi：10.3969/j.issn.1673-5005.2024.04.017