考慮土體參數不確定性的基樁多目標優(yōu)化算法

中圖分類號： TU473.1 最近更新：2024-11-22 DOI： 10.11835/j.issn.2096-6717.2022.094

摘要

為得到滿足可靠性要求的基樁最佳設計方案，在有效控制基樁沉降量的情況下，盡可能降低基樁造價。以中國尊大廈基樁為例，考慮土體極限阻力不確定性，采用非支配排序遺傳算法-II（NSGA-II），針對種群中的個體進行非支配解選擇排序和擁擠距離比較。將樁徑和樁長視為優(yōu)化設計變量，以基樁承載力的目標可靠指標作為約束條件，工程造價和單樁沉降量的最小值為目標函數，得到Pareto最優(yōu)解集。該算法解決了傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法在缺乏經驗的情況下優(yōu)化效果不佳與速度慢的問題。采用基于熵權理論的TOPSIS法對Pareto最優(yōu)解集中的每一個解進行賦權后，篩選出相對貼近度最大的方案。結果表明：最優(yōu)方案在造價和單樁沉降量上均優(yōu)于原設計方案，證明基樁優(yōu)化設計方法具有可行性。

關鍵詞

基樁; 不確定性; 遺傳算法; 優(yōu)化設計; 最優(yōu)解集

樁基礎因具有承載能力高、地基條件適用性好的特點被廣泛應用于地基處理。隨著樁基礎向大型與超深方向發(fā)展，對基樁的優(yōu)化設計變得尤為重要。因此，在滿足現有工程安全性的要求下，通過優(yōu)化設計，得到經濟與可靠的樁基設計方案，一直是工程師們重點關注的問題。

目前，已有一些學者將不同的優(yōu)化方法應用到樁的設計模型中。簡文星等[1]以錨拉樁的造價最低作為目標函數，利用粒子群優(yōu)化（PSO）算法對樁身參數進行優(yōu)化設計，并編寫了計算程序。張曉曦等[2]采用極限上限定理，對典型的抗滑樁加固邊坡的力學機制進行研究，在確保邊坡穩(wěn)定性的前提下，求得最低工程造價，為沉入式抗滑樁的優(yōu)化設計構建一種理論方法。陳昌富等[3]以工程造價最低為目標函數，以地基承載力與沉降等為約束條件，建立了優(yōu)化數學模型，并基于加權擾動共生生物搜索（PWSOS）算法對樁基礎進行優(yōu)化設計?；萦碌萚4]基于改進的遺傳算法，對擠擴支盤樁的承力盤數量進行優(yōu)化，將樁的承載力與最大沉降值等作為約束條件，以承力盤數量最少為目標函數，建立了擠擴支盤群樁優(yōu)化模型，并用ABAQUS進行數值模擬得到了群樁的最優(yōu)布置方式。王成華等[5]將一種混沌粒子群優(yōu)化（CPSO）算法引入樁基礎優(yōu)化設計中，建立了以造價最低為目標函數的優(yōu)化設計模型，探究了樁基礎的主要參數對其造價的影響規(guī)律。Nakanishi等[6]通過擴展序列的線性規(guī)劃技術結合自適應步長，提出了樁筏基礎確定樁長的優(yōu)化設計方法，考慮以樁筏基礎的沉降作為約束條件，以最短樁長為目標得到了最優(yōu)解。Bekda?等[7]基于和諧搜索算法（HSA），以懸臂排樁的埋設深度和直徑為設計變量，以懸臂排樁支護結構總造價最低為目標函數構建優(yōu)化數學模型，并對優(yōu)化后的方案進行有限元分析。

現有研究僅針對單目標進行優(yōu)化設計，并未對多目標進行協(xié)同考慮，也未對土體阻力客觀存在的不確定性進行探討[8]，優(yōu)化過程中存在結構失效的可能。有效考慮由土體參數不確定性引致的基樁承載性能的離散性，進而將描述其承載能力極限狀態(tài)的可靠指標作為約束條件，旨在避免潛在的基樁失效。此外，樁基礎自身尺寸參數的選擇將直接影響施工的成本以及建成后建筑物的安全性能，如基樁沉降量。鑒于此，筆者以中國尊大廈的基樁為例，以樁徑、樁長為優(yōu)化設計變量，以基樁承載性能的可靠指標為約束條件，以樁沉降量和造價作為目標函數構建基樁多目標協(xié)同優(yōu)化求解模型。利用非支配排序遺傳算法（NSGA-II）進行優(yōu)化，得到Pareto最優(yōu)解集，利用熵權理論賦權的TOPSIS法對最優(yōu)解集進行評價并排序，從而得到滿足多目標的最優(yōu)方案。

1 多目標優(yōu)化算法

1.1 Pareto前沿

在求解多目標優(yōu)化問題時，改進任意一個目標函數的同時，必然會削弱至少一個其他目標函數的解被稱為非支配解或Pareto解，目標函數最優(yōu)解的集合稱為Pareto最優(yōu)解集[9]。對于雙目標優(yōu)化問題，如圖1所示，實線表示的是Pareto最優(yōu)解集連線而成的Pareto前沿曲線。

從圖1可得，目標函數f1

和f2

相互限制，f1

或f2

越大時，f2

或f1

越小。方案A

和D

相比，A

的目標函數f1

和f2

均比D

的小，所以方案A

比方案D

有絕對優(yōu)勢，稱方案A

是方案D

的支配解。方案A

和E

相比，兩種方案的目標函數f2

相等，A

的目標函數f1

比E

的小，所以方案A

同樣支配方案E

。方案A

和B

相比，A

的目標函數f1

比B

的小，但是目標函數f2

比B

的大，所以無法判斷兩種方案的優(yōu)劣，故稱方案A

和方案B

互為非支配解。從A

到G

的7個方案中，方案A

、B

、C

互為非支配解，這3個方案組成的集合為Pareto最優(yōu)解集，其連線為Pareto前沿曲線。對于多目標優(yōu)化問題，與此類似。

1.2 NSGA-II遺傳算法

NSGA-II全稱為非支配排序遺傳算法-Ⅱ，是由Deb等[10]提出的一種后驗式的多目標進化算法（MOEA），可有效解決非線性多目標優(yōu)化問題并被廣泛應用，其基本思想是在遺傳算法的基礎上，增加一個非支配解選擇排序和擁擠距離計算的環(huán)節(jié)，解決了傳統(tǒng)多目標優(yōu)化方法在缺乏經驗的情況下優(yōu)化效果不佳、速度慢等問題。

NSGA-II對隨機產生的初始種群P

中的個體（群體數量為n

）進行Pareto解集排序，具體方法如下。

1）對初始種群P

的個體進行編碼時，需要處理個體的數值精度較高的情況，若采用二進制編碼存在位串長度過長，且經過解碼后對應的數值可能在定義域外，出現無效編碼并影響算法效率。而實數編碼無需解碼，從而提高算法效率[11]，故被選用。

2）采用擁擠比較算子和二元錦標賽選擇方法[12]對初始種群P

進行選擇，保留初始種群P

中級別最低的個體進入下一代，級別相同的進行擁擠距離di

的計算，個體i

的擁擠距離即為個體i?1

與個體i+1

兩個目標函數之差的和，即圖2所示的矩形長寬相加。為保持種群的多樣性，保留擁擠距離大的個體進入下一代篩選。

3）選擇完個體后，對個體進行交叉和變異的遺傳操作。交叉操作采用模擬二進制交叉（simulated binary crossover）方式，即任意兩個個體進行實數編碼后，隨機選定編碼中的點位進行交換，其參數為交叉分布系數，系數越大，表明產生的子代接近父代的概率越大，推薦值為20。變異是指編碼后個體中某點位代碼改變，采用多項式變異（polynomial mutation）方式，其參數為變異分布系數，推薦值為20[13]。

交叉概率PC

指的是編碼交換發(fā)生的概率，交叉概率越大，產生新個體的速度就越快，若交叉概率過小，則搜索過程會變得緩慢甚至停滯。變異概率PM

指的是編碼發(fā)生突變的概率，變異概率越大，越不利于保留父代種群的優(yōu)良基因，故變異概率PM

通常比交叉概率PC

要小，為使基因操作種群覆蓋面為100%，優(yōu)化更加有效，故[14]

PMlt;PC

，且PC+PM=1。

（1）

4）經交叉、變異后的種群為子代種群P′，與之前的初始種群P

合并為2P

，合并后的種群通過Pareto解集排序和擁擠距離計算篩選出下一代，直到滿足迭代次數的要求后輸出新種群P″。

2 多目標決策

考慮若干個相互矛盾或制約的評價指標，由多個解甄選出最優(yōu)方案，這是多目標決策的目的之一[15]。Pareto前沿上的每一個解對應著一種方案，若存在多個解（即Pareto最優(yōu)解集），決策者無法直接比較這些非支配解之間的優(yōu)劣性?；陟貦嗬碚摰腡OPSIS法（technique for order preference by similarity to an ideal solution，逼近理想解排序法）[16]對Pareto最優(yōu)解集進行評估，可得到相對最優(yōu)方案。

2.1 評價指標的權重計算

熵權理論利用信息熵[16]計算出各指標權重，為多指標綜合評價提供依據，它能最大限度降低主觀因素的干擾。評價指標是指目標函數的值，評價對象是指Pareto最優(yōu)解集中的單個解。設共有n

個評價對象（其值可由Pareto最優(yōu)解集中的單個解定義），m

個評價指標（其值可由目標函數定義），構建評價對象的原始矩陣X

。

X=??????????x11?xi1?xn1………x1j?xij?xnj………x1m?xim?xnm??????????

（2）

對評價對象xij

進行標準化，則有標準化后的評價對象yij

。

yij=?????xij?min（xj）max（xj）?min（xj），極大型指標max（xj）?xijmax（xj）?min（xj），極小型指標

（3）

式中：xij

為第j

個評價指標的第i

個評價對象；min（xj）

和max（xj）

分別為第j

個評價指標里所有評價對象中的最小值和最大值。對于極大型指標的情況，yij

越大越好，極小型指標的情況與此相反。

計算第j

個評價指標的信息熵Hj

Hj=?（ln n）?1∑i=1nfijln fij

（4）

式中：fij=yij∑i=1nyij

，且當fij=0

時，limfij→0fijln fij=0

。

第j

個評價指標的權重ωj

ωj=1?Hjj?∑j=1mHj

（5）

2.2 標準化處理

為消除評價指標之間不同量綱的影響，對矩陣X

中各列的每個元素進行標準化處理

x*ij=xijmax（xj）

（6）

式中：x*ij

為標準化處理后第j

個評價指標的第i

個評價對象。

對每個元素賦予權重后，得到賦權矩陣Z

。

Z=??????????z11?zi1?zn1………z1j?zij?znj………z1m?zim?znm??????????

（7）

式中：zij=ωjx*ij

。

2.3 正理想點和負理想點

對于極大型或極小型指標，正理想點z+j

是賦權矩陣Z

中各列的最大或最小值，而負理想點z?j

是賦權矩陣Z

中各列的最小或最大值[17]。

對賦權矩陣Z

的各列而言，各元素與正理想點的距離d+i

和與負理想點的距離d?i

可表示為

d+i=∑j=1m（z+j?zij）2??????????????

（8）

d?i=∑j=1m（z?j?zij）2??????????????

（9）

式中：zij

為賦權矩陣Z

中第j

列的第i

行元素。

2.4 相對貼近度

為評價賦權矩陣Z

中的第i

行元素，需計算相對貼近度Si

[17]。

Si=d?id+i+d?i

（10）

式中：d+i

、d?i

為第i

行元素與正理想點和負理想點距離。

整理式（8）、式（9）和式（10）得

Si=∑j=1m（z?j?zij）2??????????????∑j=1m（z+j?zij）2??????????????+∑j=1m（z?j?zij）2??????????????

（11）

根據相對貼近度Si

由大到小進行優(yōu)劣排序，據此選擇最優(yōu)方案。

3 基樁優(yōu)化模型

在給定基樁多個設計方案的基礎上，控制成本與承載安全性，求出基樁的多目標優(yōu)化解。

3.1 土體參數的不確定性

由于土體具有空間變異性，樁土間的極限阻力參數，即側摩阻力與端阻力具有離散性。為簡化，將每層土體的摩阻力和樁持力層的端阻力參數視作隨機變量，并假定服從正態(tài)分布[18-19]。

3.2 設計變量的選取

基樁的幾何尺寸參數，即樁徑B

和樁長D

，設定為不同的取值范圍并處理為設計變量。對于樁長，《建筑樁基技術規(guī)范》（JGJ 94—2008）規(guī)定[20]，樁端以下硬持力層厚度不宜小于3B

，且根據持力層土體不同，樁端進入持力層的深度不同，對于黏性土、粉土不宜小于2B

，砂土不宜小于1.5B

，碎石類土不宜小于1B

。優(yōu)化求解中不改變樁端持力層，即與原設計[21]保持一致，則樁長

Dminlt;Dlt;Dmax

（12）

式中：Dmin

為持力層頂部深度加樁端進入持力層的最小深度值；Dmax

為持力層底部深度減去3B

。

對于樁徑

Bminlt;Blt;Bmax

（13）

式中：Bmin

和Bmax

分別為樁徑最小值和最大值，可取1.0 m和2.0 m。

3.3 目標函數的選取

3.3.1 沉降計算

基樁為上部結構提供足夠承載力的同時，其產生的沉降要低于特定限值，故將基樁沉降量S

最小作為目標函數之一。

1）分項簡化計算方法

張乾青等[22]基于Boussinesq公式和Vesic[23]的樁側阻力計算沉降的原理整理了n

層土的單樁沉降計算方法，即

S=∑i=1nPbi（1?υbi）4Gbir0+∑i=1n（Pti+Pbi）li2AEp+"""""" ∑i=1n（Psiπdili）diEi（1?υ2bi）?（2+0.35lidi??√）

（14）

式中：Pbi

和Pti

分別為第i

段樁的樁端軸力和樁頂荷載；υbi

和Gbi

分別為第i

層樁端土的泊松比和剪切模量；r0

為樁的半徑；li

為第i

段樁樁長；di

為第i

段樁樁徑；A

為樁的截面積；Ep

為樁體彈性模量；Ei

為土的變形模量，Ei=2（1+υsi）Gbi

；Psi

為第i

段樁身側阻力，且有Psi+Pbi=Pti

。

Randolph[24]提出了一種樁端軸力的計算方法，根據土層分布情況將樁由上而下分為n

段，將第i

段樁的樁端軸力Pbi

當作第i+1

段樁的樁頂荷載Pt，i+1

，即

PbiPti=4η（1?υsi）ξ1cosh（μli）4η（1?υsi）ξ+ρ2πζtanh（μli）μlilir0

（15a）

ρ=1GmL∑i=1nGsiliGmGb????√[1?e（1?h/L）]

（15b）

Gs=ρsvs2

（15c）

式中：ρ

為樁周土的不均勻系數；η

為系數，η=r0/rb

；ξ=GL/Gb

，GL

和Gb

分別為深度L

處和樁端的剪切模量，對于成層土，ξ=1

；ζ=ln（rm/r0）

，其中rm=2.5Lρ（1?υs）

；μ=2GL/ζEpr20?????????√

；Gm

為成層土中最大剪切模量；Gsi

為第i

層土的剪切模量；h

為樁端到剛性層距離；ρs

為土體密度；vs

為剪切波速。

2）基于荷載傳遞的剪切位移法

有些學者[25-27]基于荷載傳遞的剪切位移法和Boussinesq公式原理，給出了n

層土體中單樁樁頂沉降量的表達式，即

wtPt=T1…Ti…Tn{wbPb}

（16a）

Ti=[ch（αili）AEpαish（αili）（AEpαi）?1sh（αili）ch（αili）]

（16b）

wb=Pb（1?υb）4Gbr0

（16c）

αi=2πGsiAEpln（rm/r0）????????????√

（16d）

式中：wt

為樁頂沉降；wb

為樁端沉降；ch

和sh

分別為雙曲余弦和雙曲正弦函數。

3.3.2 造價分析

考慮基樁施工各種費用，將工程造價C

最小作為第2個目標函數。根據市場定價，各環(huán)節(jié)成本如表1所列[28]。

工程總造價主要有材料成本C1

、挖出土方成本C2

、泥漿運輸成本C3

，則

C=（C1，c+C2+C3）V+C1，snsls+C1，lnlll

（17）

式中：C1，c

、C1，s

、C1，l

、C2

和C3

分別為表1中混凝土、箍筋、縱筋、挖出土方和運輸泥漿的單價；V

為基樁體積，V=π/4?B2D

；ns

為箍筋數目，由樁長D

決定；ls

為箍筋長度，由樁徑B

決定；nl

為縱筋數目，由樁徑B

決定；ll

為縱筋長度，由樁長D

決定。

3.4 約束條件

根據《建筑結構可靠性設計統(tǒng)一標準》（GB 50068—2018）[29]，對于基樁的承載能力極限狀態(tài)，設定其目標可靠指標不小于2.7。

3.5 優(yōu)化模型

對基樁的承載能力極限狀態(tài)進行分析，考慮樁土間極限阻力參數（包括側摩阻力與端阻力）的不確定性，建立基于可靠性算法的多目標優(yōu)化模型。

search{B，D}min{C（B，D），S（B，D）}s.t.β≥βTBmin≤B≤BmaxDmin≤D≤Dmax

（18）

式中：S（B，D）

、C（B，D）

為沉降與造價的目標函數；β

為基樁承載能力極限狀態(tài)下計算得到的可靠指標；βT

為目標可靠指標。

基于R語言平臺，該模型具體求解流程如圖3所示。主要分為3個步驟。

1）給定設計變量，將各土層極限側摩阻力和持力層極限端阻力假定為正態(tài)隨機變量，構建基樁承載能力極限狀態(tài)方程，求解基樁承載性能的可靠指標，具體計算過程包括：基樁的極限承載力可由各層土體的極限側摩阻力和持力層的極限端阻力給定，可寫為

Qu=πB∑i=1nqsili+qbAb

（19）

式中：Qu

為基樁豎向極限承載力；B

為樁徑；n

為土層數；qsi

為第i

層土的極限側摩阻力；li

為第i

層土的土層厚度；qb

為第i

層土的極限端阻力；Ab

為樁端截面積。

若給定實際施加荷載QLoad

，根據可靠性理論[29]，則基樁承載性能的功能函數為

Z（x）=Qu?QLoad=πD∑i=1nqsili+qbAb?QLoad

（20）

考慮土體參數的不確定性，假定各土層極限側摩阻力qs

和極限端阻力qb

均服從特定統(tǒng)計分布。進而通過常規(guī)的一階可靠性算法[30]（FORM）求解可靠指標β

。

2）得到滿足可靠指標要求的設計變量后，采用NSGA-II算法進行求解。

首先，對設計變量的初始種群進行實數編碼[11]。

κ?i=κi?κminκmax?κmin ，" i=1，2

（21）

式中：κi

為第i

個設計變量的值；κmin

與κmax

為設計變量的最小與最大取值界限；κ?i

為編碼后的取值。將樁徑B

和樁長D

代入式（21）分別得到實數編碼，圖4示意出n

個潛在個體。應指出，考慮到施工設備及鉆頭型號等因素，樁徑變化以0.1 m為增量。

然后，通過交叉、變異操作保留較優(yōu)個體進入下一代，引入精英保留策略[10]，到第k

代時，設群體Pk

中p1k

為最優(yōu)個體，Pk+1

為Pk

的下一代群體，若Pk+1

中不存在比p1k

優(yōu)的個體，則保留p1k

并加入Pk+1

中，作為Pk+1

的第n+1

個個體。通過第k

次迭代得到的最優(yōu)種群P''k

則為所求。

3）采用熵權理論賦權的TOPSIS法[16]，將優(yōu)化后得到的Pareto解集進行賦權，計算相對貼近度并進行排序，評價現有方案的相對優(yōu)劣。

4 算例分析

4.1 工程概況

中國尊大廈是超過500 m高的摩天大樓，其基礎形式為樁筏基礎。位于核心筒區(qū)的工程樁主要為P1型樁（樁徑1 200 mm、樁長44.6 m）[21]。選取P1型樁的單根基樁進行優(yōu)化設計，模型示意如圖5所示，P1型樁為鉆孔灌注樁，采用C50混凝土，采用HRB500的縱筋和HPB235箍筋[31]。

根據P1型樁的實際情況，沉降計算時土體參數（包括剪切波速、泊松比、密度、壓縮模量等）如表2所列[21，32]，不考慮這些參數的不確定性。由兩種沉降計算方法得到的單樁荷載-位移曲線[21]如圖6所示，由檢測部門給出的根據P1型樁的靜載試驗結果也在圖中示意。由圖6可見，分項簡化法計算得到的結果與實際檢測結果差異較大，基于荷載傳遞的剪切位移法計算得到的結果與檢測成果更為接近，其最大沉降量為12.29 mm。

由中國尊大廈P1型樁的靜載檢測曲線[21]可知，基樁實際施加荷載QLoad

可取6根基樁最大檢測加載值Qmax

算術平均數的一半。考慮作用在結構上的恒載與活載，該最大值Qmax

通常由上部結構的設計人員給出，即

QLoad=QmaxˉˉˉˉˉˉˉFS=32 744 kN2=16 372 kN

（22）

各層土體的極限阻力參數如表2所列。為考慮土體參數的不確定性，假定各土層極限側摩阻qs

和極限端阻力qb

均服從正態(tài)分布，其變異系數均取0.15[18-19]。

4.2 多目標優(yōu)化分析與決策

在NSGA-II遺傳算法中，設定交叉概率PC=0.9

，變異概率PM=0.1

，種群數量為60，迭代次數k=100

[10，13]，考慮造價C

和沉降量S

兩個目標函數，經過多次計算后得到如圖7所示的Pareto最優(yōu)解集。由圖7可見，計算結果全部為潛在最優(yōu)解。在Pareto解集中選取可靠指標β≥2.7

的結果，如表3所列。

由式（5）可得，造價C

和沉降量S

兩個評價指標的權重分別為0.55和0.45。

兩個評價指標均為極小型，將表3中給出的滿足可靠指標要求的Pareto解集，進行標準化處理并考慮權重后的賦權矩陣為

??????0.240.27?0.550.450.41?0.23??????

（23）

由式（23）可得，正理想點為（0.24，0.23）

，負理想點為（0.55，0.45）

，根據相對貼近度將滿足可靠指標要求的Pareto解集進行排序，如表4所示。

由表4可知，相對貼近度最大的解為最優(yōu)方案。該最優(yōu)方案的造價最低，沉降量最大。表5給出最優(yōu)方案與原設計方案[21]的目標函數值，其在Pareto最優(yōu)解集中的位置如圖7所示。由表5可得，在設計變量方面，最優(yōu)方案的樁徑B

比原設計方案減小8.33%，樁長D

比原設計方案增長3.12%。在目標函數造價C

和沉降量S

方面，最優(yōu)方案比原設計方案分別減少7.80%和7.32%，從側面說明本優(yōu)化方法基本可行。優(yōu)化后的最優(yōu)方案考慮土體極限阻力參數的不確定性，更貼近土體的實際情況。應指出，造價分析中僅考慮初始建造成本，未計及養(yǎng)護與人力等因素。

5 結論

提出多目標優(yōu)化與可靠性分析相結合的基樁優(yōu)化設計方法?？紤]土體極限阻力參數的不確定性，采用一階可靠性算法計算承載能力極限狀態(tài)下的可靠指標，以滿足目標可靠指標作為約束條件，利用NSGA-II遺傳算法進行多目標（包括沉降與造價）優(yōu)化得到Pareto最優(yōu)解集。采用基于熵權理論的TOPSIS法對Pareto最優(yōu)解集進行賦權排序后得到最優(yōu)方案，可以克服選擇方案時主觀性過強的缺點。建議的方法可求得滿足鉆孔灌注樁可靠性前提下經濟性和安全性之間的平衡點。

將提出的方法用于中國尊大廈的基樁優(yōu)化設計，原方案被優(yōu)化后的最優(yōu)方案支配。篩選后的最優(yōu)方案造價為60 639.49元，沉降量為11.39 mm，比原設計方案的造價減少7.80%，樁沉降量減少7.32%，且滿足安全性的要求，在一定程度上說明此優(yōu)化設計方法的可行性。

本文的研究重點在于單根基樁的多目標優(yōu)化算法，未考慮群樁效應以及筏板作用等問題，這或與工程實際存在差異，尤其是沉降分析方面。考慮群樁沉降與承載力的優(yōu)化分析較為繁雜，值得深入研究。

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