空間自錨式懸索橋合理成橋狀態(tài)計(jì)算方法

摘要：自錨式懸索橋成橋狀態(tài)主梁不同的內(nèi)力分布決定了吊桿豎向力的分布。文章以一座雙塔三跨空間自錨式懸索橋?yàn)閷?shí)例，在主梁吊點(diǎn)處采用強(qiáng)迫位移法進(jìn)行主梁內(nèi)力的調(diào)整，得到吊桿豎向荷載分布情況；以彈性懸鏈線(xiàn)理論的解析算法為基礎(chǔ)，迭代求解主纜分段無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)和吊桿無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，將無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)作為初始參數(shù)在通用有限元軟件ANSYS中建立有限元模型，調(diào)整錨跨主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度及主梁后錨面的預(yù)長(zhǎng)量，并以此分析計(jì)算其合理成橋狀態(tài)。

關(guān)鍵詞：自錨式懸索橋；合理成橋狀態(tài)；有限元；解析法；空間索面

U448.25A260823

0 引言

空間自錨式懸索橋具有傳統(tǒng)懸索橋優(yōu)美的外形且對(duì)地質(zhì)條件要求不高，在中小跨徑橋梁上具有較強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力［1］。空間自錨式懸索橋主梁需要承受主纜傳遞給主梁截面的巨大軸力，因此空間自錨式懸索橋主梁具有較大的抗彎剛度。然而傳統(tǒng)的懸索橋設(shè)計(jì)理論是將主梁視為柔性結(jié)構(gòu)，吊桿將全部作用在主梁上的荷載傳遞給主纜［2］。自錨式懸索橋主梁剛度大，自身的變形也能夠承受一定的荷載，設(shè)計(jì)計(jì)算中需要根據(jù)不同的主梁截面形式確定成橋主梁內(nèi)力的合理分布狀態(tài)，從而計(jì)算得到空間自錨式懸索橋合理成狀態(tài)下的主纜分段無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)和吊桿無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度的初始參數(shù)以及主梁架設(shè)控制線(xiàn)形。

1 主梁內(nèi)力狀態(tài)分析

主梁內(nèi)力分布的計(jì)算方法有剛性支撐連續(xù)梁法、彎曲能量最小法和彎矩之和最小法等［3-5］。本節(jié)以主梁的成橋線(xiàn)形為初始狀態(tài)對(duì)主梁吊點(diǎn)施加強(qiáng)迫位移的方法，調(diào)節(jié)主梁彎矩從而得到主纜吊桿豎向荷載分布。如圖1所示，主梁吊點(diǎn)處代以豎向反力Xi、豎向均布荷載q、主纜水平力H，假設(shè)主梁受力處于線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，位移和彎矩值滿(mǎn)足疊加條件，采用力法分析主梁吊點(diǎn)位移與主梁彎矩之間的關(guān)系見(jiàn)式（1）。

Mp=［C］［δ］-1［{uy}-{Δp}］（1）

式中：Mp——主梁吊點(diǎn)彎矩值；

［C］——彎矩影響矩陣；

［δ］——單位荷載圖乘矩陣；

{Δp}——單位荷載與外荷載之間的圖乘系數(shù)；

{uy}——主梁吊點(diǎn)強(qiáng)迫位移。

由式（1）理論推導(dǎo)分析可知，對(duì)主梁節(jié)點(diǎn)施加強(qiáng)迫位移可對(duì)主梁的彎矩分布進(jìn)行調(diào)整，但系數(shù)矩陣求解比較繁瑣，因此可結(jié)合有限分析理論以主梁成橋線(xiàn)形為初始狀態(tài)對(duì)主梁節(jié)點(diǎn)施加強(qiáng)迫位調(diào)節(jié)主梁彎矩。主梁合理內(nèi)力狀態(tài)的調(diào)整可獲得主梁初始架設(shè)參數(shù)以及主梁吊桿豎向反力，為纜索系統(tǒng)的分析提供基礎(chǔ)參數(shù)。

2 成橋狀態(tài)主纜線(xiàn)形分析

主纜線(xiàn)形的計(jì)算以分段懸鏈線(xiàn)理論［6-7］為基礎(chǔ)結(jié)合傳統(tǒng)的影響矩陣法［8-9］對(duì)主纜和吊桿成橋狀態(tài)無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)進(jìn)行分析，空間索面懸索橋主纜吊桿與主梁之間存在耦合關(guān)系［10］，因此要分別對(duì)主纜和吊桿做平衡狀態(tài)分析。

2.1 主纜平衡狀態(tài)分析

空間索面懸索橋從整體上看主纜是空間線(xiàn)形，但在相鄰吊桿之間由于主纜在自重作用產(chǎn)生垂度依然是平面懸鏈線(xiàn)。因此可以采用自重按變形前索長(zhǎng)分布的彈性懸鏈線(xiàn)力學(xué)平衡方程［11］計(jì)算，進(jìn)行斜平面方程的修改見(jiàn)式（2），主纜分段懸鏈線(xiàn)的平衡狀態(tài)分析見(jiàn)圖2。

liHxHi=HisiEA0+HiqarcsinhViHi-arcsinhVi-qsiHi

hi=siEA0Vi-qsi2+Hiq1+ViHi2-1+Vi-qsiHi2

Hi=H2x+H2yi（2）

主纜節(jié)點(diǎn)的豎向荷載可由式（3）計(jì)算得到：

Vi+1=Vi-（Pvi+qsi）（3）

式中：E、A0、q——主纜的彈性模量、變形前截面面積、自重集度；

si、hi、li——成橋狀態(tài)主纜分段無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)、主纜索段高差、相鄰吊桿間距離；

Hx、Hyi、Hi、Vi——主纜縱向水平分力、吊點(diǎn)處橫向水平分力、水平面內(nèi)的合力、豎向分力；

Pzi——主梁吊點(diǎn)豎向荷載向量。

2.2 吊桿平衡狀態(tài)分析

主纜和吊桿存在耦合關(guān)系，主纜平衡方程中的橫向水平分力Hyi需要對(duì)成橋吊桿力進(jìn)行平衡分析（見(jiàn)圖3）。成橋狀態(tài)吊桿具有較大的軸力，計(jì)算分析表明成橋吊桿的垂度對(duì)無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度的影響非常小，可以忽略不計(jì)，因此吊桿的平衡方程見(jiàn)式（4）。

dzi=Zi-∑ni=1hi

yi=∑ni=1liHyiHx

dyi=Yi-yi

Pyi=Pzidyidzi（4）

主纜節(jié)點(diǎn)的橫向荷載可由式（5）計(jì)算得到：

Hy（i+1）=Hyi-Pyi（5）

式中：Pyi、dyi、dzi——主纜吊點(diǎn)橫向力、主纜吊點(diǎn)與主梁吊點(diǎn)之間的橫向距離、和豎向距離；

"yi——成橋主纜吊點(diǎn)與IP點(diǎn)之間的橫向距離；

Yi、Zi——理論IP到主梁吊點(diǎn)之間的水平距離、和豎向距離。

2.3 成橋線(xiàn)形迭代計(jì)算

中跨迭代計(jì)算時(shí)，主纜自重集度q，吊桿間距l(xiāng)i和矢高f，虛焦點(diǎn)坐標(biāo)均已知，主纜吊點(diǎn)集中荷載Pi由第一節(jié)分析得到。首先根據(jù)拋物線(xiàn)假定計(jì)算一個(gè)虛焦點(diǎn)處的初值Hx、Hy、V，由式（2）計(jì)算出si、hi，由式（4）計(jì)算出yi，最后應(yīng)滿(mǎn)足式（6）的邊界條件。

∑mi=1hi=f

∑ni=1yi=Δy

∑ni=1hi=Δz（6）

式中：Δy——兩主塔IP點(diǎn)之間的橫向距離差；

Δz——兩主塔IP點(diǎn)之間的高差。

若跨中有吊桿時(shí)n為主纜索段數(shù)，m為一半索段數(shù)，若跨中無(wú)吊桿需要等效為跨中有吊桿，而對(duì)應(yīng)的吊桿軸力為零。

若初值Hx、Hy、V不能使式（6）成立，則計(jì)算誤差向量為：

真實(shí)的Hx、Hy、V由影響矩陣法按如下步驟計(jì)算：

（1）索端力產(chǎn)生單位增量，將V=V+1、Hy=Hy+1和Hx=Hx+1分別由式（2）～（6）計(jì)算出相應(yīng)的f、Δy、Δz的增量，從而得到影響矩陣見(jiàn)式（8）：

ef=∑mi=1hi-f

ey=∑ni=1yi-Δy

ez=∑mi=1hi-Δz（7）

C=c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33（8）

矩陣式中第一列為V引起的f、Δy、Δz的增量，第二列為Hy引起的f、Δy、Δz的增量，第三列為Hx引起的f、Δy、Δz的增量。

（2）由式（9）求出V、Hy、Hx的修正向量［ΔVΔHyΔHx］T：

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

ΔV

ΔHy

ΔHx=

ef

ey

ez（9）

（3）修正索端力V=V-ΔV、Hy=Hy-ΔHy和Hx=Hx-ΔHx重新計(jì)算ef、ey、ez。

（4）誤差向量的二范數(shù)達(dá)到控制收斂準(zhǔn)則出迭代結(jié)束，由式（10）確定主纜吊點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

Xi=∑ni=1li

Yi=∑ni=1yi

Zi=∑ni=1hi（10）

式中：Xi、Yi、Zi——主纜吊點(diǎn)的三維坐標(biāo)點(diǎn)。

主纜縱向水平力Hx，與主梁的內(nèi)力狀態(tài)分析得到豎向荷載Pi之間存在耦合關(guān)系［12］，需要進(jìn)行幾次迭代計(jì)算才能獲得更為準(zhǔn)確的結(jié)果。邊跨的計(jì)算以主塔彎矩最小和縮股不能在鞍槽內(nèi)滑動(dòng)為準(zhǔn)則，因此以中跨的縱向水平力作為已知參數(shù)，假設(shè)豎向荷載V和橫向水平力Hy進(jìn)行迭代，以邊跨散索點(diǎn)與塔頂IP點(diǎn)之間的豎向高差與橫向偏距作為邊界條件，采用同中跨求解相同的計(jì)算方法迭代求解邊跨主纜線(xiàn)形。

3 有限元一次成橋分析

經(jīng)過(guò)主梁合理內(nèi)力狀態(tài)的調(diào)整以及纜索系統(tǒng)的找形分析，獲得建立有限元模型的基礎(chǔ)參數(shù)，具體分析方法如下：

（1）主纜模型建立，假設(shè)錨跨主纜的初始無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，采用只受拉的桿單元模擬主纜［13］，準(zhǔn)確地以主纜分段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度建立主纜索段模型。

（2）主纜找形分析，主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的后錨點(diǎn)與散索點(diǎn)約束到設(shè)計(jì)位置，施加很小的重力對(duì)模型進(jìn)行求解，然后更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）主梁模型建立，以成橋主梁線(xiàn)形反向疊加主梁節(jié)點(diǎn)強(qiáng)迫位移作為建模時(shí)主梁初始線(xiàn)形。

（4）吊桿模型建立，連接主纜吊點(diǎn)與主梁吊點(diǎn)建立吊桿單元，對(duì)吊桿施加溫度荷載使其達(dá)到計(jì)算無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度。

（5）觀(guān)察求解結(jié)果，調(diào)整后錨點(diǎn)、主梁吊點(diǎn)的初始建模位置，使其滿(mǎn)足設(shè)計(jì)成橋線(xiàn)形控制點(diǎn)要求。

基于ANSYS的參數(shù)化編程語(yǔ)言（APDL）編制計(jì)算程序，只需改變相關(guān)參數(shù)就能方便的對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整計(jì)算?？臻g索面懸索橋一次成橋分析流程如圖4所示，第1部分為纜索系統(tǒng)迭代找形計(jì)算方法，第2部分基于ANSYS有限元模型分析方法。

4 算例分析

松原市天河大橋北叉橋，是整個(gè)結(jié)構(gòu)沿著橋中軸線(xiàn)完全對(duì)稱(chēng)布置的雙塔雙索面的空間自錨式懸索橋。以本文提出的空間索面懸索橋成橋就算方法，對(duì)兩種不同主梁內(nèi)力分布形式的合理成橋狀態(tài)進(jìn)行分析，局部坐標(biāo)系下主纜線(xiàn)形的控制點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表1，主梁豎曲線(xiàn)關(guān)于橋中線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，半跨主梁吊點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表2。

本算例按主梁不受力和主梁自身能夠承受一定的荷載進(jìn)行對(duì)比分析主梁和吊桿的荷載分配，最終成橋模型如圖5所示。

工況1：主梁直接架設(shè)在成橋線(xiàn)形，主梁吊點(diǎn)處無(wú)位移主梁彎矩分布如圖6所示，吊桿的軸力分布如圖7所示。

工況2：主梁吊點(diǎn)處有豎向位移使梁能夠承受更大的荷載，位移如后頁(yè)圖8所示。主梁的架設(shè)控制線(xiàn)形為成橋主梁吊點(diǎn)高程減去主梁的位移量，主梁的彎矩分布如后頁(yè)圖9所示，吊桿軸力分布如后頁(yè)圖10所示。

對(duì)比計(jì)算分析結(jié)果可知，工況2的主梁截面承受彎矩增大，吊桿軸力減小值如圖11所示。主梁承受更多荷載，主塔支座處的反力增加，近塔柱處的吊桿軸力明顯減小，造成靠近近塔柱的吊桿力反而有所增加，其余吊桿軸力均有不同程度減小。

5 結(jié)語(yǔ)

自錨式懸索橋主梁剛度抗彎大，設(shè)計(jì)之初就需要根據(jù)主梁的截面形式考慮其合理內(nèi)力狀態(tài)，從而再對(duì)纜索系統(tǒng)進(jìn)行找形分析，因此自錨式懸索橋的成橋狀態(tài)并不唯一。

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